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1、第四章 正態(tài)分布(4學(xué)時)1、 正 態(tài) 分 布 .1.5學(xué) 時2、 正 態(tài) 隨 機 變 量 的 線 性 組 合 .0.5學(xué) 時3、 中 心 極 限 定 理 . .2學(xué) 時重 點 ： 正 態(tài) 分 布 的 定 義 、 性 質(zhì) 與 計 算 ， 中 心 極 限 定 理難 點 ： 中 心 極 限 定 理 主要內(nèi)容（1.5學(xué)時）一 、 引 入 正 態(tài) 分 布 的 背 景二 、 正 態(tài) 分 布 的 概 念 及 圖 形 特 征三 、 正 態(tài) 分 布 的 上 分 位 數(shù)四 、 正 態(tài) 分 布 的 基 本 性 質(zhì)五 、 正 態(tài) 分 布 的 計 算六 、 正 態(tài) 分 布 的 數(shù) 學(xué) 期 望 與 方 差七 、 正 態(tài)

2、 分 布 的 3原 則第 一 節(jié) 正 態(tài) 分 布 （ 重 點 ） （ 1） 零 件 的 測 量 誤 差 、 規(guī) 格 大 小 重 量 等 ；（ 2） 一 個 地 區(qū) 人 的 身 高 、 體 重 ；（ 3） 一 個 地 區(qū) 的 溫 度 、 濕 度 、 降 雨 量 等 ；（ 4） 資 產(chǎn) （ 或 投 資 組 合 ） 的 收 益 率 。最 重 要 的 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 ， 原 因 ：1、 自 然 現(xiàn) 象 、 社 會 現(xiàn) 象 中 ， 許 多 隨 機 變 量 可 用 正 態(tài) 分 布 描 述2、 二 項 分 布 、 泊 松 分 布 等 隨 機 變 量 ， 其 極 限 分 布 都 是 正 態(tài) 分 布

3、 ； 23. 正 態(tài) 分 布 是 統(tǒng) 計 學(xué) ,數(shù) 理 統(tǒng) 計 的 基 礎(chǔ) .此 外 ,三 大 抽 樣 分 布 (t分 布 , 分 布 , F分 布 ),均 由 正 態(tài) 分 布 導(dǎo) 出 . 一 、 引 入 正 態(tài) 分 布 的 背 景 22( 2)2 , 1 ( ( ) 2, ( 0) , , )xXf x e X Xx N 如 果 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 為為 常 數(shù) 則 稱 服 從 正 態(tài) 分 布 ,記 作 : . 1、 正 態(tài) 分 布 的 定 義二 、 正 態(tài) 分 布 的 概 念 及 圖 形 特 征( ) ( ) ( )xF x P X x f x dx 22( )

4、212 tx e dtF(X)圖 形 特 點 ： 光 滑 連 續(xù) 單 調(diào) 增 的 S形 曲 線 dtex x t 2221)( 221( ) ( )2 xx e x R )( x)(x2、 標 準 正 態(tài) 分 布 N(0,1) (0, 1) ., ( ), ( )0, 1 N x x 的 正 態(tài) 分 布 稱 為 標 準 正 態(tài) 分 布其 概 率 密 度 分 布 函 數(shù) 常 用 表 示 . 重 要 性 ： 任 一 正 態(tài) 分 布 都 可 通 過 線 性 變 換 轉(zhuǎn) 化 為 標 準 正 態(tài) 分 布 . 特 征 ： 兩 頭 低 ， 中 間 高 ， 左 右 對 稱23. N( , ) 正 態(tài) 分 布

5、的 圖 形 特 征（ 1） f (x)0， 即 整 個 概 率 密 度 曲 線 都 在 x軸 的 上 方 ; 2( )221( ) 2 xf x e （ 2） f (x)關(guān) 于 直 線 x= 對 稱 ， f (+h)=f (-h). - = , , P h X Ph hR X 因 此 max(3) , 1() 2 ( )x f x f f 時 概 率 密 度 取 最 大 值 , 即 （ 4） 當(dāng) x 時 ， f (x) 0。 即 概 率 密 度 f (x)以 x軸 為 漸 近 線 . (5) x = ， 是 f (x)的 兩 個 拐 點 的 橫 坐 標 。(6) 位 置 參 數(shù) ： 固 定 變

6、 動 時 ， f (x) 左 右 平 移 ， 形 狀 不 變形 狀 參 數(shù) ： 固 定 變 動 時 ， f (x) 上 下 變 動 ， 中 心 不 變 三 . 正 態(tài) 分 布 的 上 分 位 數(shù) ( )(0, 1), (0 1), ( ) 1 (0, 1) P X zX NX z NzP 設(shè) 對 任 意 正 數(shù) 稱 滿 足或 者 的 點 ,稱 為 的 上 分 位 數(shù) .0.051.例 0.01, ( ) 1 0.01 0.99P X z 2. 例 令參 見 P310附 表 2。 通 過 EXECL的 normsinv(a)計 算 標 準 正態(tài) 分 布 的 上 分 位 數(shù) ， normsdist

