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1、機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 高 階 線 性 微 分 方 程 解 的 結 構 第 七 節(jié) 二 、 線 性 齊 次 方 程 解 的 結 構 三 、 線 性 非 齊 次 方 程 解 的 結 構 *四 、 常 數(shù) 變 易 法 一 、 二 階 線 性 微 分 方 程 舉 例 第 十 二 章 一 、 二 階 線 性 微 分 方 程 舉 例 當 重 力 與 彈 性 力 抵 消 時 , 物 體 處 于 平 衡 狀 態(tài) , 例 1. 質 量 為 m的 物 體 自 由 懸 掛 在 一 端 固 定 的 彈 簧 上 ,力 作 用 下 作 往 復 運 動 , xx o解 : 阻 力 的 大 小 與

2、運 動 速 度下 拉 物 體 使 它 離 開 平 衡 位 置 后 放 開 , 若 用 手 向物 體 在 彈 性 力 與 阻取 平 衡 時 物 體 的 位 置 為 坐 標 原 點 ,建 立 坐 標 系 如 圖 . 設 時 刻 t 物 位 移 為 x(t).(1) 自 由 振 動 情 況 .彈 性 恢 復 力 物 體 所 受 的 力 有 :(虎 克 定 律 )xcf 成 正 比 , 方 向 相 反 .建 立 位 移 滿 足 的 微 分 方 程 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 據(jù) 牛 頓 第 二 定 律 得 txxctxm dddd 22 ,2 mck ,2 mn 令 則 得 有

3、 阻 尼 自 由 振 動 方 程 :0dd2dd 222 xktxntx阻 力 txR dd(2) 強 迫 振 動 情 況 .若 物 體 在 運 動 過 程 中 還 受 鉛 直 外 力作 用 ，tpHF sin ，令 mh H 則 得 強 迫 振 動 方 程 :tphxktxntx sindd2dd 222 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 求 電 容 器 兩 兩 極 板 間 電 壓 0dd iRCqtiLE例 2. 聯(lián) 組 成 的 電 路 , 其 中 R , L , C 為 常 數(shù) , ,sin tEE m 所 滿 足 的 微 分 方 程 .cu提 示 : 設 電 路 中 電

4、流 為 i(t), L ER KCq q i上 的 電 量 為 q(t) , 自 感 電 動 勢 為 ,LE由 電 學 知 ,ddtqi ,CquC tiLEL dd根 據(jù) 回 路 電 壓 定 律 :設 有 一 個 電 阻 R , 自 感 L ,電 容 C 和 電 源 E 串極 板 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 在 閉 合 回 路 中 , 所 有 支 路 上 的 電 壓 降 為 0 LCLR 1,2 0 令 tLCEututu mCCC sindd2dd 2022 串 聯(lián) 電 路 的 振 蕩 方 程 :如 果 電 容 器 充 電 后 撤 去 電 源 ( E = 0 ) , 則

5、 得0dd2dd 2022 CCC ututu L ER KCq q i22dd tuCL C tuCR Cdd Cu tEm sin 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 化 為 關 于 cu 的 方 程 : ,dd tuCi C注 意 故 有 n 階 線 性 微 分 方 程 的 一 般 形 式 為方 程 的 共 性 為 二 階 線 性 微 分 方 程 . 例 1 例 2 ,)()()( xfyxqyxpy 可 歸 結 為 同 一 形 式 : )()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn 時 , 稱 為 非 齊 次 方 程 ; 0)( xf 時 , 稱 為

6、齊 次 方 程 .復 習 : 一 階 線 性 方 程 )()( xQyxPy 通 解 : xexQe xxPxxP d)( d)(d)( xxPeCy d)( 非 齊 次 方 程 特 解齊 次 方 程 通 解 Y y0)( xf 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 )( 11 yCxP )( 11 yCxQ 0 證 畢二 、 線 性 齊 次 方 程 解 的 結 構)(),( 21 xyxy若 函 數(shù) 是 二 階 線 性 齊 次 方 程0)()( yxQyxPy的 兩 個 解 ,也 是 該 方 程 的 解 .證 : )()( 2211 xyCxyCy 將 代 入 方 程 左 邊 ,

7、得 11 yC 22yC 22yC 22yC)()( 1111 yxQyxPyC )()( 2222 yxQyxPyC (疊 加 原 理 ) )()( 2211 xyCxyCy 則 ),( 21 為 任 意 常 數(shù)CC定 理 1. 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 說 明 : 不 一 定 是 所 給 二 階 方 程 的 通 解 .例 如 , )(1 xy 是 某 二 階 齊 次 方 程 的 解 ,)(2)( 12 xyxy 也 是 齊 次 方 程 的 解 )()2()()( 1212211 xyCCxyCxyC 并 不 是 通 解但 是 )()( 2211 xyCxyCy 則為

