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第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布,第7節(jié) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布,,1．了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念． 2．理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布． 3．借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義． 4．能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．,[要點(diǎn)梳理] 1．條件概率及其性質(zhì),,,,,,事件A,事件B,P(B|A)＋P(C|A),,,P(A)P(B),,,,,,,質(zhì)疑探究1：“相互獨(dú)立”和“事件互斥”有何不同？ 提示：(1)兩事件互斥是指在一次試驗(yàn)中兩事件不能同時(shí)發(fā)生；而相互獨(dú)立是一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響． (2)若A、B獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)·P(B)；若A、B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．,3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 一般地，在_____條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．,相同,(2)二項(xiàng)分布 一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，設(shè)在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作_______________，并稱__為成功概率．,X～B(n，p),p,質(zhì)疑探究2：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件是什么？ 提示：(1)每次試驗(yàn)都是在同樣的條件下進(jìn)行的；(2)各次試驗(yàn)中的條件是相互獨(dú)立的；(3)每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果；(4)在任何一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率均相等．,4．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝__，D(X)＝________． (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝___，D(X)＝__________．,p(1－p),np,p,np(1－p),,,,,,,⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ_____，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ _____，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖(2)所示．,,越小,越大,(3)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 ①P(μ－σ ＜X ≤ μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.,3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，則P(X＜0)＝( ) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 [解析] ∵P(X≤4)＝0.84，μ＝2， ∴P(X＜0)＝P(X＞4)＝1－0.84＝0.16. [答案] A,4．(2015·呼和浩特模擬)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)的樣本空間為S＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，事件B＝{1,2,4,5,6}，則P(A|B)的值為_________．,5．(2015·惠州調(diào)研)有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則DX＝________.,,[典例透析],活學(xué)活用1 把第(1)題中的事件B：“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”改為“事件B：‘取到的2個(gè)數(shù)均為奇數(shù)’”，則P(B|A)＝________.,拓展提高 (1)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有：①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；②正面計(jì)算較繁瑣或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算，即正難則反的思想方法； (2)已知兩個(gè)事件A、B相互獨(dú)立，它們的概率分別為P(A)、P(B)，則有,(1)求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少？ (2)計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)機(jī)器需要照顧的概率． [解] 記“機(jī)器甲需要照顧”為事件A，“機(jī)器乙需要照顧”為事件B，“機(jī)器丙需要照顧”為事件C.由題意，各臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒有影響，因此，A，B，C是相互獨(dú)立事件． (1)由已知得P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.05， P(AC)＝P(A)·P(C)＝0.1， P(BC)＝P(B)·P(C)＝0.125.,考向三 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 例3 (2014·高考遼寧卷)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．,,將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立． (1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率； (2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)． [解] (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”，,分布列為,因?yàn)閄～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.,拓展提高 二項(xiàng)分布滿足的條件： (1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的． (2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的． (3)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生． (4)隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．,(1)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率； (2)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用ξ表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)．求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．,考向四 正態(tài)分布 例4 已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜2)等于( ) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 思路點(diǎn)撥 正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x＝2，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)及P(ξ＜4)＝0.8，數(shù)形結(jié)合求解．,[解析] 法一 ∵P(ξ＜4)＝0.8， ∴P(ξ＞4)＝0.2. 由題意知圖像的對(duì)稱軸為直線x＝2，P(ξ＜0) ＝P(ξ＞4)＝0.2， ∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ＜0)－P(ξ＞4)＝0.6.,,[答案] C,拓展提高 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上正態(tài)曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，因此常利用圖形的對(duì)稱性求概率． 活學(xué)活用4 已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ＜2)＝0.8，則P(0＜ξ＜1)等于( ) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6,[解析] ∵ξ～N(1，σ2)，∴P(ξ＜1)＝P(ξ＞1)＝0.5. 又∵P(ξ＜2)＝0.8，∴P(1＜ξ＜2)＝0.8－0.5＝0.3， 由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知 P(0＜ξ＜1)＝P(1＜ξ＜2)＝0.3. 故選B. [答案] B,規(guī)范答題10 分布列與概率的綜合問題 典例 (12分)(2015·洛陽(yáng)市統(tǒng)考)隨著建設(shè)資源節(jié)約型、環(huán)境友好型社會(huì)的宣傳與實(shí)踐，低碳綠色的出行方式越來(lái)越受到追捧，全國(guó)各地興起了建設(shè)公共自行車租賃系統(tǒng)的熱潮．據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，已有北京、株洲、杭州、太原、蘇州、深圳等城市建成公共自行車租賃系統(tǒng)．某市公共自行車實(shí)行60分鐘內(nèi)免費(fèi)租用，60分鐘至120分鐘(含120分鐘)收取1元租車服務(wù)費(fèi)，120分鐘至180分鐘(含180分鐘)收取2元租車服務(wù)費(fèi)，180分鐘以上的時(shí)間按每小時(shí)3元計(jì)費(fèi)(不足1小時(shí)的按1小時(shí)計(jì))，,,[滿分展示],∴X的分布列為,【答題模板】 第1步：用獨(dú)立事件分別計(jì)算兩人都付0元，1元，3元，6元的概率． 第2步：用互斥事件求概率之和． 第3步：求甲每天所付車費(fèi)不超過2元的概率． 第4步：由重應(yīng)重復(fù)試驗(yàn)分別計(jì)算四天中分別有0,1,2,3,4天的概率． 第5步：寫分布列，計(jì)算期望值．,[思維升華] 【方法與技巧】,,,4．若ξ～B(n，p)，則Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)． 5．關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的概率求法 (1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1. ①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等．,②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(x＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)． (3)3σ原則：在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之間的值，取該區(qū)間外的值的概率很小，通常認(rèn)為一次試驗(yàn)幾乎不可能發(fā)生．,【失誤與防范】,1．運(yùn)用公式P(AB)＝P(A)P(B)時(shí)一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立． 2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相等．注意恰好與至多(少)的關(guān)系，靈活運(yùn)用對(duì)立事件． 3．在實(shí)際問題中進(jìn)行概率、百分比計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)μ，σ求出，然后確定三個(gè)區(qū)間(范圍)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解．,