7、(z)計 算 分 布 函 數(shù) (x)( ) ( ) 1 0.05 0.95P X z z 0.05 1.645z( 1.64) 0.9495, ( 1.65) 0.9505P X P X由 ( 2.327) 0.9901,P X 由 0.01 2.327z 1. (0,1), ( 1 ( ) )xX xN 若 則四 、 正 態(tài) 分 布 的 基 本 性 質(zhì)( ) ( )x P X x ( )P X x 1 ( ) 1 ( )P X x x 2. (0,1), ( ) 2 ( ) 1 ( 0)X N P X x x x ( ) ( )P X x P x X x 2 ( ) 1x ( )y by a

8、x b x h ya ( ) ( ) ( )Y Xf y f h y h y1( ). X y bf a a 2 ( )22( )1 12 y a baa e 2( )221( ) 2 xXf x e 2( ,( ) )Y N a b a 即 22 ( ,(3. ( , ) ) ), YX N aX b N a b a 若 則 25. ( , ), ( )X N F x x -(則 ( ) F x P X x P X x 24. ( , ), (0,1 )XN Z NX -則 1 , . 3 .a b 取 代 入 公 式 即 得X( ) ( )a bP a X b P ( )x = ( ) (

9、 )b a ( ) ( ) ( ) ( )P a X b P a X b b a P310附 表 2： 標 準 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) 數(shù) 值 表 ， 可 解 決 標 準 正 態(tài)分 布 的 概 率 計 算 查 表 . 221( ) ( ) 2 txx P X x e dt 五 、 正 態(tài) 分 布 的 計 算表 中 給 的 是 x0時 , (x)的 值 .0 ( ) 1 ( )x x x 當(dāng) 時 , x x ( )xP X x 2( , )X N 一 般 正 態(tài) 分 布 的 計 算 : ( 1.52) (1.52) 0.9357P X 解 1 (0, 1), ( 1.52), ( -1.52),

10、 (-0.75 1.52), ( 1.52).X N P X P X P XP X P X 例 設(shè) 計 算( 1.52) 1 ( 1.52)P X P X 1 (1.52) 1-0.9357=0.0643 ( 1.52) (-1.52)P X =1- (1.52)=1-0.9357=0.0643( 0.75 1.52) (1.52)- (-0.75)P X (1.52)-1- (0.75) =0.9357-1+0.7734=0.7091( 1.52) 2 (1.52) 1P X =2*0.9357-1=0.8714 : ( 1.6) 1. -= ( )6 12P X 解 2( 101 1).

11、(1, 4), ( 1.6),( -1.6), (0 1.6). , ( ) 0.95.P X N P XP X P X a P X a 例 類 似 例 設(shè) 隨 機 變 量 計 算求 常 數(shù) 使 得-1( ) ( ) 0.952aP X a = (0.3)=0.6179( -1.6)= -1.( )6-12P X = (-1.3)=1- (1.3)=0.0968 1.6(0 -11 0-12.6)= ( )- 2( )P X = (0.3)- (-0.5) = (0.3)-1- (0.5)=0.6179-1+0.6915=0.3094 , (1.645)=0.95查 表 可 知-1 1.645

12、 =2.29 2a a 89 XP )2(5.0 9089 )2(1 9772.01 .0228.0解 : (1) o o2 o ., ( ) , ( ,0.5 ).(1) 90, 89 .(2)80 0.99, ?d C X CX N d d XC d例 3 將 一 溫 度 調(diào) 節(jié) 器 放 置 在 貯 存 著 某 種 液 體 的 容 器 內(nèi) 調(diào) 節(jié) 器定 在 液 體 的 溫 度 以 計 是 一 個 隨 機 變 量 且若 求 小 于 的 概 率 若 要 求 保 持液 體 的 溫 度 至 少 為 的 概 率 不 低 于 問 至 少 為 多 少99.080)2( XP 99.0801 XP99.0

13、5.0801 d ,. 01099015080 d327.20.5-80 d即 .1635.81d 解 : 定 義 A =測 量 誤 差 絕 對 值 大 于 19.6(100, 0.05)Y B 24 (0, 10 ) 1003 19.6X N例 (考 研 題 目 ) 設(shè) 測 量 誤 差 .求 在 次 獨 立重 復(fù) 測 量 中 至 少 有 次 測 量 誤 差 絕 對 值 大 于 的 概 率 .( ) ( 19.6) 1 ( 19.6)P A P X P X 19.6 01 2 ( ) 1 10 21 (1.96) 2(1 0.975) 0.05 100 Y A設(shè) 次 獨 立 重 復(fù) 測 量 中