8、解 決 通 解 的 判 別 問 題 , 下 面 引 入 函 數(shù) 的 線 性 相 關 與 線 性 無 關 概 念 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 定 義 : )(,),(),( 21 xyxyxy n設 是 定 義 在 區(qū) 間 I 上 的 n 個 函 數(shù) , , 21 nkkk 使 得Ixxykxykxyk nn ,0)()()( 2211 則 稱 這 n個 函 數(shù) 在 I 上 線 性 相 關 , 否 則 稱 為 線 性 無 關 .例 如 ， ,sin,cos,1 22 xx 在 ( , )上 都 有0sincos1 22 xx故 它 們 在 任 何 區(qū) 間 I 上 都 線

9、性 相 關 ;又 如 ， ,1 2xx 若 在 某 區(qū) 間 I 上 ,02321 xkxkk則 根 據(jù) 二 次 多 項 式 至 多 只 有 兩 個 零 點 , 321 , kkk必 需 全 為 0 , 可 見2,1 xx故 在 任 何 區(qū) 間 I 上 都 線 性 無 關 .若 存 在 不 全 為 0 的 常 數(shù) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 兩 個 函 數(shù) 在 區(qū) 間 I 上 線 性 相 關 與 線 性 無 關 的 充 要 條 件 :)(),( 21 xyxy 線 性 相 關 存 在 不 全 為 0 的 21,kk 使0)()( 2211 xykxyk 1221 )( )(

10、kkxy xy ( 無 妨 設 )01 k)(),( 21 xyxy 線 性 無 關 )( )(21 xy xy 常 數(shù)思 考 : )(),( 21 xyxy若 中 有 一 個 恒 為 0, 則 )(),( 21 xyxy必 線 性 相 關 0)()( )()( 21 21 xyxy xyxy (證 明 略 )21, yy可 微 函 數(shù) 線 性 無 關 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 定 理 2. )(),( 21 xyxy若 是 二 階 線 性 齊 次 方 程 的 兩 個 線性 無 關 特 解 , 則 )()( 2211 xyCxyCy 數(shù) ) 是 該 方 程 的 通 解 .

11、例 如 , 方 程 0 yy 有 特 解 ,cos1 xy ,sin2 xy 且常 數(shù) , 故 方 程 的 通 解 為xCxCy sincos 21 (自 證 ) 推 論 . nyyy , 21 若 是 n 階 齊 次 方 程 0)()()( 1)1(1)( yxayxayxay nnnn 的 n 個 線 性 無 關 解 , 則 方 程 的 通 解 為 )(11 為 任 意 常 數(shù)knn CyCyCy xy tan2 1y 為 任 意 常21,( CC 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 三 、 線 性 非 齊 次 方 程 解 的 結 構 )(* xy設 是 二 階 非 齊 次 方

12、 程的 一 個 特 解 , )(*)( xyxYy Y (x) 是 相 應 齊 次 方 程 的 通 解 ,定 理 3. )()()( xfyxQyxPy 則是 非 齊 次 方 程 的 通 解 .證 : 將 )(*)( xyxYy 代 入 方 程 左 端 , 得)*( yY )*()( yYxP )*)(*)(*( yxQyxPy )()( YxQYxPY )(0)( xfxf )*()( yYxQ 復 習 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 )(*)( xyxYy 故 是 非 齊 次 方 程 的 解 , 又 Y 中 含 有兩 個 獨 立 任 意 常 數(shù) ,例 如 , 方 程 xyy 有 特

13、 解 xy *xCxCY sincos 21 對 應 齊 次 方 程 0 yy 有 通 解因 此 該 方 程 的 通 解 為 xxCxCy sincos 21 證 畢因 而 也 是 通 解 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 定 理 4. ),2,1()( nkxyk 設 分 別 是 方 程的 特 解 , 是 方 程 ),2,1()()()( nkxfyxQyxPy k nk kyy 1則 )()()( 1 xfyxQyxPy nk k的 特 解 . (非 齊 次 方 程 之 解 的 疊 加 原 理 ) 定 理 3, 定 理 4 均 可 推 廣 到 n 階 線 性 非 齊 次

14、方 程 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 定 理 5. )(,),(),( 21 xyxyxy n設 是 對 應 齊 次 方 程 的 n 個 線 性)(*)()()( 2211 xyxyCxyCxyCy nn 無 關 特 解 , 給 定 n 階 非 齊 次 線 性 方 程 )()()( )1(1)( xfyxayxay nnn )()( xyxY )(* xy 是 非 齊 次 方 程 的 特 解 , 則 非 齊 次 方 程的 通 解 為齊 次 方 程 通 解 非 齊 次 方 程 特 解 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 常 數(shù) , 則 該 方 程 的 通 解 是

