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第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布,第4節(jié) 隨機事件的概率,,1．了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別． 2．了解兩個互斥事件的概率加法公式.,[要點梳理] 1．事件的相關(guān)概念 (1)必然事件：在一定條件下，_______發(fā)生的事件． (2)不可能事件：在一定條件下，__________發(fā)生的事件． (3)隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．,一定會,一定不會,頻數(shù),,,(2)概率 對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率． 質(zhì)疑探究1：概率與頻率有什么關(guān)系？ 提示：頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化，概率卻是一個常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象．當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機事件的概率．,3．事件的關(guān)系與運算,B?A,不可能,不可能,質(zhì)疑探究2：互斥事件和對立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 提示：互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的．在一次試驗中，兩個互斥的事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生；而兩個對立的事件則必有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生．所以，兩個事件互斥，它們未必對立；反之，兩個事件對立，它們一定互斥．也就是說，兩事件對立是兩事件互斥的一種特殊情況．,4．概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：__________. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A與事件B互斥，則P(A＋B)＝__________． ②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．,0≤P(A)≤1,P(A)＋P(B),[基礎(chǔ)自測] 1．在下列事件中，隨機事件是( ) A．物體在只受重力作用下會自由下落 B．若x是實數(shù)，則|x|＜0 C．若a＞b，則a－b＜0 D．函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)是R上的增函數(shù),[解析] 選項A中的事件為必然事件；選項B中的事件為不可能事件；選項C中的事件為不可能事件；選項D中的事件當(dāng)a＞1時，發(fā)生；0＜a＜1時，不發(fā)生，為隨機事件． [答案] D,2．從裝有紅球和綠球的口袋內(nèi)任取2球(已知口袋中的紅球、綠球數(shù)都大于2)，那么互斥而不對立的兩個事件是( ) A．至少有一個是紅球，至少有一個是綠球 B．恰有一個紅球，恰有兩個綠球 C．至少有一個紅球，都是紅球 D．至少有一個紅球，都是綠球 [解析] 選項A、C中兩事件可以同時發(fā)生，故不是互斥事件；選項B中兩事件不可能同時發(fā)生，因此是互斥的，但兩事件不對立；選項D中的兩事件是對立事件． [答案] B,[答案] A,4．若A、B為互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，則P(B)＝________. [解析] 因為A、B為互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，故P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3. [答案] 0.3,5．一個袋子中有紅球5個，黑球4個，現(xiàn)從中任取5個球，則至少有1個紅球的概率為________． [解析] “從中任取5個球，至少有1個紅球”是必然事件，必然事件發(fā)生的概率為1. [答案] 1,[典例透析] 考向一 隨機事件的頻率與概率 例1 某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被奧運會指定為乒乓球比賽專用球，有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測，檢查結(jié)果如表所示：,(1)計算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率； (2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點后三位) 思路點撥 可以利用公式計算頻率，在試驗次數(shù)很大時，用頻率來估計概率． [解] (1)表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次為0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)把這批乒乓球的數(shù)量看成很大的數(shù)，則這批乒乓球的優(yōu)等品的頻率就可看成是任取一個乒乓球為優(yōu)等品的概率，約為0.950.,拓展提高 (1)概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值． (2)隨機事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．,活學(xué)活用1 如圖所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：,,(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑． [解] (1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44人，故用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.,(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人， 故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：,(3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，,P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1， P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)， ∴乙應(yīng)選擇L2.,考向二 互斥事件與對立事件的判斷 例2 從6件正品與3件次品中任取3件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件． (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； (2)“至少有1件次品”和“全是次品”； (3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”． 思路點撥 判斷事件之間的關(guān)系可以緊扣事件的分類，結(jié)合互斥事件，對立事件的定義進(jìn)行分析．,[解] 從6件正品與3件次品中任取3件，共有4種情況：①3件全是正品，②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品． (1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它們是互斥事件但不是對立事件． (2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3種情況，它與“全是次品”既不是互斥事件也不是對立事件．,(3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”“全是次品”2種情況；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2種情況，它們既是互斥事件也是對立事件． 拓展提高 判斷是否為互斥事件的關(guān)鍵是看兩個事件能否同時發(fā)生；兩個事件為對立事件的前提是兩事件互斥，且必有一個事件發(fā)生．具體應(yīng)用時，可把試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而判斷所給兩事件之間的關(guān)系．,活學(xué)活用2 袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．在上述事件中，是對立事件的為( ) A．① B．② C．③ D．④,[解析] 結(jié)合互斥事件與對立事件的定義進(jìn)行判斷．從3個白球，4個黑球的袋中任取3個球共有全是白球、2白1黑、1白2黑、全黑四種情況．①中恰有1個白球，即1白2黑與3球全是白球互斥而不對立；②中至少有1個白球，即1白2黑、2白1黑、3白與3球全是黑球是對立事件；③至少有1個白球，即1白2黑、2白1黑、3白與至少有2個白球，即2白1黑、3白既不互斥又不對立；④中至少有1個白球，即1白2黑、2白1黑、3白與至少有1個黑球，即1黑2白、2黑1白、3黑也既不互斥又不對立． [答案] B,考向三 互斥事件與對立事件的概率 例3 (2015·青島市模擬)2014年某省實施通過競選選拔高校校長，省委組織部擬選拔4位校長，相關(guān)單位通過組織提名、領(lǐng)導(dǎo)干部個人提名、群眾聯(lián)合提名、自薦提名四種方式，確定初步人選為4位男競選者和2位女競選者，每位競選者當(dāng)選校長的機會是相同的． (1)求選拔的4位校長中恰有1位女競選者的概率； (2)求選拔的4位校長中至少有3位男競選者的概率． 思路點撥 從6位競選者選4位，總結(jié)果一一列舉找出符合題意的情況，至少3個男的包括4男和3男1女兩類是互斥事件．,[解] (1)將4位男競選者和2位女競選者分別編號為1,2,3,4,5,6(其中1,2,3,4是男競選者，5,6是女競選者)，從6位競選者中選拔4位的情況有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15種． 選拔的4位校長中恰有1位女競選者的情況有(1,2,3,5)，(1,2,4,5)，(1,3,4,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,6)，(1,3,4,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，共8種．,拓展提高 求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法： (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．,活學(xué)活用3 某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：,(1)若派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56，求x的值； (2)若派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y、z的值．,[解] (1)由派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56， 得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3. (2)由派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，得 0．96＋z＝1， ∴z＝0.04. 由派出醫(yī)生最少3人的概率為0.44，得 y＋0.2＋0.04＝0.44， ∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.,,易錯分析：沒有分析透整個事件的分類應(yīng)有三種：甲勝、和棋、乙勝，彼此互斥，乙獲勝的對立事件是“乙不勝”，但不等于“乙輸”，錯選為C的較多． 防范措施 對立事件和互斥事件都不可能同時發(fā)生，但對立事件必有一個要發(fā)生，而互斥事件可能都不發(fā)生．所以兩個事件對立，則兩個事件必是互斥事件；反之，兩事件是互斥事件，但未必是對立事件．,[思維升華] 【方法與技巧】,1．對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)． 2．從集合角度理解互斥和對立事件 從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．,【失誤與防范】,1．正確認(rèn)識互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件． 2．需準(zhǔn)確理解題意，特別留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等語句的含義．,