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,,第3單元 力的合成與分解,一、基本概念 1．合力與分力 合力與分力是根據(jù)作用效果命名的，若一個(gè)力與幾個(gè)力的作用效果相同，我們稱這“幾個(gè)力”為分力，“一個(gè)力”為這“幾個(gè)力”的合力．,【名師點(diǎn)撥】 ①合力的“合”不是“和”，“合力”不一定大于分力．可能比分力大，可能比分力小，也可能與分力相等，或?yàn)榱悖?②受力分析時(shí)，如果把某一個(gè)力分解，合力就不存在了，它的作用效果由其分力充當(dāng)，不能同時(shí)把“合力”與“分力”都算上，重復(fù)計(jì)算是出現(xiàn)錯(cuò)誤的根源．,【例1】 (2013·重慶)如圖所示，某人靜躺在椅子上，椅子的靠背與水平面之間有固定傾斜角θ.若此人所受重力為G，則椅子各部分對(duì)他的作用力的合力大小為( ) A．G B．Gsinθ C．Gcosθ D．Gtanθ,,【解析】 椅子各部分對(duì)人的作用力的效果向上，與重力等大反向，人才能平衡在椅子上， 故選A項(xiàng)． 【答案】 A,2．力的合成與分解 求幾個(gè)力的合力叫力的合成；求一個(gè)已知力的分力叫力的分解．,二、平行四邊形定則 1．內(nèi)容 如果用表示兩個(gè)共點(diǎn)力F1和F2的線段為鄰邊作平行四邊形，那么，合力F的大小和方向就可以用這兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線表示出來(lái)．,2．理解 若分力用F1、F2表示，夾角為θ，合力用F合表示，討論以下幾種情況： (1)當(dāng)θ＝0時(shí)，F(xiàn)合＝F1＋F2，此時(shí)F合有最大值； (2)當(dāng)θ＝π時(shí)，F(xiàn)合＝│F1－F2│，此時(shí)F合有最小值． 以上兩種情況綜合起來(lái)可知，合力的范圍|F1－F2|≤F合≤F1＋F2. 【名師點(diǎn)撥】 |F1－F2|≤F合≤F1＋F2不僅適用于力，事實(shí)上，所有矢量的合成的范圍都是這一規(guī)律．,【例2】 (2010·廣東)如圖為節(jié)日里懸掛燈籠的一種方式，A、B點(diǎn)等高，O為結(jié)點(diǎn)，輕繩AO、BO長(zhǎng)度相等，拉力分別為FA、FB，燈籠受到的重力為G，下列表述正確的是( ),,A．FA一定小于G B．FA與FB大小相等 C．FA與FB是一對(duì)平衡力 D．FA與FB大小之和等于G 【解析】 由題意知，A、B兩點(diǎn)等高，且兩繩等長(zhǎng)，故FA與FB大小相等，B選項(xiàng)正確．若兩繩夾角大于120°，則FA＝FB＞G；若夾角小于120°，則FA＝FB＜G；若夾角等于120°，F(xiàn)A＝FB＝G；故選項(xiàng)A、D錯(cuò)．夾角為180°時(shí)，F(xiàn)A與FB才能成為一對(duì)平衡力，但這一情況不可能實(shí)現(xiàn)，故C項(xiàng)錯(cuò)． 【答案】 B,【例3】 (2011·廣東)如圖所示的水平面上，橡皮繩一端固定，另一端連接兩根彈簧，連接點(diǎn)P在F1、F2和F3三力作用下保持靜止．下列判斷正確的是( ) A．F1F2F3 B．F3F1F2 C．F2F3F1 D．F3F2F1,,【解析】 由力的平行四邊形定則及三角形知識(shí)，可知F1、F2和F3組成矢量三角形，其中F3為斜邊，F(xiàn)1為60°所對(duì)直角邊，F(xiàn)2為30°所對(duì)直角邊，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊，選項(xiàng)B正確． 【答案】 B,【名師點(diǎn)撥】 理解并熟記兩個(gè)特例： ①同一平面，當(dāng)三個(gè)力數(shù)值相等，互成120°角時(shí)，其合力為零． ②兩個(gè)分力數(shù)值相等，互成120°角時(shí)，其合力必與分力值相等，方向沿角平分線．