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第九章 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例,第2節(jié) 用樣本估計(jì)總體,,1．了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)． 2．理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差． 3．能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo) 準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋． 4．會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想． 5．會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．,[要點(diǎn)梳理] 1．作頻率分布直方圖的步驟：,,,,,,,質(zhì)疑探究1：頻率分布直方圖中縱軸表示什么含義？小長(zhǎng)方形的面積表示什么？各小長(zhǎng)方形面積之和等于多少？,2．頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：把頻率分布直方圖中各個(gè)長(zhǎng)方形上邊的_____用線段連接起來(lái)，就得到頻率分布折線圖． (2)設(shè)想如果樣本容量_________，分組的組距_________，則頻率分布直方圖實(shí)際上越來(lái)越接近于____________，它可以用一條光滑曲線________來(lái)描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線．,中點(diǎn),不斷增大,不斷縮小,總體的分布,y＝f(x),3．莖葉圖,4．樣本的數(shù)字特征,質(zhì)疑探究2：怎樣利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)？ 提示：在頻率分布直方圖中： (1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)； (2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的； (3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．,質(zhì)疑探究3：平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與方差反映了數(shù)據(jù)的哪些特征？ 提示：平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差反映了數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的波動(dòng)情況，即標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；反之離散程度越小，越穩(wěn)定．,[基礎(chǔ)自測(cè)] 1．給出下列命題，正確的是( ) ①一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù) ②平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)都可以描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì) ③一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大 ④頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高 ⑤莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．,A．①③④ B．②③④ C．③④ D．②③④⑤ [解析] ①錯(cuò)誤．平均數(shù)一定不大于這組數(shù)據(jù)中的最大值；②正確．平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平，眾數(shù)表示一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，都可以從不同的角度描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．③正確．由方差的意義知結(jié)論正確．④正確．由頻率分布直方圖的意義知結(jié)論正確．⑤錯(cuò)誤，莖葉圖要求不能丟失數(shù)據(jù)．故選B. [答案] B,2．某雷達(dá)測(cè)速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)對(duì)200輛汽車的車速進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有( ),,A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛 [解析] 由題圖可知，車速大于或等于70 km/h的汽車的頻率為0.02×10＝0.2，則將被處罰的汽車大約有200×0.2＝40(輛)．故選B. [答案] B,3．(2015·廣州模擬)對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是( ),,[答案] A,4．一個(gè)容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，x；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70)，2；則x＝________；根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[10,50)的概率約為________． [答案] 4 0.7,5．如圖所示是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這五場(chǎng)比賽中得分的方差為________．,[答案] 6.8,[典例透析] 考向一 頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用 例1 某糖廠為了解一條自動(dòng)生產(chǎn)線上生產(chǎn)袋裝白糖的重量，從1 000袋白糖中，隨機(jī)抽取100袋并稱出每袋白糖的重量(單位：g)，得到如下頻率分布表：,,(1)請(qǐng)補(bǔ)充完成頻率分布表，并在下圖中畫出頻率分布直方圖；,,(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì)從這批白糖中隨機(jī)抽取一袋，其重量在[495.5,505.5]上的概率． 思路點(diǎn)撥 分別計(jì)算各組頻率及長(zhǎng)方形的高度繪圖．,頻率分布直方圖如下：,,(2)依題意知所求的概率為0.5＋0.2＝0.7.,活學(xué)活用1 (2015·煙臺(tái)四校聯(lián)考)據(jù)悉山東省高考要將體育成績(jī)作為參考，為此，濟(jì)南市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個(gè)班進(jìn)行鉛球測(cè)試，成績(jī)?cè)?.0 m(精確到0.1 m)以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組，并畫出頻率分布直方圖的一部分如圖所示．已知從左到右前5個(gè)小組對(duì)應(yīng)矩形的高分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，且第6小組的頻數(shù)是7.,(1)求這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)； (2)若由直方圖來(lái)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，指出該中位數(shù)在第幾組內(nèi)，并說(shuō)明理由．,,考向二 莖葉圖的應(yīng)用 例2 (1)(2013·四川高考)某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖是( ),,,(2)(2013·重慶高考)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)．