14、 發(fā) 生 的 次 數(shù)( 3) 1 ( 3)P Y P Y 1 ( 0) ( 1) ( 2)P Y P Y P Y 100 1 99 2 2 98100 1001 0.95 0.05*0.95 0.05 *0.95 0.876C C ( ) ( )E X E U 2( , ), (0, 1)XUX NN 則 221 ( )= 02 uE U duue 2( , )X N 隨 機 變 量 六 、 正 態(tài) 分 布 的 數(shù) 學(xué) 期 望 與 方 差1、 數(shù) 學(xué) 期 望 E(X) ( )奇 函 數(shù) 在 對 稱 區(qū) 間 積 分 ( )E U + 2( )222 1( , ), ( ) 2 xX N x e

15、則 222 21( ) ( ) 2 uuD U E U e du +-( ) ( )D X D U + 221 ( )2 uud e +-= (0, 1), ( )=0XU N E U又 221 12 ue du +- 2、 方 差 D(X) ( )=E X 2 2( )D U 1、 當(dāng) X N(0,1)時 ， 查 表 可 得X的 取 值 幾 乎 全 集 中 在 -3,3內(nèi) ， 超 出 此 范 圍 的 概 率 不 足 0.3%.(| | 1) 2 (1) 1 0.6826P X (| | 2) 2 (2) 1 0.9544, (| | 3) 2 (3) 1 0.9974P X P X 22.

16、Y N( , ) 對 一 般 正 態(tài) 分 布 3 , 3,Y R Y 盡 管 但 的 取 值 幾 乎 全 部 集 中 于 6826.0)|(| YP 9544.0)2|(| YP9974.0)3|(| YP 3 (3倍 標 準原 則 差 原 則 ) 七 、 正 態(tài) 分 布 的 3原 則 課 堂 練 習(xí)3. 公 汽 車 門 高 度 按 男 子 與 車 門 頂 碰 頭 機 會 在 0.01以 下 來 設(shè) 計的 。 設(shè) 男 子 身 高 X N(170,6 2),問 車 門 高 度 應(yīng) 如 何 確 定 ? 21. (8,0.5 ), ( 8 1) ( 10).X N P X P X求 及 222. (

17、 , ), ( 5) 0.045, ( 3) 0.618, .X N P X P X 求 2 8: (8, 0.5 ) (0, 1)0.5XX N N解 由 8 1( 8 1) ( )0.5 0.5XP X P 8( 2)0.5XP 2 (2) 1 0.9545 8 10 8( 10) ( )0.5 0.5XP X P (4) 0.99996833 8( 4) 0.5XP 21. (8,0.5 ), ( 8 1) ( 10).X N P X P X求 及 222. ( , ), ( 5) 0.045, ( 3) 0.618, .X N P X P X 求 5 ( 5) ( )XP X P 解

18、: 5( ) 0.045 51 ( ) 0.045 5( ) 0.955 (1.7) 3( 3) ( )XP X P 3( ) 0.618 (0.3)5 1.7 3 0.3 1.84 3. 公 汽 車 門 高 度 按 男 子 與 車 門 頂 碰 頭 機 會 在 0.01以 下 來 設(shè)計 的 。 設(shè) 男 子 身 高 X N(170,62),問 車 門 高 度 應(yīng) 如 何 確 定 ? 解 :設(shè) 車 門 高 度 為 h cm, 按 設(shè) 計 要 求 P(X h)0.01或 滿 足 P(X h) 0.99 的 最 小 h2(170,6 ), 170 (0,1)6 XN NX 由 170)( ) 0.6(

19、 99hP X h 故 (2.33) 0.9901 0.99 查 表 得 : 2.33 h=170+2.317 3*06 6=184h 本節(jié)重點總結(jié)一 、 正 態(tài) 分 布 的 定 義 及 性 質(zhì) 。二 、 正 態(tài) 分 布 的 計 算 。 設(shè) B=電 子 元 件 損 壞 (1)求 P(B) 1 2 3解 : 設(shè) A =U200, A =200 U 240, A =U 2401 2 3根 據(jù) 題 意 , P(B|A )=0.1,P(B|A )=0.001,P(B|A )=0.2200 22025( ) ( 0.8) 1 (0.8) 0.212 1P(A )=P(U240這 3種情 況 下 ,損 壞

20、 的 概 率 依 次 為 0.1,0.001,0.2. 設(shè) 電 源 電 壓U N(220,25 ).求 :(1)此 種 元 件 的 損 壞 率 ; (2)此 種 元 件 損 壞時 ,電 壓 200 U 240的 概 率 .240 2202( ) 1 (0.8) 1 0.7885 0.212 3P(A )=P(U 240)=1- 220 220 220 240 22025 )25( 25U 2P(A )=P(200 U 240)=( 0.8 0.8) 2 (0.8)2202 1 2*0.788 1 0.575 6UP 1 1 2 2 3 3P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )+P(A )(1) P(B) P(B|A= )=0.212*0.1+0.576*0.001+0.212*0.2=0.064 2 22 P(A )P(B|A )(2) 由 貝 葉 斯 公 式 , P(B|A )= P(B) 0.0090.576*0.001= 0.064