,【例4】 用一根長(zhǎng)1 m的輕質(zhì)細(xì)繩將一個(gè)質(zhì)量為1 kg的畫框?qū)ΨQ懸掛在墻壁上，已知繩能承受的最大張力為10 N，為使繩不斷裂，畫框上兩個(gè)掛釘?shù)拈g距最大為(g取10 m/s2)( ),,【解析】 熟練應(yīng)用力的合成和分解以及合成與分解中的一些規(guī)律，是解決本題的根本；一個(gè)大小方向確定的力分解為兩個(gè)等大的力時(shí)，合力在分力的角平分線上，且兩分力的夾角越大，分力越大．,,【答案】 A,【觸類旁通】 如圖所示，已知物體重G，CB與BA夾角為30°，在均勻輕質(zhì)棒AB的B端安一小定滑輪，輕質(zhì)細(xì)繩一端固定在C點(diǎn)，另一端接重物G，細(xì)繩跨接定滑輪．求滑輪B端受到的壓力．,,【解析】 ∵TBC＝TBG＝G，且互成120°. ∴B端受到的壓力NB＝G，方向與BA成30°斜向下． 【答案】 G 方向與BA成30°斜向下,,三、力的分解 1．計(jì)算依據(jù) 力的分解是力的合成的逆運(yùn)算，仍符合平行四邊形定則． 【名師點(diǎn)撥】 一個(gè)力若沒(méi)有條件限制，可以有無(wú)數(shù)組分解法，但對(duì)一個(gè)具體的實(shí)例，力的分解是唯一的．原因：力的作用效果是確定的．,2．分解的實(shí)質(zhì) 把一個(gè)力分解為兩個(gè)力的實(shí)質(zhì)，是將這個(gè)力在客觀上同時(shí)產(chǎn)生的，沿兩個(gè)分力方向上產(chǎn)生的兩種效果．只有把這兩種客觀存在的、帶有方向性的效果，分析判斷準(zhǔn)確，才能做出符合要求的力的分解．,【例5】 斜面上物體所受的重力的分解 ①如圖(一般情況) Gx＝________，Gy＝________.,,②如圖(特殊情況) Gx＝________，Gy＝________. 【答案】 ①Gsinθ Gcosθ ②Gtanθ G/cosθ,,【例6】 單擺所受重力的分解 ①沿弧線的切線方向提供簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力：Gx＝________； ②沿繩子方向拉緊繩子：Gy＝________. 【答案】 ①Gsinθ ②Gcosθ,,【例7】 圓錐擺所受重力的分解： ①沿水平方向提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力Gx＝________； ②沿繩方向拉緊繩子Gy＝________. 【答案】 ①Gtanθ ②G/cosθ,,【名師點(diǎn)撥】 例5①圖與例6圖，例5②圖與例7圖中結(jié)論的相似性，從分解的方向性上看是必然的，不是偶然的巧合．,【例8】 (創(chuàng)新題)在水平地面上固定一光滑半球，半徑為R，一個(gè)物體從半球頂端A自由滑下，求物體在多高處離開(kāi)球面？ 【解析】 物體離開(kāi)球面時(shí)，球面對(duì)物體的彈力為零，此時(shí)物體只受重力，則重力分解如圖所示．,,3．力的正交分解 (1)作法與作用： 所謂“正交分解”是把力沿兩個(gè)經(jīng)選定的互相垂直的方向進(jìn)行分解的方法，其目的是便于運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算公式來(lái)解決矢量的運(yùn)算，是處理復(fù)雜的力的合成與分解問(wèn)題上的一種較簡(jiǎn)便的方法．特別是應(yīng)用在受力分析中，顯得簡(jiǎn)便易行．,(2)分解的原則： ①讓盡可能多的力坐落在坐標(biāo)軸上，如圖所示． ②題目中若有加速度，則沿物體運(yùn)動(dòng)方向和垂直于運(yùn)動(dòng)方向分解． 因?yàn)檠匚矬w運(yùn)動(dòng)方向ax＝a，則∑Fx＝ma； 垂直方向ay＝0，則∑Fy＝0. ③從解決問(wèn)題方便角度看，有些情況需要分解加速度．