15、 ( ). 321 , yyy設 線 性 無 關 函 數(shù) 都 是 二 階 非 齊 次 線性 方 程 )()()( xfyxQyxPy 的 解 , 21,CC 是 任 意;)( 32211 yyCyCA ;)()( 3212211 yCCyCyCB ;)1()( 3212211 yCCyCyCC .)1()( 3212211 yCCyCyCD D例 3.提 示 : 3231 , yyyy 都 是 對 應 齊 次 方 程 的 解 ,二 者 線 性 無 關 . (反 證 法 可 證 ) 3322311 )()()( yyyCyyCC (89 考 研 )3322311 )()()( yyyCyyCD

16、機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 例 4. 已 知 微 分 方 程 )()()( xfyxqyxpy 個 解 , 2321 xx eyeyxy 求 此 方 程 滿 足 初 始 條 件3)0(,1)0( yy 的 特 解 .解 : 1312 yyyy 與 是 對 應 齊 次 方 程 的 解 , 且 xe xeyy yy xx213 12 常 數(shù)因 而 線 性 無 關 , 故 原 方 程 通 解 為 )()( 221 xeCxeCy xx x代 入 初 始 條 件 ,3)0(,1)0( yy ,2,1 21 CC得.2 2 xx eey 故 所 求 特 解 為 有 三 機 動 目 錄

17、 上 頁 下 頁 返 回 結 束 *四 、 常 數(shù) 變 易 法復 習 : 常 數(shù) 變 易 法 : )()( xfyxpy 對 應 齊 次 方 程 的 通 解 : )(1 xyCy xxpexy d)(1 )(設 非 齊 次 方 程 的 解 為 )(1 xyy 代 入 原 方 程 確 定 ).(xu對 二 階 非 齊 次 方 程 )()()( xfyxQyxPy 情 形 1. 已 知 對 應 齊 次 方 程 通 解 : )()( 2211 xyCxyCy 設 的 解 為 )()( 21 xyxyy )(1 xv )(2 xv )(),( 21 待 定xvxv由 于 有 兩 個 待 定 函 數(shù) ,

18、 所 以 要 建 立 兩 個 方 程 : )(xu 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 2211 vyvyy 2211 vyvy , 21 vvy 中 不 含為 使 令 02211 vyvy于 是 22112211 vyvyvyvyy 將 以 上 結 果 代 入 方 程 : 2211 vyvy 1111 )( vyQyPy )()( 2222 xfvyQyPy 得 )(2211 xfvyvy 故 , 的 系 數(shù) 行 列 式021 21 yy yyW 21,yy 是 對 應齊 次 方 程 的 解, 21 線 性 無 關因 yy P10 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 fyWv

19、fyWv 1221 1,1 積 分 得 : )(),( 222111 xgCvxgCv 代 入 即 得 非 齊 次 方 程 的 通 解 : )()( 22112211 xgyxgyyCyCy 于 是 得 說 明 : 將 的 解 設 為 )()( 21 xyxyy )(1 xv )(2 xv只 有 一 個 必 須 滿 足 的 條 件 即 方 程 , 因 此 必 需 再 附 加 一 個 條 件 , 方 程 的 引 入 是 為 了 簡 化 計 算 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 情 形 2. ).(1 xy僅 知 的 齊 次 方 程 的 一 個 非 零 特 解 ,)()( 1 x

20、yxuy 令 代 入 化 簡 得 uyPyuy )2( 111 uyQyPy )( 111 fuz 令 fzyPyzy )2( 111設 其 通 解 為 )()(2 xzxZCz 積 分 得 )()(21 xuxUCCu (一 階 線 性 方 程 )由 此 得 原 方 程 的 通 解 : )()()()()( 11211 xyxuxyxUCxyCy 代 入 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 例 5. 0)1( yyxyx 的 通 解 為,21 xeCxCY 的 通 解 .解 : 將 所 給 方 程 化 為 : 1111 xyxyxxy已 知 齊 次 方 程求 2)1()1( xyyxyx

21、 ),()( 21 xvexvxy x令 利 用 , 建 立 方 程 組 : 021 vevx x 121 xvev x ,1 21 xexvv 解 得 積 分 得 xexCvxCv )1(, 2211故 所 求 通 解 為 )1( 221 xxeCxCy x )1( 221 xeCxC x , 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 例 6. 42 )()2( xyyxxyx 求 方 程 的 通 解 .解 : 對 應 齊 次 方 程 為 0)()2(2 yyxxyx由 觀 察 可 知 它 有 特 解 : ,1 xy 令 ,)(xuxy 代 入 非 齊 次 方 程 后 化 簡 得xuu 此 題 不 需 再 作 變 換 . 特 征 根 : ,1,0 rr設 的 特 解 為 )( BAxxu 于 是 得 的 通 解 : )( 22121 xxeCCu x 故 原 方 程 通 解 為 (二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 方 程 ) 代 入 可 得 : 1,21 BA )( 232121 xxexCxCuxy x 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 思 考 與 練 習 P300 題 1, 3, 4(2), (5) 作 業(yè) P 301 *6, *8 第 八 節(jié) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束