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1、常 微 分 方 程 基 礎(chǔ) 知 識(shí) 一 、 微 分 方 程 的 基 本 概 念o0o 1 oaa. 1. . t=0 ,u =150 C,10u =100 C, u t .20 .u =24 C.例 物 體 冷 卻 過 程 的 數(shù) 學(xué) 模 型將 某 物 體 放 置 于 空 氣 中 在 時(shí) 刻 時(shí) 測 量 得它 的 溫 度 為 分 鐘 后 測 量 得 溫 度 為試 求 物 體 的 溫 度 和 時(shí) 間 的 關(guān) 系 并計(jì) 算 分 鐘 后 物 體 的 溫 度 這 里 假 設(shè) 空 氣 的 溫 度保 持 為 第 1節(jié) 微 分 方 程 概 念 與 初 等 積 分 法 n 熱 力 學(xué) 基 本 規(guī) 律 熱 量

2、總 是 從 溫 度 高 的 物 體 向 溫 度 底 的 物 體 傳 導(dǎo) 。在 一 定 的 溫 度 范 圍 內(nèi) ， 一 個(gè) 物 體 的 溫 度 變 化 速 度與 這 個(gè) 物 體 的 溫 度 和 其 所 在 的 介 質(zhì) 溫 度 的 差 值 成比 例 。研 究 步 驟 ：1.利 用 物 理 知 識(shí) 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 （ 微 分 方 程 ）2.求 解 此 微 分 方 程3.用 所 得 的 結(jié) 果 解 釋 實(shí) 際 問 題 并 做 預(yù) 測 b.基 本 概 念1.常 微 分 方 程 Ordinary Differential Equation (ODE)2.偏 微 分 方 程 Partial Diff

3、erential Equation (PDE)3.方 程 的 階 數(shù) （ 未 知 函 數(shù) 的 最 高 階 導(dǎo) 數(shù) 的 階 ）4.通 解 和 特 解( ) ( ) sin ( ) n ndy d yp x y f x y f xdx dx ， ， u如 果 一 個(gè) 函 數(shù) 用 以 代 替 微 分 方 程 中 的 未知 函 數(shù) 能 使 該 方 程 成 為 恒 等 式 ,那 么 就 說 這個(gè) 函 數(shù) 是 微 分 方 程 的 一 個(gè) 解 .u微 分 方 程 的 解 的 一 般 表 達(dá) 式 稱 為 通 解 .一個(gè) n階 方 程 的 通 解 含 有 n個(gè) 任 意 常 數(shù) .u滿 足 一 定 具 體 條 件

4、 的 一 個(gè) 確 定 的 解 稱 為特 解 .(常 見 的 條 件 有 初 始 條 件 ) 41 22. 5 4 0. (0) 2, (0) 1. x xy c e c ey y y y y 例 驗(yàn) 證 是 二 階 方 程的 通 解 并 求 滿 足 初 始 條 件的 特 解 C.一 階 常 微 分 方 程 及 其 解 的 幾 何 解 釋n 線 素 場 -一 階 常 微 分 方 程n 積 分 曲 線 族 -通 解n 積 分 曲 線 -特 解2 dy xdx 二 、 一 階 可 分 離 變 量 的 微 分 方 程( ) ( )( ), ( ) ,dy f x g ydxf x g y x y 可

5、分 離 變 量 方 程 ：其 中 分 別 是 的 連 續(xù) 函 數(shù) 。 一 般 的 處 理 辦 法 及 注 意 點(diǎn) (通 解 未 必包 含 了 所 有 的 解 ) 23. 00, 1 .dy xydxx y 例 求 方 程 的 通 解 并 求 滿 足初 始 條 件 : 的 特 解 三 、 一 階 齊 次 微 分 方 程( ),dy yf fdx x齊 次 微 分 方 程 ： 其 中 是 連 續(xù) 函 數(shù) 。4. 2 ( 0) .dyx y xy xdx yu x 例 求 微 分 方 程處 理 方 法 :變 量 代 換 的 通 解 四 、 一 階 線 性 微 分 方 程( ) ( ), ( ) 0d

6、y p x y q xdx dy p x ydx 一 般 形 式 ： 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 ：1.齊 次 方 程 的 解 法 (分 離 變 量 ,湊 導(dǎo) 數(shù) )2.非 齊 次 方 程 的 兩 種 解 法 (常 數(shù) 變 易 ,湊 導(dǎo) 數(shù) )3.非 齊 次 方 程 通 解 的 結(jié) 構(gòu) 0 ( ) ( )(0)y p x y q xy y 如 何 求 出 初 值 問 題 的 解 的 表 達(dá) 式 ?0 0 0 00 0 0 0 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 0 ( ) ( )0 : ( ( ) ) ( ) , ( ) ( ) , | ( ) , ( ) ( ( )x xx xx