,,【例9】 如圖所示，質(zhì)量為m的人站在自動(dòng)扶梯上，扶梯正以加速度a向上加速運(yùn)動(dòng)，a與水平方向的夾角為θ，求人受的摩擦力大小和方向．,,【解析】 對(duì)人受力分析如圖所示，其中f方向的判斷依據(jù)：a沿如圖所示的x軸、y軸分解，說(shuō)明必須有力產(chǎn)生ax，則f＝max＝macosθ，方向：水平向右． 【答案】 macosθ 水平向右,,【觸類旁通】 為了節(jié)省能量，某商場(chǎng)安裝了智能化的電動(dòng)扶梯．無(wú)人乘行時(shí)，扶梯運(yùn)轉(zhuǎn)得很慢；有人站上扶梯時(shí)，它會(huì)先慢慢加速，再勻速運(yùn)轉(zhuǎn)．一顧客乘扶梯上樓，恰好經(jīng)歷了這兩個(gè)過(guò)程，如圖所示．那么下列說(shuō)法中正確的是( ),,A．顧客始終受到三個(gè)力的作用 B．顧客始終處于超重狀態(tài) C．顧客對(duì)扶梯作用力的方向先指向左下方，再豎直向下 D．顧客對(duì)扶梯作用力的方向先指向右下方，再豎直向下,【解析】 在慢慢加速的過(guò)程中顧客受到的摩擦力水平向右，電梯對(duì)其的支持力和摩擦力的合力方向指向右上方，由牛頓第三定律，知它的反作用力即人對(duì)電梯的作用方向指向左下方；在勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，顧客與電梯間的摩擦力等于零，顧客對(duì)扶梯的作用力僅剩下壓力，方向沿豎直向下． 【答案】 C,,,【學(xué)法指導(dǎo)】 (1)正交分解法分解的每一個(gè)力不一定按實(shí)際效果進(jìn)行分解．分解原則①②③只是一般規(guī)律，對(duì)力的分解仍需要具體問(wèn)題具體分析，靈活機(jī)動(dòng)． (2)摩擦力的方向不是與運(yùn)動(dòng)方向相反，不能與圖中的方向相反，應(yīng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，這里的判斷運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律法．,求合力的方法 1．圖解法 根據(jù)平行四邊形定則，利用鄰邊及其夾角對(duì)角線長(zhǎng)短的關(guān)系分析力的大小變化情況，此法具有直觀、簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，多用于定性研究．,【例1】 如圖所示．三個(gè)完全相同的金屬小球a、b、c位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上．a(chǎn)和c帶正電，b帶負(fù)電，a所帶電量的大小比b的?。阎猚受到a和b的靜電力的合力可用圖中四條有向線段中的一條來(lái)表示，它應(yīng)是( ) A．F1 B．F2 C．F3 D．F4,,【答案】 B,2．解析法 如圖所示，在△OFF1中應(yīng)用余弦定理，可得,,,,【答案】 A,【學(xué)法指導(dǎo)】 雖然《考試說(shuō)明》中沒(méi)有平行四邊形的解析法，但它是數(shù)學(xué)知識(shí)(余弦定理)在圖形中的應(yīng)用．掌握這種方法能夠開(kāi)拓我們的視野，使我們解決問(wèn)題的思路更寬廣，本題的其他解法由讀者自己完成，再如“動(dòng)量定理”“考試說(shuō)明”只要會(huì)定性分析，不要求定量計(jì)算，但近幾年的高考題多次考查了動(dòng)量定理，因此，在平時(shí)的復(fù)習(xí)過(guò)程中，注意把握“考試說(shuō)明”的度的問(wèn)題．,3．三角形定則 三角形定則實(shí)質(zhì)是平行四邊形定則的變形，只是由于其特殊性，在解決矢量合成問(wèn)題上顯得簡(jiǎn)捷，我們才特別將其另列出來(lái)．