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1、第 二 節(jié) 整 式 與 因 式 分 解 知 識 點 一 代 數(shù) 式1 代 數(shù) 式用 _把 數(shù) 或 表 示 數(shù) 的 字 母 連 接 起 來 的 式 子 ， 我 們 稱這 樣 的 式 子 為 代 數(shù) 式 特 別 地 ， 單 獨 一 個 數(shù) 或 一 個 字 母 也是 代 數(shù) 式 運 算 符 號 2 代 數(shù) 式 的 值用 具 體 數(shù) 值 代 替 代 數(shù) 式 里 的 字 母 ， 按 照 代 數(shù) 中 的 運 算 關(guān) 系 ，計 算 得 出 的 結(jié) 果 知 識 點 二 整 式 的 有 關(guān) 概 念概 念 ： 只 含 有 數(shù) 或 字 母 的 積 的 式 子 叫 做 單 項 式 ,單 獨 一 個 數(shù) 或 字母 也

2、是 單 項 式 .系 數(shù) ： 單 項 式 中 的 _叫 做 這 個 單 項 式 的 系 數(shù) .次 數(shù) ： 單 項 式 中 ,所 有 字 母 的 _叫 做 這 個 單 項 式 的 次 數(shù) .數(shù) 字 因 數(shù) 指 數(shù) 的 和和 最 高整式 單項式多項式 概 念 ： 幾 個 單 項 式 的 _叫 做 多 項 式 .項 ： 每 個 單 項 式 叫 做 多 項 式 的 項 .次 數(shù) ： 多 項 式 里 ,次 數(shù) _項 的 次 數(shù) ,叫 做 這 個 多 項 式 的 次 數(shù) .1. 2 同 類 項 ： 所 含 字 母 相 同 ， 并 且 相 同 字 母 的 _也 相 同的 項 叫 做 同 類 項 指 數(shù) 確

3、定 代 數(shù) 式 的 同 類 項 要 嚴 格 按 照 定 義 中 的 兩 個 條 件 ， 即 字母 相 同 ， 指 數(shù) 一 樣 特 別 地 ， 所 有 常 數(shù) 項 都 是 同 類 項 3 合 并 同 類 項 ： 把 多 項 式 中 的 同 類 項 合 并 成 一 項 ， 叫 做 合并 同 類 項 其 法 則 是 ： 合 并 同 類 項 時 ， 把 同 類 項 的 _相 加 ， 字 母 和字 母 的 _不 變 系 數(shù)指 數(shù) 知 識 點 三 整 式 的 運 算1 冪 的 運 算 法 則(1)同 底 數(shù) 冪 相 乘 ： am an _ (2)同 底 數(shù) 冪 相 除 ： am an _(3)冪 的 乘

4、方 ： (am)n _(4)積 的 乘 方 ： (ab)n _(5)零 指 數(shù) 冪 ： a0 _(a 0)(6)負 指 數(shù) 冪 ： a p (a 0， p是 正 整 數(shù) )am nam n amn anbn 1 pa1 要 牢 記 冪 的 運 算 公 式 ， 區(qū) 分 開 冪 的 乘 方 和 同 底 數(shù) 冪 相 乘 的運 算 法 則 注 意 不 同 底 數(shù) 冪 不 能 按 照 冪 的 運 算 法 則 運 算 ，需 先 轉(zhuǎn) 化 為 同 底 數(shù) 冪 再 運 算 ， 如 4n 2m (22)n 2m 22n 2m 22n m. 2 整 式 的 加 減(1)一 般 地 ， 幾 個 整 式 相 加 減 ，

5、 如 果 有 括 號 就 先 去 括 號 ， 然后 再 合 并 同 類 項 (2)去 括 號 法 則 如 果 括 號 外 的 因 數(shù) 是 正 數(shù) ， 去 括 號 后 原 括 號 內(nèi) 各 項 的 符號 與 原 來 的 符 號 _， 如 a (b c) a b c， a (bc) a b c. 相 同 如 果 括 號 外 的 因 數(shù) 是 負 數(shù) ， 去 括 號 后 原 括 號 內(nèi) 各 項 的 符號 與 原 來 的 符 號 _， 如 a (b c) a b c， a (bc) a b c. 相 反 3 整 式 的 乘 法(1)單 項 式 與 單 項 式 相 乘 ， 把 它 們 的 系 數(shù) 、 同 底

