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1、2baab 返回目錄 1.如果a，b R,那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）.2.如果a，b是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）.3.通常把 叫做基本不等式.(a0,b0)a2+b22ab a=ba=b ab2b+a 2 b+aab 返回目錄 設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，以下不等式： ;a|a-b|-b;a2+b24ab-3b2;ab+ 2恒成立的序號(hào)為（ ）A. B. C. D. 判斷命題是否成立，即判斷命題的條件是否成立，所給命題是否與基本不等式不矛盾.b+a2ababab2 返回目錄 , ,不恒成立; a，b是正實(shí)數(shù)， a+b|a-b|,即a|a-b|-b,恒成立; a2+4b24ab, a2+b2

2、4ab-3b2,不恒成立; ab+ 2 =2 2,恒成立. 故應(yīng)選D. 應(yīng)用均值不等式判斷命題的真假的關(guān)鍵是看是否符合均值不等式的條件，即a2+b22ab成立的條件是a，b R,而 成立的條件是a0且b0. ab2b+a b+a2ababab2 ab2ab 2ab2 b+a 若a，b是正數(shù)，則 這四個(gè)數(shù)的大小順序是 .( a，b是正數(shù)，而 ,又a2+b22ab 2(a2+b2)(a+b)2 , ，因此 .)2ba,ba2ab,ab,2ba 22 + 2 b+a2 b+aabb+a2ab 22返回目錄 abab22abb+a2ab 2 b+aab 2 b+a 22 2)2 b+a(2 b+a 2

3、 b+a 22 2 b+a2 b+aabb+a2ab 22 （1）設(shè)0 x2,求函數(shù) 的最大值；（2）求 +a的取值范圍；（3）已知x0,y0,且x+y=1，求 的最小值.（1）中3x與8-3x的和為定值8，故可利用均值不等式求解.（2）中和與積都不是定值，但將 變形為 +（a-4）+4，即可發(fā)現(xiàn) (a-4)=3為定值，但要注意a-4的取值范圍.返回目錄 )3x-3x(8=y4-a 3 y2+x8a+4-a 3 4-a 34-a 3 返回目錄 （1） 0 x2, 03x6,8-3x20, ,當(dāng)且僅當(dāng)3x=8-3x，即x= 時(shí),取等號(hào).當(dāng)x= , 的最大值是4.)3x-3x(8=y 4=28=2

4、 3x)-(8+3x3434 )3x-3x(8=y (2)顯然a4,當(dāng)a4時(shí)，a-40， +a= +（a-4）+42 +4=2 +4,當(dāng)且僅當(dāng) =a-4，即a=4+ 時(shí)，取等號(hào)；當(dāng)a4時(shí)，a-40, +a= +(a-4)+4=- +(4-a) +4-2 +4=-2 +4,當(dāng)且僅當(dāng) =4-a，即a=4-3時(shí)，取等號(hào). +a的取值范圍是（-,-2 +42 +4,+). 返回目錄 4-a 3 4-a 3 4)-(a4-a33 4-a 3 34-a 3 4-a 3a-4 3 4)-(aa-433 4-a 3 a-4 3 3 3 返回目錄 (3) x0,y0,且x+y=1， = （x+y）=10+ 10

5、+2 =18.當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=2y時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)x= ，y= 時(shí)， 有最小值18.y2+x8 )y2+x8(y2x+x8y y2x+x8yy2x=x8y32 31 y2x8 + 返回目錄 （1）在利用均值不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí)，有時(shí)不一定恰好能用上均值不等式，因此還必須對(duì)所給的函數(shù)或代數(shù)式進(jìn)行變形整理，通過(guò)湊項(xiàng)的辦法（一般是湊和或者積為定值）構(gòu)造出均值不等式的形式再進(jìn)行求解.本題第（2）小題中 +4 雖不是定值，但變形為 +（a-4）+4 即可發(fā)現(xiàn) (a-4)=3為定值，故可用均值不等式求之.分式函數(shù)求最值，通?；蓎=mg（x）+ +B（A0,m0,g(x)恒正或恒負(fù)）的形式，然后運(yùn)

6、用均值不等式來(lái)求最值. 4-a 34-a 34-a 3 g(x)A （2）第（3）小題要求根據(jù)條件求最值，如何合理利用條件x+y=1是解答本題的關(guān)鍵，方法是在式子上乘以（x+y）.利用均值不等式求最值時(shí)，要注意三個(gè)條件，即：“一正、二定、三相等”，本題常見(jiàn)的誤解為： x0,y0, = （x+y）2 2 =16，此法錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有考慮等號(hào)成立的條件中 和x=y同時(shí)成立是不可能的.所以在不等式連續(xù)放縮的時(shí)候,要時(shí)刻注意是否在同一條件下進(jìn)行放縮,放縮時(shí)還要注意有目的性、同向性，不要出現(xiàn)放縮后不能比較大小的情況.在第（2）小題中當(dāng)a4,即a-40時(shí)，要用均值不等式必須前 面添負(fù)號(hào)變?yōu)檎?返回目錄 y

7、2+x8 )y2+x8( xy16 xy y2+x8 返回目錄 （1）已知x0,y0,且 =1，求x+y的最小值；（2）已知x ,求函數(shù)y=4x-2+ 的最大值；（3）若x，y（0，+）且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值. x0,y0, =1, x+y=(x+y)（ ）= +106+10=16.當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),上式等號(hào)成立,又 =1, x=4,y=12時(shí),(x+y)min=16.y9+x145 5-4x1y9+x1y9+x1 y9x+xyy9x=xyy9+x1 x , 5-4x0, y=4x-2+ =-（5-4x+ ）+3-2+3=1,當(dāng)且僅當(dāng)5-4x= ,即x=1時(shí),上式等號(hào)成立,故當(dāng)x

