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1、 第一章 緒論1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容1.2 彈性力學(xué)的幾個基本概念1.3 彈性力學(xué)的基本假定 1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容1. 彈性體力學(xué)：簡稱彈性力學(xué)，有稱彈性理論（Theory of Elasticity)，研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。研究對象：彈性體研究目標(biāo)：變形等效應(yīng)，即應(yīng)力、形變和位移。2. 對彈性力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)作比較 彈性力學(xué)的任務(wù)和材料力學(xué), 結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣,是分析各種結(jié)構(gòu)物或其構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位移, 校核它們是否具有所需的強(qiáng)度和剛度, 并尋求或改進(jìn)它們的計算方法. (1)研究對象： 材料力學(xué)主要研究桿件在拉壓、剪切、彎曲

2、、扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力、形變和位移； 結(jié)構(gòu)力學(xué)研究桿系結(jié)構(gòu)，如桁架、鋼架或兩者混合的構(gòu)架等； 彈性力學(xué)研究各種形狀的彈性體，除桿件外（對桿件進(jìn)行進(jìn)一步的、較精確的分析），還研究平面體、空間體，板和殼等。(2)研究方法: 彈性力學(xué)與材料力學(xué)有相似，又有一 定區(qū)別。 彈性力學(xué)：在彈性體區(qū)域內(nèi)必須嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上嚴(yán)格考慮受力條件或約束條件，由此建立微分方程和邊界條件進(jìn)行求解，得出精確解答。材料力學(xué)：雖然也考慮這幾個方面的的條件，但不是十分嚴(yán)格。 一般地說, 由于材料力學(xué)建立的是近似理論, 因此得出的是近似的解答。但對于細(xì)長的桿件結(jié)構(gòu)而言, 材料力學(xué)力解答的精度是足夠的,

3、 符合工程的要求。 彈性力學(xué):梁的深度并不遠(yuǎn)小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，橫截面的正應(yīng)力并不按直線分布，而是按曲線變化的。qq zI yxM )( )53(4)( 22 hyhyqI yxM z 例如：材料力學(xué):研究直梁在橫向載荷作用下的平面彎曲，引用了平面假設(shè)，結(jié)果：橫截面上的正應(yīng)力按直線分布。這時，材料力學(xué)中給出的最大正應(yīng)力將具有很大的誤差。 結(jié)構(gòu)力學(xué)：研究桿系結(jié)構(gòu)，彈性力學(xué)通常并不研究桿件系統(tǒng)，但在20世紀(jì)50年代中葉發(fā)展起來的有限單元法中(基于彈性力學(xué)的理論)，把連續(xù)體劃分成有限大小的單元構(gòu)件，然后用結(jié)構(gòu)力學(xué)里的位移法、力法或混合法求解，更加顯示了彈性力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)合綜和應(yīng)用的

4、良好效果。 彈性力學(xué)在土木、水利、機(jī)械、航空等工程學(xué)科中占有重要的地位。許多非桿件形狀的結(jié)構(gòu)必須用彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。例如，大壩，橋梁等。 x z yo 1.2 彈性力學(xué)中的幾個基本概念 彈性力學(xué)的基本概念: 外力、應(yīng)力、形變和位移1. 外力：體積力和表面力，簡稱體力和面力體力：分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。V Pf FfVFlim0V fx fyfz f : 極限矢量,即物體在P點所受體力的集度。方向就是F的極限方向。fx , fy , fz：體力分量, 沿坐標(biāo)正方向為正，沿坐標(biāo)負(fù)方向為負(fù)。量綱：N/m3=kgm/s2m3=kg/m2s2即：L-2MT-2 fx , fy , f

5、z：體力分量。x z yo f fSFlim0V S P面力：分布在物體表面的力，例如流體壓力和接觸力。Ffyfzfx量綱：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2即：L-1MT-2f : 極限矢量,即物體在P點所受面力的集度。方向就是F的極限方向。沿坐標(biāo)正方向為正，沿坐標(biāo)負(fù)方向為負(fù)。符號規(guī)定: 內(nèi)力：發(fā)生在物體內(nèi)部的力，即物體本身不同部分之間相互作用的力。x z yo PA pF 2. 應(yīng)力：單位截面面積的內(nèi)力.pAF lim0Vp: 極限矢量,即物體在截面mn上的、在P點的應(yīng)力。方向就是F的極限方向。量綱：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2 即：L-1MT-2應(yīng)力分量：， A BC