7、t x t p s ds p s dsp s ds p s dsxp s ds p s dsx p s ds p s ds e y p x y q x eye q x eye q t e dty x e y q t e dt 解 0 ).x 1 25. :( 1) ( 1), .6. : .2 x ndyx ny e xdxn dy ydx x y 例 求 方 程的 通 解 為 常 數(shù)例 求 方 程 的 通 解 作 業(yè)習(xí) 題 3.5 3(1,3,5,7) 4(2,4)5(2,4,6) 1 1 12 2 2(1) . 17. : 3a x b y cdydx a x b y cdy x ydx

8、x y 形 如例 求 解 方 程 某 些 可 用 變 量 代 換 化 為 已 知 類 型 的 方 程 2(2) ( ) ( ) , ( ), ( )0,1.8. : 6 .( )Bernoulli dy p x y q x y p x q xdx dy y xydx x 形 如 其 中連 續(xù) ， 例 求 方 程 伯 努 利 方 的 通 解程 2( , ): ( ) 2 9 0,y f x yx y yy x (3)形 如例 9.求 解 方 程并 觀 察 解 的 圖 形 . 五 、 可 降 階 的 高 階 方 程( ) 2 5 45 4(1) ( ).10. : cos .(2) : ( , )

9、, .111. : 0 . n xy f xy e xy f x y yd y d ydx x dx 形 如例 求 解 方 程 的 通 解形 如 不 顯 含 未 知 函 數(shù)例 求 解 方 程 的 解 2(3) ( , ), .1 12. : ,2(0) 1, (0) 0 .y f y y xyy yy y 形 如 不 顯 含例 求 方 程 滿 足 初 始 條 件的 解: ( ) ,Question y f y對 于 類 的 方 程 可 由 上面 的 方 法 解 出 ,有 沒 有 其 它 解 法 ? 六 、 微 分 方 程 應(yīng) 用 舉 例33 31 1 3 213. 100 , 50 ,3 /

10、, 2 /, 2 /, 30 , ?cm gcm g cmcm 例 一 容 器 鹽 水 含 鹽 現(xiàn) 以 流 量 為分 鐘 濃 度 為 的 鹽 水 注 入容 器 同 時(shí) 又 以 流 量 為 分 鐘 將 混 合均 勻 的 溶 液 流 出 問 分 鐘 后 容 器 內(nèi) 含 鹽 多 少 0 114. 200 /10 , 80 / ,.v m scm v m s 例 一 子 彈 以 速 度 打 入 一 塊 厚 度為 的 木 板 穿 透 板 時(shí) 的 速 度 為設(shè) 板 對 子 彈 的 阻 力 與 速 度 的 平 方 成 正 比 求 子彈 穿 過 板 所 用 的 時(shí) 間 15. .( ?)例 探 照 燈 反 射

11、 鏡 的 設(shè) 計(jì)如 果 從 一 點(diǎn) 發(fā) 出 的 光 經(jīng) 某 個(gè) 曲 面 反 射 后是 平 行 光 ,問 該 曲 面 是 什 么 樣 的 曲 面 16. I. = , ( ) II. MalthusianLog=istic(1 ) .dx r x x t tdtdx xrxdt k 例 生 物 種 群 繁 殖 的 數(shù) 學(xué) 模 型其 中 表 示 種 群 在 時(shí) 刻 的 個(gè) 體 數(shù) 量型 .模 型模 作 業(yè)習(xí) 題 3.5 6(3,4,7,8) 7(2,4,6,10) 10 11 第 2節(jié) 二 階 線 性 常 微 分 方 程本 節(jié) 討 論 如 下 方 程 : ( ) ( ) ( ) (1): ( )

12、( ) 0 (2)y p x y q x y f xy p x y q x y 這 類 方 程 在 物 理 上 特 別 是 力 學(xué) 上 及 電 路 理 論 上有 關(guān) 振 動(dòng) 的 問 題 ,具 有 重 要 的 意 義 ,此 外 純 粹 數(shù) 學(xué) 中 的 許 多 深 刻 的 思 想 都 是 從 研 究和 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 這 類 方 程 產(chǎn) 生 出來 的 . 注 :和 一 階 方 程 不 一 樣 ,一 般 來 說 ,(1)不 能 用已 知 初 等 函 數(shù) 的 顯 式 表 出 它 的 解 ,甚 至 也 不能 用 積 分 號(hào) 來 表 示 它 的 解 .為 求 它 的 解 ,一 般用 的 是 無