6、 數(shù) 冪 分 別 相乘 ， 對 于 只 在 一 個 單 項 式 里 含 有 的 字 母 ， 則 連 同 它 的 指 數(shù)作 為 積 的 一 個 因 式 ， 如 3xy 4x2z 12x3yz.(2)單 項 式 與 多 項 式 相 乘 ， 就 是 用 單 項 式 去 乘 多 項 式 的 每 一項 ， 再 把 所 得 的 積 相 加 ， 如 a (b c d) ab ac ad. (3)多 項 式 與 多 項 式 相 乘 ， 先 用 一 個 多 項 式 的 每 一 項 乘 另 一個 多 項 式 的 每 一 項 ， 再 把 所 得 的 積 相 加 ， 如 (a b)(c d) ac ad bc bd.

7、 4 整 式 的 除 法(1)單 項 式 相 除 ， 把 系 數(shù) 與 同 底 數(shù) 冪 分 別 相 除 作 為 商 的 因 式 ，對 于 只 在 被 除 式 里 含 有 的 字 母 ， 則 連 同 它 的 指 數(shù) 作 為 商 的 一個 因 式 ， 如 3a2b ac2 (3 )a2 1 bc 2 9abc 2.(2)多 項 式 除 以 單 項 式 ， 先 把 這 個 多 項 式 的 每 一 項 除 以 這 個 單項 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 ， 如 (4a3b 5ab2) 3ab 4a3b 3ab 5ab2 3ab a2 .31 3134 b35 知 識 點 四 因 式 分 解1

8、因 式 分 解 ： 把 一 個 多 項 式 化 成 了 幾 個 _的 積 的 形 式 ，像 這 樣 的 式 子 變 形 叫 做 這 個 多 項 式 的 因 式 分 解 ， 也 叫 做 把 這個 多 項 式 分 解 因 式 2 因 式 分 解 與 整 式 乘 法 互 為 逆 運 算 ， 即 多 項 式 整式 的 積 3 因 式 分 解 的 方 法(1)提 公 因 式 法 ： ma mb mc m(a b c)整 式 確 定 公 因 式 的 一 般 方 法 ： 先 取 系 數(shù) ， 取 多 項 式 中 各 項 系 數(shù)的 最 大 公 因 數(shù) ； 再 取 字 母 ， 取 各 項 中 的 共 同 的 字

9、母 ； 最 后取 指 數(shù) ， 取 相 同 字 母 的 指 數(shù) 中 最 小 的 數(shù) (2)公 式 法 ： 平 方 差 公 式 ： a2 b2 _； 完 全 平 方 公 式 ： a2 2ab b2 _. (a b)(a b)(a b)2 考 點 一 代 數(shù) 式 (5年 2考 )命 題 角 度 求 代 數(shù) 式 的 值例 1 (2017 宿 遷 )若 a b 2， 則 代 數(shù) 式 5 2a 2b的 值 是 【 分 析 】 原 式 后 兩 項 提 取 2， 變 形 后 將 已 知 等 式 代 入 計 算即 可 【 自 主 解 答 】 a b 2， 原 式 5 2(a b) 5 49.故 答 案 為 9.

10、 解 答 代 數(shù) 式 求 值 問 題 ， 一 般 有 兩 種 方 法 ： 直 接 代 入 求 值 和整 體 代 入 求 值 直 接 代 入 求 值 時 ， 要 注 意 代 數(shù) 式 的 符 號 問題 ； 整 體 代 入 求 值 時 ， 關(guān) 鍵 是 把 要 求 的 代 數(shù) 式 轉(zhuǎn) 化 為 已 知代 數(shù) 式 的 形 式 1 如 果 代 數(shù) 式 2a 3b 8的 值 為 18， 那 么 代 數(shù) 式 9b 6a 2的 值 等 于 ( ) A 28 B 28 C 32 D 322 當 x 1時 ， 代 數(shù) 式 px3 qx 1的 值 為 2 018， 則 x 1時 ，代 數(shù) 式 px3 qx 1的 值 為