6、zyzxz yzyx yxy xzxy yzyx zy zzxxyxzxP yx zOPA=x, PB=y , PC=z x, y, z, xy, xz, yx, yz, zx, zy,正面：截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為負(fù)。負(fù)面：截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為正，沿坐標(biāo)軸的正方向為負(fù)。正應(yīng)力符號規(guī)定與材力同，切應(yīng)力與材力不相同。符號規(guī)定:（不考慮位置, 把應(yīng)力當(dāng)作均勻應(yīng)力） A BC zyzxz yz yx yxy xzxby yzyx zy zzxxyxzx aP yxzo 連接前后兩面中心的直線ab作為

7、矩軸，列出力矩平衡方程，得02222 zxyyxz yzzy 得: zyyz 同理可得:yxxy zxxz 切應(yīng)力互等定理：作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面角線的切應(yīng)力是互等的(大小相等,正符號也相同)。 可以證明,已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得該點任意截面上的, .因此，此六個應(yīng)力分量可以完全確定該點的應(yīng)力狀態(tài)。 zyzxz yzyx yxy xzxy yzyx zy zzxxyxzxP yx zO A BC A BC zyzxz yz yx yxy xzxy yzyx zy zzxxyxzxP yxzO用各部分的長度和角度來表示。PA=x, PB=y , P

8、C=z線應(yīng)變：單位長度的伸縮或相對伸縮,亦稱正應(yīng)變. 用 表示切應(yīng)變：各線段之間的直角的改變.用 表示3. 形變：就是形狀的改變。 A BC zyzxz yz yx yxy xzxy yzyx zy zzxxyxzxP yxzO x: x方向的線段PA的線應(yīng)變。xy: y與x兩方向的線段PB與PC之間的直角的改變。 : 伸長為正，縮短為負(fù)。量綱：1符號規(guī)定: : 直角變小為正，變大為負(fù)。 可以證明,已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得經(jīng)過該點任一線段上的線應(yīng)變 .也可以求得經(jīng)過該點任意兩個線段之間的角度的改變。因此，此六個形變分量可以完全確定該點的形變狀態(tài)。 4. 位移：就是

9、位置的移動。任意一點的位移用它在x,y,z三軸上的投影u,v,w來表示.量綱：L符號規(guī)定:沿坐標(biāo)軸正方向為正,沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為負(fù)， 一般而論，彈性體內(nèi)任意一點的體力分量、面力分量、應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都隨該點的位置而變，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。 1.3 彈性力學(xué)中的基本假設(shè) 在彈性力學(xué)的問題里,通常是已知物體的邊界(形狀和大小), 物體的彈性常數(shù), 物體所受的體力,物體邊界上的約束情況或面力, 而應(yīng)力分量、形變分量和位移分量則是需要求解的未知量.一. 研究方法1.考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。建立微分方程：根據(jù)微分體的平衡條件 ；建立幾何方程：根據(jù)微分線段上形

10、變與位移之間的 幾何關(guān)系；建立物理方程：根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系 。 2.在彈性體的邊界上，建立邊界條件。應(yīng)力邊界條件：在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上 的微分體的平衡條件；位移邊界條件：在給定的約束邊界上，根據(jù)邊界上 的約束條件。 求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。 為使問題求解成為可能，通常必須按照所研究的物體性質(zhì)，以及求解問題的范圍，略去一些影響很小的次要因素，作出若干基本假定。二. 彈性力學(xué)的基本假定(3)均勻性 假定物體是均勻的.(1)連續(xù)性 假定物體是連續(xù)的.(4)各向同性 假定物體是各向同性的.符合以上四個假定

11、的物體，就成為理想彈性體.(2)完全彈性 假定物體是完全彈性的.形變與引起 變的應(yīng)力成正比,即兩者成線性關(guān)系. (5)小變形假定 假定位移和形變是微小的.它包含兩個含義： 假定應(yīng)變分量 1.例如：普通梁中的正應(yīng)變 10-3 1,切應(yīng)變 1; 假定物體的位移物體尺寸.例如：梁中撓度 梁的高度這樣，在建立平衡微分方程時，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸，從而使方程大為簡化；在建立幾何方程時，由于 1，可以在同一方程中只保留形變成分的一次冪，而略去二次冪及更高次冪，從而使幾何方程成為線性方程。 例如：對于微小轉(zhuǎn)角a，1211cos 2 aa aaa 3!311sin aaaa 331tan對于微小