13、 窮 級 數(shù) .本 章 中 ,對 (1)的 實(shí) 際 解 法 的 討 論 ,大 部 分 限于 系 數(shù) 為 常 數(shù) 的 特 殊 情 形 .另 外 ,本 章 的 方 法都 可 以 推 廣 到 高 階 線 性 方 程 上 去 . 0 0 0 1 0( ), ( ), ( ) , , : ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) , , ,( ), , .p x q x f x C a by p x y q x y f xy x y y x y x a by y x x a b 如 果 則 初 值 問 題存 在定 理 1.方 程 (1)解 的 存 在 唯 一 性解唯 一 后 面 討 論 中 要 用

14、的 存 在 唯 一 性 定 理 . *2: ( ) (2) , ( )(1) , (1). y x y xy y定 理 若 是 齊 次 方 程 的 通 解 而是 非 齊 次 方 程 的 任 一 特 解 那 么 是的 通 解n 這 就 說 明 線 性 方 程 理 論 的 中 心 問 題 是 求 解 齊 次 方程 的 問 題 .一 、 齊 次 線 性 方 程 (2)的 解 的 結(jié) 構(gòu) n 對 于 (2),恒 等 于 零 的 函 數(shù) 總 是 它 的 解 ,我 們 把 這個(gè) 解 稱 為 平 凡 解 ,一 般 沒 有 什 么 意 義 .關(guān) 于 (2)的解 的 結(jié) 構(gòu) ,請 看 下 述 定 理 .1 2

15、1 1 2 21 23. ( ) ( ) (2) ( ) ( ),y x y xc y x c y xc c定 理 若 和 是 的 任 何 兩 個(gè) 解 ,則也 是 一 個(gè) 解 其 中 及 是 任 意 常 數(shù) . 1 1 2 2 12 1 2 ( ) ( ) ( )( ) 3 ( ) ( ) c y x c y x y xy x y x y x 我 們 把 解 稱 為 解 和 解的 線 性 組 合 .那 么 定 理 的 結(jié) 果 可 改 述 為 :如 果 我 們 通 過 某 種 方 法 得 到 了 (2)的 兩 個(gè) 解 ,那 么 就 可 能 得 到 一 個(gè) 含 有 兩 個(gè) 任 意 常齊 次 方 程

16、 的 兩 個(gè) 解 的 線 性 數(shù) 的 解 , 除 非 或 等 于 另 一 個(gè) 的 常 數(shù) 倍 ,此 時(shí)相 當(dāng) 于 只 有 組一 合 也個(gè) 任 是 一 個(gè) 解 .意 常 數(shù) . : ( ), ( ) , , , , .: ( ) 0, ( ), ( ) ( ). f x g x a b a bf x g x f x g x定 義 若 函 數(shù) 定 義 在 上 且 其 中 一 個(gè)是 另 外 一 個(gè) 的 常 數(shù) 倍 則 稱 它 們 在 上 是 線 性相 關(guān) 的 否 則 稱 它 們 線 性 無 關(guān)注 若 則 對 每 個(gè) 函 數(shù) 和 總線 性 相 關(guān) 1 21 1 2 2 1 2 . ( ) ( ) (

17、) ( ) 0 , , ( ) ( ) , , , . 4 y x y xy p x y q x ya b c y x c y xa ba bc c 設(shè) 和 是 齊 次 方 程在 上 的 線 性 無 關(guān) 的 解 則是 該 方 程 在 上 的 通 解 .即 方 程 在上 的 每 個(gè) 解 可 由 選 取 適 當(dāng) 的 常 數(shù)而 得 出 核 心 定 理 定 理 1 21 1 2 20 1 2 0 1 1 0 2 2 0 : ( ) , ,: , , : ( ) ( ) ( ).1 , , , , , ,: ( ) ( ) ( ), y x a bc c x a by x c y x c y xa ba

