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1、2021-5-20 1 第六章 投影變換 重 點(diǎn)：掌握平行投影、透視投影以及投影分類的概念。 難 點(diǎn)：理解并推導(dǎo)透視投影的變換公式及變換矩陣。 課時(shí)安排：授課4學(xué)時(shí)；上機(jī)2學(xué)時(shí)。 2021-5-20 2 第六章 投影變換 實(shí)際物體都是三維的，可以在三維直角坐標(biāo)系中描述，但顯示屏是二維的，所以最終還是用二維圖形基元產(chǎn)生圖形。從三維物體模型描述到二維圖形描述的轉(zhuǎn)換過程稱為投影變換。 2021-5-20 3 6.1 投影概念分類 一、投影的概念 投影變換分為平行投影和透視投影兩種：1、透視投影變換：投影射線匯聚于投影中心，或者說投影中心在有限遠(yuǎn)處的投影。即從空間選定的一個(gè)投影中心和物體上每點(diǎn)連直線從

2、而構(gòu)成了一簇射線，射線與選定的投影平面的交點(diǎn)集便是物體的投影。見下圖（a）。2、平行投影變換：平行投影可以看成投影中心在無限遠(yuǎn)處的投影。見下圖（b）。 2021-5-20 4 6.1 投影概念分類 a透視投影變換示意圖 b平行投影變換示意圖 2021-5-20 5 6.1 投影概念分類 二、投影的分類 2021-5-20 6 6.2 正平行投影 正平行投影的投影中心是在無限遠(yuǎn)處，且投影射線與投影平面垂直。 正投影正軸測(cè)投影 2021-5-20 7 6.2.1 正投影 正投影的投影方向與用戶坐標(biāo)系的某個(gè)坐標(biāo)軸方向平行，即投影方向與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸組成的平面是垂直的。示意圖中給出了立方體的各種正投影

3、。 2021-5-20 8 6.2.1 正投影 在觀察坐標(biāo)系中進(jìn)行平行正投影很方便，因?yàn)槭前碯方向投影，物體的投影圖坐標(biāo)便與它的Z值無關(guān)，所以去掉Z變量便是三維物體的二維投影描述。沿Z方向正投影的變換可表示成： 其中，x p,yp,zp是投影點(diǎn)坐標(biāo)，xo,yo,zo是物體上點(diǎn)的坐標(biāo)。 2021-5-20 9 6.2.2 正軸測(cè)投影 2021-5-20 10 6.2.2 正軸測(cè)投影 正軸測(cè)投影的投影方向不與坐標(biāo)軸方向平行。為了達(dá)到投影要求，需在用戶坐標(biāo)系中安排恰當(dāng)?shù)挠^察坐標(biāo)系位置。假設(shè)觀察坐標(biāo)系與用戶坐標(biāo)系重合。經(jīng)將用戶坐標(biāo)系先繞y軸旋轉(zhuǎn)角，再繞x軸旋轉(zhuǎn)角的變換，形成觀察坐標(biāo)系與用戶坐標(biāo)系的新的

4、位置關(guān)系，如上圖所示。兩坐標(biāo)系之間的變換矩陣為： 2021-5-20 11 6.2.2 正軸測(cè)投影 在觀察坐標(biāo)系中的正投影是去掉它們的z分量，即可得到正軸測(cè)投影的圖形。 常用的正軸測(cè)投影有： 2021-5-20 12 6.2.2 正軸測(cè)投影 1、正等軸測(cè)投影正等軸測(cè)投影：投影方向與各坐標(biāo)軸夾角相等的正軸測(cè)投影，此時(shí)物體中各邊以相同比例縮小，如圖所示。 根據(jù)正軸測(cè)投影的變換公式（見正軸測(cè)投影示意圖），在用戶坐標(biāo)系中， 2021-5-20 13 6.2.2 正軸測(cè)投影 x軸上A點(diǎn)1 0 0 1。變換后為：1 0 0 1H = cossinsin -sincos1 y軸上B點(diǎn)0 1 0 1。變換后為

5、：0 1 0 1H = 0 cos sin 1 z軸上C點(diǎn)0 0 1 1。變換后為： 0 0 1 1H = sin -cossin coscos1 2021-5-20 14 6.2.2 正軸測(cè)投影 在觀察坐標(biāo)系中的正投影是去掉z分量，上述三點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的長度是 ,按正等軸測(cè)投影的要求，原用戶坐標(biāo)系中x、y和z方向單位長度的投影長度應(yīng)相等：AO=BO、CO=BO 即 2021-5-20 15 6.2.2 正軸測(cè)投影 解上述方程組： ， ， ， ，所以正等軸測(cè)投影變換矩陣為： 2021-5-20 16 6.2.2 正軸測(cè)投影 正二軸測(cè)投影：投影線與各坐標(biāo)軸的夾角中有兩個(gè)相等，使得物體中有兩個(gè)與坐標(biāo)