12、正應(yīng)變，xxxxx 111 1 32 這樣，彈性力學(xué)里的幾何方程和微分方程都簡化為線性方程，彈性力學(xué)問題都化為線性問題，從而可以應(yīng)用疊加原理。 第二章 平面問題的基本理論2.1 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題2.2 平衡微分方程2.3 平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)2.4 幾何方程 剛體位移2.5 物理方程 2.6 邊界條件2.7 圣維南原理2.8 按位移求解平面問題2.9 按應(yīng)力求解平面問題 相容方程2.10 常體力情況下的簡化 應(yīng)力函數(shù) 2.1 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 如果彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某些特殊的外力和約束，就可以把空間問題簡化為近似的平面問題。一.第一種平面問題平面應(yīng)力

13、問題 xyo zyd/2 d/2這類問題的條件是：彈性體是等厚度(d)的薄板，體力、面力和約束都只有xy平面的量 (fx , fy , fx , fy , u, v ),都不沿z向變化；并且面力和約束只作用于板邊，在板面( )上沒有任何面力和約束的作用。2z 因板很薄，外力不沿厚度變化，應(yīng)力沿板厚連續(xù)，有由切應(yīng)力互等定理：0 xz 0yz0z 0zx 0zy只剩下平行于xy面的三個平面應(yīng)力分量，即 x, y, xy= yx所以這種問題稱為平面應(yīng)力問題。xyo zy d/2 d/21.設(shè)薄板的厚度為d, xy 為中面,z軸垂直于xy面.因為板面上 2z 不受力， 所以0)( 2 d zz 0)(

14、 2 zzx 0)( 2 d zzy2.由于物體形狀和外力、約束沿z向均不變化, 故 x, y, xy 只是x,y的函數(shù), x, y, xy 也只是x,y的函數(shù),但位移與z有關(guān)。 二.第二種平面問題平面應(yīng)變問題oy x這類問題的條件是：彈性體為常截面的很長的柱體，體力、面力和約束條件與平面應(yīng)力問題相似，只有xy平面的體力fx , fy ；面力fx , fy 和約束 u, v 的作用，且都不沿z向變化。 2.2 平衡微分方程 在彈性力學(xué)中分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。 首先考慮平面問題的靜力學(xué)方面，建立微分體的平衡微分體方程應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式。z

15、 yd/2 d/2 oy xxyo從圖示薄板或柱形體中，取出一個微小的正六面體，邊長為dx, dy, 在z方向的尺寸取為1個單位尺寸。xyo dx dy 300200000 )(!31)(!21)()()( xxxfxxxfxxxfxfxf 222 d21d xx!xx xxx 一般而論 , 應(yīng)力分量是位置坐標(biāo)x和y的函數(shù), 因此, 作用于左右兩對面或上下兩對面的應(yīng)力分量不完全相同, 有微小的差。o xy x xxxx d 略去二階及二階以上的微量后得：例：設(shè)作用于左面的正應(yīng)力為x，則右面的正應(yīng)力由于 x 坐標(biāo)的改變而改變，可由泰勒展開得：xxxx d 若x為常量, 則 , 左右兩面都是x,即

16、為均勻應(yīng)力。0 xx泰勒展開式 o xy x xxxx d 同理，設(shè)左面的切應(yīng)力為xy，則右面的切應(yīng)力為xy xdxxyxy yyx yy yy d ydy yxyx C fxfyxxyxyx d 設(shè)上面的正應(yīng)力及切應(yīng)力為x, xy，則下面的正應(yīng)力其切應(yīng)力為,dyyyy yyyxyx d 因六面體是微小的, 所以, 各面的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布, 作用在對應(yīng)面中心. 所受體力也可認(rèn)為是均勻分布, 作用在對應(yīng)面中心。 02d1d2d1dd 2d1d2d1dd yxyxyy xyxyxx yxyxyx xyxyxy o C xy yyxxyx xxxx d yy yy d xxxyxy d yy y