18、 b x c cy x c y x c y x 分 析 設(shè) 是 上 的 任 一 解 我 們 要證 可 找 出 常 數(shù) 對 有由 定 理 知 整 個(gè) 上 的 一 個(gè) 解 由 該 解及 其 導(dǎo) 數(shù) 在 單 獨(dú) 一 點(diǎn) 處 的 值 確 定 .那 就只 要 證 明 對 于 中 某 個(gè) 能 找 到使 得 0 1 1 0 2 2 0 ( ) ( ) ( ).y x c y x c y x 1 21 0 2 01 0 2 01 21 2 1 2 00 ,( ) ( ) 0.( ) ( )( ) ( )( , ) , .( ) ( ) 0. c cy x y xy x y xy x y xW y y Wron

19、skiany x y xxx 為 了 使 這 個(gè) 方 程 組 能 解 出 和 就 只 要 行 列 式 記 稱 為 行 列 式我 們 要 關(guān) 注 的 是 它 在 是 否 等 于 下 面 的 引 理 說 明的 位 置 無 關(guān) 重 要 1 21 2A: (2) , , ( , ) , y y a bW y y a b引 理 若 和 是 方 程 在 上 的 任 何 兩 個(gè)解 則 在 上 或 者 恒 等 于 零 ,或 者 恒不 等 于 零 . 1 2 1 2 1 2 2 1B: (2) , , , ( , ) .y y a ba bW y y y y y y 引 理 若 和 是 方 程 在 上 的 任

20、何 兩 個(gè)解 則 它 們 在 上 線 性 相 關(guān) 的 充 要 條 件 是在 該 區(qū) 間 上 恒 等 于 零 Question(請 考 慮 如 下 問 題 )n 方 程 (2)確 有 兩 個(gè) 線 性 無 關(guān) 的 解 .n 定 理 1-4可 推 廣 到 高 階 線 性 方 程 .n 請 舉 例 說 明 兩 個(gè) 函 數(shù) 線 性 無 關(guān) ,它 們 的Wronskian行 列 式 可 能 是 零 . * * *1 2 1 2: ( )5. ( ) ( ) ,1,2, , . : ( ) ( ) ( ) ( ) (.( ) )k kn ny y p x y q x y f xk ny y yy p x y

21、 q x y f x f x f x 設(shè) 為 方 程 的 特 解則 是定 理 線 性 方 程 的 疊 加 方 程 理的 特 解 原 21 2 31. : ( ) ( ) ( ): , , ,(0) 1, (0) 3 . x xy p x y q x y f xy x y e y ey y 例 已 知 二 階 線 性 方 程的 三 個(gè) 特 解 求 滿 足 條 件的 特 解 利 用 一 個(gè) 已 知 的 解 求 出 別 的 解1 1 ( )2 1 21 212.(1) ( ) ( ) ( ) 0( ) :1 ( ) ( ) .( ): 0, . p x dxy x y p x y q x yy xy

22、 x y x e dxy xx y xy yy x 例 設(shè) 是 方 程 的 一 個(gè) 特 解 ,證 明 此 方 程 與 線 性 無 關(guān) 的 另 一 個(gè) 特 解 為(2) 已 知 二 階 線 性 方 程 的 一 個(gè) 特解 為 求 該 方 程 的 通 解 作 業(yè)Xt7.42 4 二 、 二 階 常 系 數(shù) 線 性 ode的 解 法 1.齊 次 方 程 的 通 解 求 法 : 0 0 ( 0) ? , ,. ax rxy ax y eay by cy ay e r 基 本 想 法回 顧 一 階 方 程 有 形 如 的 解 .那 么 對 于 方 程 是 否 也 有指 數(shù) 函 數(shù) 形 式 的 解 其 中

23、待 定 可 以 是 實(shí) 數(shù)也 可 以 是 復(fù) 數(shù) 2: 0.a r br c 特 征 方 程 1 2 1 21 21 21. , , : ;2. 0 , : ( ) ;3. , : . r x r x rxCase r ry ay by cyC e C eCase ry C C x eCase i 特 征 方 程 有 兩 個(gè) 不 同 實(shí) 根 則 通 解 為特 征 方 程 有 一 個(gè) 二 重 實(shí) 根 則 通 解 為特 征 方 程 有 一 對 共 軛 復(fù) 根 則 方 程 通 解 為的 通 解 結(jié) 論 1 2 ( cos sin ).xy e C x C x 3. .(1) 2 3 0,(2) 2