,,已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為( ) A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8,(3)(2015·九江模擬)甲、乙兩人在淘寶網(wǎng)各開一家網(wǎng)店，直銷同一廠家的同一種產(chǎn)品，廠家為考察兩人的銷售業(yè)績(jī)，隨機(jī)選了10天，統(tǒng)計(jì)兩店銷售量，得到如圖所示的莖葉圖，由圖知( ),,A．甲網(wǎng)店的極差大于乙網(wǎng)店的極差 B．甲網(wǎng)店的中位數(shù)是46 C．乙網(wǎng)店的眾數(shù)是42 D．甲網(wǎng)店的銷售業(yè)績(jī)好 (4)(2013·山東高考)將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以x表示：,,[解析] (1)由[0,5)，[5,10)內(nèi)的頻數(shù)均為1，可知頻率分布直方圖中的高度相等，可以排除選項(xiàng)B；由于分組時(shí)按照組距為5分的，而選項(xiàng)C，D的組距為10，故錯(cuò)誤；所以選A.,拓展提高 應(yīng)用莖葉圖的常見(jiàn)題型與求解策略：,考向三 統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用 例3 (2015·淄博市一模)參加市數(shù)學(xué)調(diào)研抽測(cè)的某校高三學(xué)生成績(jī)分析的莖葉圖和頻率分布直方圖均受到不同程度的破壞，但可見(jiàn)部分信息如下，據(jù)此解答如下問(wèn)題： (Ⅰ)求參加數(shù)學(xué)抽測(cè)的人數(shù)n、抽測(cè)成績(jī)的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)分別在[80,90)，[90,100]內(nèi)的人數(shù)； (Ⅱ)若從分?jǐn)?shù)在[80,100]內(nèi)的學(xué)生中任選兩人進(jìn)行調(diào)研談話，求恰好有一人分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的概率．,思路點(diǎn)撥 (Ⅰ)由頻率分布直方圖列關(guān)于n的方程求n的值，由莖葉圖求出中位數(shù)，進(jìn)而求出分?jǐn)?shù)分別在[80,90)，[90,100]內(nèi)的人數(shù)；,,(Ⅱ)設(shè)“在[80,100]內(nèi)的學(xué)生中任選兩人，恰好有一人分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)”為事件M， 將[80,90)內(nèi)的4人編號(hào)為a，b，c，d；[90,100]內(nèi)的2人編號(hào)為A，B 在[80,100]內(nèi)的任取兩人的基本事件為：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15個(gè)，其中，恰好有一人分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的基本事件有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，共8個(gè)． 再由古典概型概率的計(jì)算公式即得所求．,(Ⅱ)設(shè)“在[80,100]內(nèi)的學(xué)生中任選兩人，恰好有一人分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)”為事件M，將[80,90)內(nèi)的4人編號(hào)為為a，b，c，d；[90,100]內(nèi)的2人編號(hào)為A，B 在[80,100]內(nèi)的任取兩人的基本事件為：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15個(gè)，其中，恰好有一人分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的基本事件有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，共8個(gè)．,拓展提高 (1)從統(tǒng)計(jì)圖表中準(zhǔn)確獲取相關(guān)信息是解題關(guān)鍵． (2)明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似代替概率． (3)在求解古典概型時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成．,活學(xué)活用3 (2015·鄭州市調(diào)研)某高校組織自主招生考試，共有2 000名優(yōu)秀同學(xué)參加筆試，成績(jī)均介于195分到275分之間，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成8組：第1組[195,205)，第2組[205,215)，…，第8組[265,275]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績(jī)?cè)?60分(含260分)以上的同學(xué)進(jìn)入面試．,,(2)不妨設(shè)兩名同學(xué)分別為M、N，且M的筆試成績(jī)?cè)?70分以上，則對(duì)于M，答題的可能有M11，M10，M01，M00，對(duì)于N，答題的可能有N11，N10，N01，N00，其中角標(biāo)中的1表示正確，0表示錯(cuò)誤，如N10表示N同學(xué)第一題正確，第二題錯(cuò)誤． 將兩名同學(xué)的答題情況列表如下：,易錯(cuò)警示19 統(tǒng)計(jì)圖表識(shí)圖不準(zhǔn)致誤 典例 從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取一個(gè)班，對(duì)該班50名學(xué)生的高校招生體檢表中的視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示：,,,若某高校A專業(yè)對(duì)視力的要求在0.9以上，則該班學(xué)生中能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為________． [正解] 該班學(xué)生視力在0.9以上的頻率為(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，故能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為0.4×50＝20. [答案] 20 易錯(cuò)分析：解題中易出現(xiàn)審題不仔細(xì)，又對(duì)所給圖形沒(méi)有真正理解清楚，將矩形的高誤認(rèn)為頻率或者對(duì)“0.9以上”的含義理解有誤．,防范措施 頻率分布條形圖的縱軸(矩形的高)表示頻率；頻率分布直方圖的縱軸(矩形的高)表示頻率與組距的比值，其各小組的頻率等于該小組上的矩形的面積． 成功破障 (2015·南昌模擬)為了“城市品位，方便出行，促進(jìn)發(fā)展”，南昌市擬修建穿江隧道，市某部門問(wèn)卷調(diào)查了n個(gè)市民，其中贊成修建的市民占80%，在贊成修建的市民中，又按年齡分組，得樣本頻率分布直方圖如圖，其中年齡在[20,30)歲的有400人，[40,50)歲的有m人，則n＝__________，m＝________.,,[答案] 4 000 1120,[思維升華] 【方法與技巧】,1．用樣本頻率分布來(lái)估計(jì)總體分布的重點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布；難點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用．在計(jì)數(shù)和計(jì)算時(shí)一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時(shí)，寬窄要一致．通過(guò)頻率分布表和頻率分布直方圖可以對(duì)總體作出估計(jì)．,,【失誤與防范】,頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率/組距，每一個(gè)小矩形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率；條形圖的縱坐標(biāo)為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見(jiàn)的錯(cuò)誤．,