8、=1時(shí),ymax=1.返回目錄 45 5-4x1 4x-5 14x-5 1 (3)由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy， ， x+y=（x+y）（ ） =10+ =10+2（ ）10+22 =18，當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=2y時(shí)取等號(hào)，又2x+8y-xy=0， x=12，y=6，當(dāng)x=12，y=6時(shí)，x+y取最小值18.返回目錄 1=x8+y2 y2+x8 y2x+x8yyx+x4y yxx4yyx=x4y 返回目錄 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 時(shí),取等號(hào).已知a，b，c R+,且a+b+c=1，求證：可進(jìn)行“1的代換”，為使用基本不等式創(chuàng)造條件.9c1+b1+a1 9=2+2+2+3)cb+bc(

9、+)ca+ac(+)ba+ab(+3= c c+b+a+b c+b+a+a c+b+a=c1+b1+a1 31 【評(píng)析】（1）用好公式 2(a,b同號(hào)).（2）“1”的代換技巧.返回目錄 ba+ab 返回目錄 已知x0,y0,z0.求證： x0,y0,z0,（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立）8)zy+zx)(yz+yx)(xz+xy( 02yz+yx,02xz+xy yxzxyz 02zy+zx zxy 8.=xyz xyxzyz8)zy+zx)(yz+yx)(xz+xy( 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2 的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖5-4-1所示）.如果池四周圍墻建造單價(jià)為400

10、元/m，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m，池底建造單價(jià)為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì).(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).(2)若由于地形限制，該池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16m， 試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).返回目錄 返回目錄 首先把造價(jià)表示為某一變量的函數(shù)，再利用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)求出最小值. 設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為xm,則寬為 m,再設(shè)總造價(jià)為y元,則有 (1)y=2x400+ 2400+2482 +80200=800 x+ +16 0002 +16 000=280018+16 000=44 800, 當(dāng)且僅當(dāng)800 x=

11、 ， 即x=18m時(shí)，y取得最小值. 當(dāng)污水池的長(zhǎng)為18m，寬為 m時(shí)總造價(jià)最低，為44 800元. 返回目錄 x 200 x200 x200 x 200 259 x200 259800 x x 200 259 9100 返回目錄 （2） 0 x16,0 16, 12.5x16,x18, 不能用基本不等式，但我們可用函數(shù)單調(diào)性定義證明上述目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間12.5,16上是減函數(shù)，從而利用單調(diào)性求得最小值. 由（1）知，y=(x) =800(x+ )+16 000(12.5x16). 對(duì)任意x1,x212.5,16,設(shè)x 1x2, 則(x1)-(x2)=800 (x1-x2)+324( ) x 2

12、00 x324 21 x1-x10 xx 324)-x)(xx-800(x= 21 2121 返回目錄 【評(píng)析】不等式應(yīng)用的特點(diǎn)是：（1）問(wèn)題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，如“物價(jià)、稅收、銷售、市場(chǎng)信息”等，題目往往篇幅較長(zhǎng).（2）建立函數(shù)模型常見(jiàn)的有“正（反）比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，以及y=ax+ （a0,b0）”等形式.解函數(shù)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式來(lái)解決. (x1)(x2),故y=(x)在12.5,16上為減函數(shù).從而有(x)(16)=45 000,當(dāng)污水池的長(zhǎng)度為16m，寬為12.5m時(shí)有最低總造價(jià)，最低總造價(jià)為45 0

13、00元. xb 如圖5-4-2所示，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.(1)現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24m2， 則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì) 為多少時(shí)，可使圍成四間虎 籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？返回目錄 返回目錄 (1)設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為xm,寬為ym,則由條件得4x+6y=36,即2x+3y=18, 設(shè)每間虎籠面積為S,則S=xy.:由于2x+3y2 =2 , 2 18,得xy , 即S ，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí),等號(hào)成立. 2x+3y=18 x=4.5 2x=3y, y=3, 故每

14、間虎籠長(zhǎng)為4.5m,寬為3m時(shí),可使每間虎籠面積最大. 2x 3y 6xy6xy 227由解得 227 返回目錄 :由2x+3y=18,得x=9- y. x0, 0y6,S=xy=(9- y)y= (6-y)y, 0y0, S 2= .當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y,即y=3時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)x=4.5.故每間虎籠長(zhǎng)4.5m,寬3m時(shí),可使每間虎籠面積最大.2 323 23 2272 y+y)-(623 返回目錄 (2)由條件知S=xy=24,設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為l,則l=4x+6y.: 2x+3y2 =2 =24, l=4x+6y=2(2x+3y)48,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí),等號(hào)成立, 2x=3y x=6 xy=24, y=4.故每間虎籠長(zhǎng)6m,寬4m時(shí),可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小.2x 3y 6xy由解得 :由xy=24,得x= , l=4x+6y= +6y=6( +y)62 =48,當(dāng)且僅當(dāng) =y,即y=4時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)x=6.答：每間虎籠長(zhǎng)6m,寬4m時(shí),可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小.返回目錄 y24y96 y16yy16y16 返回目錄 返回目錄 2 b+a2 b+aa 22)(b 2 2 b+a2 b+aa 22b