24、0,(3) 2 5 0.y y yy y yy y y 例 求 下 列 方 程 的 通 解 u可 以 將 此 方 法 推 廣 到 n階 線 性 常 系 數(shù) 齊 次 方 程(4) (4)4. :4 10 12 5 0.5. : 2 0.y y y y yy y y 例 求 解 方 程例 求 解 方 程 2.常 系 數(shù) 非 齊 次 方 程 特 解 的 求 法)( xfcybyay (1).待 定 系 數(shù) 法 f(x)具 有 特 殊 形 式時(shí) ,上 述 方 程 特 解 的 求 法 .這 里 的 特殊 形 式 是 指 :f(x)是 指 數(shù) 函 數(shù) 、 正 弦函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 、 多 項(xiàng) 式

25、,或 這 些函 數(shù) 的 某 種 組 合 . 20 1(1) , (2) sin ,(3) . , (1) ;, (1) ,; , (1), . ,: x n xx xx n x AeAe Axay by cy eay by cy xay by cy k k eAxeAx e x k x 若 不 是 特 征 方 程 的 根 則 有 形 式 為若 是 單 重 特 種 根 則 沒 有 這 樣 的 解 但 有這 種 形 式 的 解 若 是 二 重 特 征 根 則 無 這 種形 式 的 解 但 有 形 式 的 解結(jié) 論 6. : 2 3 .7. : 4 4 cos2 .8. : 2 3 3 1.xy y

26、 y ey y y xy y y x 例 求 解 方 程例 求 解 方 程例 求 解 方 程 2, (4) ( ) ;, (4) ( ) ;, (4) ( )(4) ( ) ,: .xn xnxn xn Q x exQ x eay by cy P x e x Q x e 若 不 是 特 征 根 則 有 形 如 的 解若 是 單 重 特 征 根 則 有 形 如 的 解 若是 二 重 特 征 根 則 有 形 如論 的 解結(jié) ( )1 2 1 2 12 1 2(5) ( ) cos .: ( ) , (4),. , ( : .6) xn i xnay by cy P x e xay by cy P

27、x ey y iy ay by cy f if yy ay by cy f ay by cy f 考 慮 方 程 屬 于 類 型再 利 用 下 面 的 注 解 就 可 得 出 方 程 的 解若 是 的 解 ， 則分 別 是 和 的 解非 齊 次 項(xiàng) 是 上 述 各 種注 函 數(shù) 疊 加 的 情 況 9. : 3 2 3 .10. : 4 4sin2 .xy y y xey y x x 例 求 解 方 程例 求 解 方 程 作 業(yè)xt7.47(1,3,6,7) 8(1,3,5) (2)常 數(shù) 變 易 法 方 法 和 一 階 方 程 一 樣 ， 將 齊 次 方 程 通 解中 的 常 數(shù) 變 為 函

28、 數(shù) 代 入 。11. : csc .y y x 例 求 方 程 的 一 個(gè) 特 解 三 、 歐 拉 方 程2 22 : : ( ) ( ):( ) ( 1) 0.t tx ed y dya b a cy f edt dtar b a r c ar r br c 方 法 令 將 方 程 化 為則 特 征 方 程 為 2 ( )ax y bxy cy f x 二 階 歐 拉 方 程 ： 2 212. .(1) 3 5 ;(2) ( 1) 5( 1) 3 0.x y xy y xx y x y y 例 求 下 列 方 程 的 解 四 、 一 階 常 系 數(shù) 線 性 方 程 組 的 解 法1 1 2

29、 2 1 213. .32 ,24 3 .( )dy y y xdxdy y ydx 消 元 法例 求 解 14. :( ) , ( ) ,( ) ,(0) 1, (0) 0, (0) 5x t y zy t z xz t x yx y z 例 求 解 方 程 組滿 足 條 件的 特 解 。 五 、 振 動(dòng) 問 題 我 們 以 單 擺 為 例 討 論 ,對 于 彈 簧 振動(dòng) ,電 磁 振 蕩 等 等 可 完 全 類 似 討 論 .1.無 阻 尼 的 自 由 擺 動(dòng) ;2.阻 尼 擺 動(dòng) ;3.無 阻 尼 的 強(qiáng) 迫 擺 動(dòng) ;4.阻 尼 強(qiáng) 迫 擺 動(dòng) . . ,2 , ,. lT l gg例 15建 立 單 擺 在 平 衡 位 置 附 近 微 小 擺 動(dòng) 時(shí) 的 微 分 方 程并 證 明 其 振 動(dòng) 周 期 為 其 中 為 擺 長 是 重 力 場的 加 速 度 作 業(yè)xt7.410(2,3,6) 11(2)