11、 ( )A 2 016 B 2 017C 2 015 D 2 019C A 3 在 數(shù) 的 原 有 法 則 中 我 們 補 充 定 義 新 運 算 “ ” 如 下 ： 當ab時 ， a b b2； 當 ab時 ， a b a.則 當 x 2時 ，(1 x) x (3 x)的 值 為 _(“ ” 和 “ ” 仍 為 原 運算 中 的 乘 號 和 減 號 ) 2 命 題 角 度 代 數(shù) 式 規(guī) 律例 2 (2017 德 州 )觀 察 下 列 圖 形 ， 它 是 把 一 個 三 角 形 分 別連 接 這 個 三 角 形 三 邊 的 中 點 ， 構(gòu) 成 4個 小 三 角 形 ， 挖 去 中 間的 一

12、個 小 三 角 形 (如 圖 1)； 對 剩 下 的 三 個 小 三 角 形 再 分 別 重復(fù) 以 上 做 法 ， 將 這 種 做 法 繼 續(xù) 下 去 (如 圖 2， 圖 3 )， 則圖 6中 挖 去 三 角 形 的 個 數(shù) 為 ( )A 121 B 362 C 364 D 729 【 分 析 】 根 據(jù) 題 意 找 出 圖 形 的 變 化 規(guī) 律 ， 根 據(jù) 規(guī) 律 計 算即 可 【 自 主 解 答 】 圖 1挖 去 中 間 的 1個 小 三 角 形 ， 圖 2挖 去 中 間的 (1 3)個 小 三 角 形 ， 圖 3挖 去 中 間 的 (1 3 32)個 小 三 角形 ， ， 則 圖 6挖

13、 去 中 間 的 (1 3 32 33 34 35)個 小 三 角形 ， 即 圖 6挖 去 中 間 的 364個 小 三 角 形 ， 故 選 C. 解 決 這 類 問 題 首 先 要 從 簡 單 圖 形 入 手 ， 抓 住 隨 著 “ 編 號 ”或 “ 序 號 ” 增 加 時 ， 后 一 個 圖 形 與 前 一 個 圖 形 相 比 ， 在 數(shù)量 上 增 加 (或 倍 數(shù) )情 況 的 變 化 ， 找 出 數(shù) 量 上 的 變 化 規(guī) 律 ，從 而 推 出 一 般 性 的 結(jié) 論 4 (2015 德 州 )一 組 數(shù) 1， 1， 2， x， 5， y， 滿 足 “ 從 第三 個 數(shù) 起 ， 每 個

14、 數(shù) 都 等 于 它 前 面 的 兩 個 數(shù) 之 和 ” ， 那 么 這組 數(shù) 中 y表 示 的 數(shù) 為 ( ) A 8 B 9 C 13 D 15A 5 (2017 煙 臺 )用 棋 子 擺 出 下 列 一 組 圖 形 ：按 照 這 種 規(guī) 律 擺 下 去 ， 第 n個 圖 形 用 的 棋 子 個 數(shù) 為 ( )A 3n B 6n C 3n 6 D 3n 3 D 考 點 二 冪 的 運 算 性 質(zhì) (5年 3考 )例 3 (2017 德 州 )下 列 運 算 正 確 的 是 ( )A (a2)m a2m B (2a)3 2a3C a3a 5 a 15 D a3 a 5 a 2 【 分 析 】

15、 根 據(jù) 冪 的 運 算 性 質(zhì) 進 行 計 算 即 可 【 自 主 解 答 】 (2a)3 8a3， 故 B不 正 確 ； a3 a 5 a 2， 故C不 正 確 ； a3 a 5 a8， 故 D不 正 確 ， 故 選 A. 講 ： 混 淆 冪 的 運 算 法 則在 冪 的 運 算 中 ， 最 易 出 錯 的 是 混 淆 同 底 數(shù) 冪 的 乘 法 與 乘 方的 運 算 法 則 在 應(yīng) 用 時 ， 牢 記 以 下 公 式 ： am an am n，(am)n amn， (ab)n anbn.練 ： 鏈 接 變 式 訓(xùn) 練 7 6 (2017 慶 云 二 模 )下 列 計 算 中 ， 結(jié) 果