17、xyx dfxfyyyxx yxyxxyxy d21d21 yxxy 首先，以過中心C 并平行于z軸，列出0 CM將上式除以dxdy, 得令dx,dy 趨近于零，得這正是切應(yīng)力互等定理。 o C xy yyxxy x xxxx d yy yy d xxxyxy d yy yxyx dfxfy01dd1d1dd 1d1dd yxfx xyy yyxx xyxyxyx xxx 0 xyxx fyx 其次，以x軸為投影軸，列出0 xF將上式除以dxdy, 得同樣，以y軸為投影軸，列出 可得一個相似的微分方程0 yF0 yxyy fxy 于是得出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式平面問題中的平衡微分方程。

18、 這2個微分方程中包含3個未知函數(shù)x, y, xy=yx ,因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定問題，必須考慮幾何方程和物理學(xué)方面的條件，才能解決問題。 對于平面應(yīng)變問題, 微分體一般還有作用于前后兩面的正應(yīng)力 z, 但不影響上述方程的建立, 上述方程對于兩種平面問題同樣適用。 00yxyy xyxx fxy fyx 2.3 平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)O x y yyxxyx PB AnnO xy yyxxyx yyx xxyP 應(yīng)力狀態(tài)就是指一點處所有斜截面上的應(yīng)力的集合。假定已知任意點P處坐標(biāo)面的應(yīng)力分量x, y, xy=yx ,求經(jīng)過該點且平行于z軸的任意斜截面上的應(yīng)力。 myn lxn ),

19、cos(),cos( ssmlf smslsp xxyxx 02 ddddd xyxx mlp xyyy lmp py pxpO xy yyxxyx nPB A用n代表斜截面AB的外法線方向，其方向余弦為設(shè)AB=ds, 則PA=lds, PB=mds, SPAB =ldsmds/2設(shè)垂直于平面的尺寸為1。 由 得0 xF其中 fx 為x方向得體力分量。將上式除以ds, 然后命ds 趨于0（AB0）得同理由 得0 yF一.求任意斜截面上的正應(yīng)力 n 和 切應(yīng)力 n yxn mplp xyyxn lmml 222 xyn mplp xyxyn mllm )()( 22 nnpy pxpO xy y

20、yxxyx nPB A令斜截面得正應(yīng)力為n, 切應(yīng)力為n.由px, py 投影得xyxx mlp xyyy lmp 可見，已知點P處的應(yīng)力分量x, y, xy=yx ,就可求得經(jīng)過該點的任意斜截面上的正應(yīng)力 n 和 切應(yīng)力 n 。 lpx O x y yyxxyx yyx xxyP 121 2 a1nn O xy yyxxyx PB A lml xyx mlm xyy )1( xy xlm )2(yxylm mpy 0)()( 22 xyyxyx 二.求主應(yīng)力及主應(yīng)力的方位應(yīng)力主向應(yīng)力主面上 = 0， = pxyxx mlp xyyy lmp 投影得代入得py pxp由上兩式分別解出 m /

21、l , 得于是，有解得 2221 22 xyyxyx yx 21 O xy yyxxyx yyx xxyP 121 2 a1111 1111 cos90coscossintan lm)( o a aaaa xy x a 11tan 222 2222 cos90coscossintan lm)( o a aaaa yxy a 22tan易得下面求主應(yīng)力方向即得即得設(shè)1與x軸的夾角為a1設(shè)2與x軸的夾角為a2 )1(xy xlm )2(yxylm )( 12 xy xxy a 12tan 1tantan 21 aa 1max 2min 2 21 max 2 21min O xy yyxxyx yy

22、x xxyP 121 2 a1yx 21由得xy x a 11tan yxy a 22tan于是有就是說， 1, 2 的方向互相垂直。從材料力學(xué)知識我們知道與應(yīng)力主向成450的斜面上。 yyuu d2.4 幾何方程 剛體位移xyO PB Au xxuu d xxvv dyyvv d P AB axux uxxuu( PA PAAPPAPAAP xx d )d）（ yx PBPA dd yvy 同理PB的線應(yīng)變：PA的線應(yīng)變：一.幾何方程：任一點的微分線段上的形變分量與 位移 分量之間的關(guān)系式。v設(shè) 同理PB的轉(zhuǎn)角：yuPA與PB之間的轉(zhuǎn)角：yuxv xy a yyuu d xyO PB Au