6、軸平行的邊等比例縮小的正軸測(cè)投影，如圖所示。 設(shè)投影線與x軸及y軸的夾角相等，則AO=BO 即： 2021-5-20 17 6.2.2 正軸測(cè)投影 另給一約束條件，設(shè)原用戶坐標(biāo)系中z方向單位長度的投影長度是k，即： 解上述方程： ， ， ， 。從而可以確定投影變換矩陣H。 2021-5-20 18 6.2.2 正軸測(cè)投影 3、正三軸測(cè)投影正三軸測(cè)投影：投影線與各坐標(biāo)軸夾角全不相等，使得物體中三個(gè)與坐標(biāo)軸平行的三條邊各以不同比例縮小的正軸測(cè)投影，如圖所示。 2021-5-20 19 6.3 斜平行投影 斜平行投影：是指投影射線方向不與投影平面垂直的平行投影。若投影方向用矢量A，B，C表示，則點(diǎn)(

7、Xo,Yo,Zo)的投影直線可用參數(shù)寫成： 以Z=0（Zp=0）的平面作為投影平面時(shí)，射線與投影面的交點(diǎn)滿足t=-Zo/C，所以投影點(diǎn)的坐標(biāo)是: 2021-5-20 20 6.3 斜平行投影 Xp=XoAZo/C和Yp=YoBZo/C。這些變換關(guān)系可寫成： xp yp zp 1=xo yo zo 1Mob其中 常用的斜平行投影有： 2021-5-20 21 6.3 斜平行投影 1、斜等測(cè)投影 斜等測(cè)投影：投影方向與投影平面成45的斜平行投影，它保持平行投影平面和垂直投影平面的線的投影長度不變。 2、斜二測(cè)投影 斜二測(cè)投影：與投影平面成arctg(2)角的斜平行投影，它使垂直投影平面的線產(chǎn)生長度

8、為原來1/2的投影線。 2021-5-20 22 6.4 透視投影 透視投影：投影射線匯聚于投影中心，或者說投影中心在有限遠(yuǎn)處的投影。 2021-5-20 23 6.4 透視投影 透視投影變換的觀察坐標(biāo)系中（見上圖所示），投影中心處于坐標(biāo)系原點(diǎn)，投影平面與Z軸垂直并距原點(diǎn)距離為d。由相似三角形關(guān)系求得空間點(diǎn)P(x0，y0，z0)和投影平面上投影點(diǎn)P(xp，yp，zp)的坐標(biāo)關(guān)系： xp=x0d/z0 yp=y0d/z0 z p=d 可見隨著物距z0的增大，投影點(diǎn)的xp和yp將減小。在齊次坐標(biāo)系中這個(gè)變換關(guān)系可寫成如下所示： 2021-5-20 24 6.4 透視投影 xp yp zp w= 由

9、上式得xp yp zp w=x0 y0 z0 z0/d，可見w=z0/d，所以 透視投影分為三類： 2021-5-20 25 6.4 透視投影 1、一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視：由透視變換關(guān)系可見，只有與投影平面平行的平行線（它們有相同的z0值）才能在投影線之間繼續(xù)保持平行，垂直投影平面的平行線的透視投影線將匯聚到一個(gè)消失點(diǎn)（xi=0,yi=0）上（見示意圖）。由平行于用戶坐標(biāo)軸的平行線投影產(chǎn)生的消失點(diǎn)稱為主消失點(diǎn)。按照投影面的方向可對(duì)在用戶坐標(biāo)系中正放的矩形體產(chǎn)生一個(gè)主消失點(diǎn)，即投影平面與一個(gè)坐標(biāo)軸相交，這種投影被稱為一點(diǎn)透視。 2021-5-20 26 6.4 透視投影 2021-5-20 27 6.

10、4 透視投影 2、兩點(diǎn)透視二點(diǎn)透視：按照投影平面的方向可對(duì)在用戶坐標(biāo)系中正放的矩形體產(chǎn)生二主消失點(diǎn)，即投影平面與二個(gè)坐標(biāo)軸相交，這種投影被稱為二點(diǎn)透視。 二點(diǎn)透視示意圖 2021-5-20 28 6.4 透視投影 3、三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視：按照投影面的方向可對(duì)在用戶坐標(biāo)系中正放的矩形體產(chǎn)生三主消失點(diǎn)，即投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸相交，這種投影被稱為三點(diǎn)透視。 2021-5-20 29 習(xí)題1.為什么需要做投影變換？2.什么叫投影變換?3.試述投影變換的分類 4.沿Z方向正投影的變換矩陣是什么樣的？ 5.若給出投影方向矢量A，B，C，且以Z=0的平面作為投影平面，則斜平行投影變換矩陣是什么樣的？6.若投影中心處于觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)，投影平面與Z軸垂直并距原點(diǎn)的距離為d，則透視投影變換矩陣是什么樣的？