16、是 a6的 是 ( )A a2 a4 B a2 a3C a12 a2 D (a2)37 若 10m 5， 10n 3， 則 102m 3n _ D 675 考 點 三 整 式 的 運 算 (5年 2考 )例 4 (2016 德 州 )下 列 運 算 錯 誤 的 是 ( )A a 2a 3a B (a2)3 a6C a2 a3 a5 D a6 a3 a2 【 分 析 】 根 據(jù) 合 并 同 類 項 、 冪 的 乘 方 、 同 底 數(shù) 冪 的 乘 法 、同 底 數(shù) 冪 的 除 法 的 運 算 性 質(zhì) 求 解 即 可 【 自 主 解 答 】 a6 a3 a6 3 a3， 故 選 D. 8 (2017

17、 夏 津 一 模 )下 列 計 算 正 確 的 是 ( )A a0 0 B a a2 a3C 2a 3a 6a D 2 19 (2017 樂 陵 一 模 )下 列 計 算 正 確 的 是 ( )A a2 a3 a6 B 2a 3a 6aC a2 a2 a2 3a2 D a2 a2 a2 a621 DC 考 點 四 因 式 分 解 (5年 0考 )例 5 (2017 聊 城 )因 式 分 解 ： 2x2 32x4 . 【 分 析 】 先 提 取 公 因 式 ， 再 用 完 全 平 方 公 式 進 行 因 式 分解 【 自 主 解 答 】 2x2 32x4 2x2(1 16x2) 2x2(1 4x

18、)(14x) 故 答 案 為 2x2(1 4x)(1 4x) 講 ： 因 式 分 解 的 誤 區(qū) 因 式 分 解 的 一 般 步 驟 為 “ 一 提 ” “ 二 套 ” “ 三 檢 驗 ” ，先 考 慮 用 提 公 因 式 法 分 解 ， 再 考 慮 套 用 公 式 分 解 ， 最 后 檢 驗因 式 分 解 是 否 徹 底 、 正 確 在 因 式 分 解 中 ， 最 容 易 出 錯 的 地方 就 是 因 式 分 解 不 徹 底 練 ： 鏈 接 變 式 訓(xùn) 練 10 10 (2017 深 圳 )因 式 分 解 ： a3 4a _11 (2017 內(nèi) 江 )分 解 因 式 ： 3x2 18x 27

19、 _a(a 2)(a 2)3(x 3)2 1 (2017 濰 坊 )下 列 計 算 ， 正 確 的 是 ( )A a3 a2 a6 B a3 a a3C a2 a2 a4 D (a2)2 a42 (2017 濟 寧 )單 項 式 9xmy3與 單 項 式 4x2yn是 同 類 項 ， 則 m n的值 是 ( )A 2 B 3 C 4 D 53 (2017 青 島 )計 算 6m6 ( 2m2)3的 結(jié) 果 為 ( )A m B 1 C. D.43 43DD D 4 (2016 菏 澤 )當 1 a 2時 ， 代 數(shù) 式 |a 2| |1 a|的 值 是( )A 1 B 1 C 3 D 35 (

20、2017 淄 博 )若 a b 3， a2 b2 7， 則 ab等 于 ( )A 2 B 1C 2 D 16 (2017 濟 寧 )計 算 (a2)3 a2 a3 a2 a 3， 結(jié) 果 是 ( )A 2a 5 a B 2a5 C.a5 D.a6a1B B D 7 (2017 菏 澤 )分 解 因 式 ： x3 x _8 已 知 a b 2， ab 1， 則 a2b ab2的 值 為 _9 (2017 天 水 )觀 察 下 列 的 “ 蜂 窩 圖 ” ：則 第 n個 圖 案 中 的 “ ” 的 個 數(shù) 是 _ (用 含 有 n的 代 數(shù)式 表 示 ) x(x 1)(x 1)23n+1 10 (2017 寧 德 )化 簡 并 求 值 ： x(x 2) (x 1)2， 其 中 x 2.解 ： 原 式 x2 2x x2 2x 1 2x2 1，當 x 2時 ， 原 式 8 1 9.