23、xxuu d xxvv dyyvv d P AB avxvx v)xxvv( ddsinaaPA的轉(zhuǎn)角：yuxv yv xu xyyx ,幾何方程：上列幾何方程對兩種平面問題同樣適用。 二.形變與位移之間的關(guān)系1. 如果物體的位移確定，則形變完全確定。從物理概念: 當(dāng)物理變形后各點的位置完全確定, 任一微分線段上的形變（伸縮、轉(zhuǎn)角等）也就完全確定了.從數(shù)學(xué)概念: 當(dāng)位移函數(shù)確定時，其導(dǎo)數(shù)也就確定了。2. 當(dāng)物體的形變分量確定時，位移分量不完全確定。從物理概念: 在物體內(nèi)形變不變的條件下, 物體還可以做剛體運動平動和轉(zhuǎn)動, 即還有剛體運動的人任意性. 從數(shù)學(xué)概念: 由形變分量求位移分量是一個積分

24、的過程，在常微分中，會出現(xiàn)一個任意常數(shù)；而在偏微分中，要出現(xiàn)一個與積分變量無關(guān)的任意函數(shù)。這些任意函數(shù)是未定項，這些未定項正是剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動量。若假設(shè) 求出相應(yīng)的位移分量。 xyyx 0代入幾何方程： . yuxv , yv , xu 000 將前二式對x及y積分，得 , )( , )( 21 xfvyfu F1 及 f2 為任意函數(shù)。代入幾何方程中的第三式，得xxfyyf d )(dd )(d 21 xxfyyf d )(dd )(d 21 方程左邊是y的函數(shù)，只隨y而變；而右邊是x的函數(shù)，只隨x而變。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是得 xxfyyf d )(d,d )(d 21積分

25、得 , )( , )( 0201 xvxfyuyf 其中u0及v0為任意常數(shù)。代入 得 , )( , )( 21 xfvyfu , , 00 xvvyuu 這就是“形變?yōu)榱恪睍r的位移，也就是所謂“與形變無關(guān)的位移”，因此必然是剛體位移。下面根據(jù)平面運動的原理加以證明。 u0及v0分別為物體沿x軸及y軸方向的剛體位移，而為物體繞z軸得剛體轉(zhuǎn)動。 Pxyx yOz ay x , , 00 xvvyuu 當(dāng)只有u0不為零時，物體內(nèi)任一點位移分量 .物體的所有各點只沿x方向移動同樣距離u0，所以u0代表物體沿x方向的剛體位移。0 , 0 vuu坐標(biāo)為(x,y)的任一點P沿y方向移動x, 沿x負(fù)方向移動

26、y, 合成位移為 xvyu , 222222 yxxyvu同樣, v0代表物體沿y方向的剛體位移。當(dāng)只有不為零時, 物體內(nèi)任一點位移分量 Pxyx yOz ay x可見, 合成位移的方向與徑向線段OP垂直,也就是沿著切向. 因OP線上所有點移動方向都沿著切線, 且移動的距離為, 可見代表物體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動。a tan/tan y/xxy 既然物體在形變?yōu)榱銜r可以有剛體位移，那么，當(dāng)物體發(fā)生一定形變時，由于約束條件不同，可能有不同的剛體位移，為了完全確定位移，就必須有適當(dāng)?shù)膭傮w約束條件。 2.5 物理方程物理方程:應(yīng)力分量和形變分量之間的物理關(guān)系式.在理想彈性體（滿足連續(xù)性，完全彈性，均勻性和

27、各向同性）中，物理方程就是材料力學(xué)中學(xué)過的胡克定律：物理方程有兩種形式：1. = f () 此式是用應(yīng)力表示應(yīng)變，其中應(yīng)力取為基本未知數(shù)，用于按應(yīng)力求解。2. = f () 此式是用應(yīng)變表示應(yīng)力，其中應(yīng)變?nèi)榛疚粗獢?shù)，用于按位移求解。 胡克定律的一般形式： ,1 ,1 ,1 )(1 )(1 )(1 xyxyxyzxxyyz yxzz zxyy zyxx GGGEEE E是彈性模量，G是切變模量，又稱剛度模量，稱為泊松系數(shù)，或泊松比。 12 EG一.平面應(yīng)力問題的物理方程將 代入上式得獨立的物理方程0 zyzxz ,)1(211 xyxy xyy yxx EEE 另外：)( yxz E 因z可