,如圖所示，在△OAB中F1、F2、F合構(gòu)成如圖的矢量圖，這三個(gè)矢量間的“組合”特點(diǎn)是：F1的尾連F2的首，而F1的首與F2的尾的連線就是合力F合．即F合為開(kāi)始的首與最后的尾的連線．這種方法在分析力的極值問(wèn)題上體現(xiàn)出了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)．,,【例3】 (2012·上海)已知兩個(gè)共點(diǎn)力的合力為50 N，分力F1的方向與合力F的方向成30°角，分力F2的大小為30 N．則( ) A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的 C．F2有兩個(gè)可能的方向 D．F2可取任意方向,【解析】 由圖形可知F2min＝Fsin30°＝25 N，而F2＝30 NF2min，即F2有兩個(gè)可能的方向，只有選項(xiàng)C是正確的． 【答案】 C,,,【學(xué)法指導(dǎo)】 力的矢量三角形定則分析力的極值問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合求極值的一種方法．?dāng)?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中是常用的一種方法．實(shí)質(zhì)上，所有矢量都可以利用這種數(shù)形結(jié)合的形式求極值．如在“小船渡河”問(wèn)題中，當(dāng)v船＜v水的情況下，求小船過(guò)河的最短距離即用此法，以v水矢量末端為圓心，以v船為半徑作圖，則過(guò)O點(diǎn)與圓相切直線OB為最短距離，如圖所示．,,,一、力的合成極值的拓展 【例1】 (創(chuàng)新題)有三個(gè)共面的共點(diǎn)力大小分別為2 N、8 N、7 N，求其合力最大值及最小值各是多大？ 【解析】 Fmax＝F1＋F2＋F3＝2 N＋8 N＋7 N＝17 N Fmin＝0，因8 N、7 N二力的合力范圍在〔1,15〕，2 N在其內(nèi)，因此，只要選取8 N、7 N兩力夾角適當(dāng)，總有8 N、7 N合力與2 N等大反向，故三力合力為零，同理可分析其他情況． 【答案】 17 0,【學(xué)法指導(dǎo)】 三個(gè)共點(diǎn)力的極值是二個(gè)共點(diǎn)力極值的拓展，三力大小只要能構(gòu)成三角形(即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊)，由矢量的三角形定則可知，合力最小值為0，由此可以規(guī)律化．只要共面力大小能構(gòu)成三角形，其合力最小值一定為零．特別提醒：若三力大小不能構(gòu)成三角形，則無(wú)以上結(jié)論．如三力為2 N、8 N、12 N，三力的合力最大值為22 N，但最小值為2 N.,二、圖形(象)的處理 力的合成與分解遵循平行四邊形定則，涉及到數(shù)學(xué)中 的幾何圖形及以坐標(biāo)或函數(shù)形式表達(dá)，因此，要善于利用幾何圖形的特點(diǎn)及坐標(biāo)形式進(jìn)行分析問(wèn)題．,【例2】 作用在一個(gè)物體上的兩個(gè)共點(diǎn)力的合力的大小隨兩力之間的角度變化的關(guān)系如圖所示，則有( ) A．這兩個(gè)力的合力的最大值為30 N B．這兩個(gè)力的合力的最小值為10 N C．由該圖象可確定兩個(gè)分力大小值 D．只能確定兩分力值的范圍，不能確定具體值,,【解析】 不妨設(shè)分力F1＞F2，由圖可知，當(dāng)θ＝0或2π時(shí)，分力F1、F2在一條直線上同向，故有 Fmax＝F1＋F2＝30 N① 當(dāng)θ＝π時(shí)，分力F1、F2在一條直線上，反向，故有 Fmin＝F1－F2＝10 N② 聯(lián)立①②式，可得F1＝20 N，F(xiàn)2＝10 N，故選項(xiàng)A、B、C正確． 【答案】 ABC,