28、由x , y求出, 故不作為獨立的未知函數(shù)。 二.平面應(yīng)變問題的物理方程將 代入上式得獨立的物理方程0 zyzxz ,)1(2 11 11 22 xyxy xyy yxx EEE 另外：)( yxz E 因z可由x , y求出, 故不作為獨立的未知函數(shù)。與平面應(yīng)力問題的物理方程對比，只需將E 換為 ， 換為21 E 1 對于兩類平面問題，三套方程除了物理方程中的系數(shù)須變換外, 其他平衡方程和幾何方程是完全相同的. 三套方程中包含8個未知函數(shù)：x, y, xy=yx, x, y, xy及u, v. 還需考慮邊界條件, 才能求出這些未知函數(shù). 2.6 邊界條件邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力

29、與面力之間的關(guān)系式。它分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。一.位移邊界條件設(shè)在部分邊界上給定了約束位移分量u(s)和v(s), 則對于邊界上的每一點，位移函數(shù)u,v應(yīng)滿足條件 )()(),()( svv suu ss （在su上）其中(u)s和(v)s是位移的邊界值，u(s)和v(s)在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。位移邊界條件 注意1.上式要求在s上任一點位移分量必須等于對應(yīng)的約束位移分量。)()(),()( svv suu ss （在su上）2.上式是函數(shù)方程，而不是簡單的代數(shù)方程或數(shù)值方程。位移邊界條件實質(zhì)上是變形連續(xù)條件在約束邊界上的表達(dá)式。 設(shè)n為斜截面的外法線方向，其方向余弦二

30、.應(yīng)力邊界條件設(shè)在s部分邊界上給定了面力分量fx(s)和fy(s), 則可以由邊界上任一點微分體的平衡條件，導(dǎo)出應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。 在邊界上任一點P取出一個微分體,斜面AB就是邊界面, x, y, xy為應(yīng)力分量邊界值。o xy yyxxyx PB Afxfy1.邊界為斜截面時nmyn lxn ),cos(),cos(設(shè) AB=ds ， z 方向厚度為1 由平衡條件，得出微分體的應(yīng)力分量與邊界面上的面力之間的關(guān)系： ).()( ),()( sflm sfml ysxyy xsyxx （在s 上）其中 在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)，l, m 是邊界面外法線的方向余弦。fx(s)和fy(s),

31、o xy yyxxyx PB Afxfy ssmlf smslsf xxyxx 02 1dd1d1d1d n除以ds， 并令ds0，得 sfml xsyxx ),()( 同理：).()( sflm ysxyy 于是，得到應(yīng)力邊界條件 3. 在導(dǎo)出應(yīng)力邊界條件時, 只考慮到面力(一階微量), 不需考慮二階微量體力。4. 應(yīng)力邊界條件是邊界點上微分體的平衡條件，也屬于靜力邊界條件。).()( ),()( sflm sfml ysxyy xsyxx （在s 上）注意1.應(yīng)力邊界條件表示邊界s上任一點的應(yīng)力和面力之間的關(guān)系。也是函數(shù)方程，在s上每一點都應(yīng)滿足。2.上式中的面力、應(yīng)力都有不同的正負(fù)符號規(guī)

32、定，且分別作用于通過邊界點的不同面上。 2.邊界為坐標(biāo)面時若 x=a 為正 x 面，則有).()(),()( yf yf yaxxyxaxx 若 x=b 為負(fù) x 面，則有).()(),()( yf yf ybxxyxbxx o xy yyxxyx PB A fxfyao xy yyx xyxPB Afx fy b正負(fù) x 面上的面力分量一般為隨 y 而變化的函數(shù)。l =1, m=0l = 1, m=0 ).()( ),()( sflm sfml ysxyy xsyxx （在s 上） 3.應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)方式(1) 在邊界點取出一個微分體，考慮其平衡條件，得出).()( ),()( sf

33、lm sfml ysxyy xsyxx （在s 上）).()(),()( yf yf yaxxyxaxx ).()(),()( yf yf ybxxyxbxx (2) 在同一邊界面上，應(yīng)力分量的邊界值就等于對應(yīng)的面力分量。 應(yīng)力分量的絕對值等于對應(yīng)的面力分量的絕對值，面力分量的方向就是應(yīng)力分量的方向。 即數(shù)值相同，方向一致。 例如：若邊界面 y=c, d 分別為正、負(fù)坐標(biāo)面).()(),()( xf xf xdyyxydyy 在斜截面上：).()(),()( xf xf xcyyxycyy ).()(),()( sfp sfp ysyxsx px, py 為斜截面應(yīng)力o xy y yx xyx

34、Pfx fy dy yxfyo xyyx xyxPfx c yxyy xyxx mlp xyyy lmp o xy yyxxyx P fxfypxp y 三.混合邊界條件物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，如)()(),()( svv suu ss （在su上）另一部分邊界則具有已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條件).()( ),()( sflm sfml ysxyy xsyxx （在s 上）在同一邊界上還可能出現(xiàn)混合邊界條件,即兩個邊界條件中一個是位移邊界條件, 另一個則是應(yīng)力邊界條件.o xy x方向0)( uu sy方向0)( ysxy f x方向0)( vv sy方向0)(

35、xsx fo xy 2.7 圣維南原理及其應(yīng)用求解彈性力學(xué)問題時，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量必須滿足三套方程，還必須滿足邊界條件，但要使邊界條件得到完全滿足很困難。圣維南原理為簡化局部邊界的應(yīng)力邊界條件提供了有效的方法。圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力, 變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同，對于同一點的主矩也相同), 那么, 近處的應(yīng)力分布將有明顯的改變 , 但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。 1. 圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界上，又稱為局部邊界，小邊界或次要邊界。一. 圣維南原理應(yīng)用的條件 所謂“近處”, 根據(jù)經(jīng)驗, 一般地講大約是變換面力的邊界的12倍范圍內(nèi), 此范圍之

36、外可認(rèn)為是“遠(yuǎn)處”。如果將面力的等效變換范圍應(yīng)用到大邊界(又稱為主要邊界)上, 則必然使整個的應(yīng)力狀態(tài)都改變了。因此, 不適用圣維南原理。 F F/2F/2F F Fq2.小邊界的面力變換為靜力等效的面力.3.經(jīng)變換后，只對近處的應(yīng)力分布有明顯的影響，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力幾乎不受影響。F F/2F/2 F FF F/2F/2F/2 F/2F/2F/2(a)(b)(c)例如：如將一端或兩端的F變換為靜力等效的力, 如圖(b), (c), (d).則只有虛線劃出的部分應(yīng)力分布有顯著改變, 其余部分所受影響可不計。(d) F/A F/A圖(d)所示情況，由于面力連續(xù)均勻分布，邊界條件簡單，應(yīng)力很容易求解并且

37、解答很簡單。而其他三種情況，由于面力不連續(xù)分布，甚至不知其分布方式，應(yīng)力難以求解。根據(jù)圣維南原理，可將(d)的應(yīng)力解答應(yīng)用于其他三種情況。 應(yīng)用圣維南原理的條件是滿足靜力等效。即使物體一小部分邊界上的位移邊界條件不能滿足時，仍可以應(yīng)用圣維南原理。F/A F/AF(e)(d)圖(e)右端是固定端，有位移邊界條件(u)s = u = 0 和(v) s = v = 0, 把(d)的解答應(yīng)用于這一情況時，位移 邊界條件不能滿足, 但右端的面力靜力等效于過形心的力F(與左邊的力F平衡), 滿足圣維南原理的條件, (d)的解答仍可應(yīng)用于這一情況時, 只是在靠近兩端處有顯著的誤差, 而在較遠(yuǎn)處誤差可不計。

38、如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計。這是因為主矢量和主矩都等于零的面力，與無面力狀態(tài)是等效的，只在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。例如： F FF F4.圣維南原理還可以推廣到下列情形 xyh/2h/2 ll O 在應(yīng)力邊界條件上應(yīng)用圣維南原理, 就是在邊界上, 將精確的應(yīng)力邊界條件代之以主矢相同, 對同一點的主矩也相同的靜力等效條件。二.在局部邊界上應(yīng)用圣維南原理例如，厚度 d=1 的梁，hl, 即左右端是小邊界.嚴(yán)格的邊界條件要求 yf yf ylxxyxlxx ,x xy fx fy xy ydy x f

39、xfy此式要求在邊界 x=l 上的每一點（每一y值），應(yīng)力分量與對應(yīng)的面力分量必須處處相等。 嚴(yán)格的邊界條件要求 yf yf ylxxyxlxx , xyh/2h/2 ll Ox xy fx fy xy ydy x fxfy這種嚴(yán)格的邊界條件是很難滿足的。 但 h h, d=1 ) qF 30oO xyb/2 hgy b/2 ( h b, d=1 )(a) (b)解：對(a)問題，在主要邊界 y=h/2，應(yīng)精確滿足下列邊界條件 12,0,2 0,2 q hy lxq hy yxy yxy 2)(lxq q 1F FsM O xy l h/2h/2( l h, d=1 )(a)在小邊界(次要邊界

40、) x=0, 應(yīng)用圣維南原理, 列出三個積分近似邊界條件, 當(dāng)板厚d=1時, Fy Myy Fy sxh/h xy xh/h x xh/h x ,d ,d ,d022/ 022/ 022/ 在小邊界 x=l 處，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界都已滿足條件下，三個積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。 qF 30oO x yb/2 hgy b/2 ( h b, d=1 )(b)對(b)問題,在主要邊界 y=0, b, 應(yīng)精確滿足下列邊界條件q bx gy x yxy yxx ,0, 0,0在小邊界 y=0, 列出三個積分近似邊界條件, 當(dāng)板厚d=1時, Fx Fxx Fx yh/h yx yh/h

41、y yh/h y ,2d ,43d ,23d022/ 022/ 022/ 注意，在列力矩條件時，兩邊均是對原點O 的力矩來計算的。對于 y=h 的小邊界條件可以不必校核。 F O xy l h/2h/2( l h, d=1 ) A例2：厚度d=1的懸臂梁，在自由端受集中力F的作用。已求得其位移的解答是.3262 82662 3232 22332 EIFlEIxFlEIFxEIFxyv y ,IGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu 試檢查此組位移是否是該問題的解答。解：此組位移若為此問題的解答，則應(yīng)滿足下列條件 .021211 ,021211 222222 222222 yxfyxuxvy

42、vE fyxvyuxuE 1. 在區(qū)域內(nèi)，滿足用位移表示的平衡微分方程 . fyuxvlxuyvmE fxvyumyvxulE ys xs211 ,211 22 )()(),()( svv suu ss 在Su上2. 在所有受面力的邊界s上,滿足應(yīng)力邊界條件。3. 在su滿足位移邊界條件其中在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，即用三個積分的邊界條件來代替。本題只需校核在 邊界x=l 的剛體約束條件A點( x=l 及y=0 )，0, xuvu . fxuyvE fyvxuE ys xs 221 ,1 例3：試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否存在，(a) x=Axy, y=By3, xy=CDy3(b)

43、x=Ay2, y=Bx2y, xy=Cxy(c) x=y=0, xy=Cxy解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件（相容方程）即 yxxy xyyx 22222(a) 相容(b) 須滿足 B=0，2A=C(c) 不相容 只有C=0， x = y= xy= 0, 例4：在無體力的情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。(a) x=Ax + By, y= Cx + Dy, xy= Ex + Fy ；(b) x=A( x2 + y2 ), y=B ( x2 + y2 ), xy=Cxy解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須滿足 00yxyy xxyx fxy fyx 02 yx ).()

44、( ),()( sflm sfml ysxyy xsyxx 在s上(a) 此組應(yīng)力滿足相容方程，為滿足平衡微分方程，必須 A=F, D=E，此外，還須滿足應(yīng)力邊界條件。 (b) 為滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足 A+B=0為滿足平衡微分方程,其系數(shù)必須滿足 A =B =C/2上兩式是矛盾的，故此組應(yīng)力不存在。(b) x=A( x2 + y2 ), y=B ( x2 + y2 ), xy=Cxy例5：若f (x,y) 是平面調(diào)和函數(shù)，即滿足拉普拉斯方程 0 2 f試證明函數(shù)f , xf , yf , (x2+y2)f 都滿足重調(diào)和方程，因而都可以作為應(yīng)力函數(shù) 使用。證明：0224 ff 0444

45、xffxxf 0444 yffyyf 0224422224 yxffyxfyx上述函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)，均能滿足相容方程（重調(diào)和方程）0 4 例6：圖示梁受到均布載荷的作用，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力。 xChqxy CyCyhq yyxhq xyyx 13 2 2133 32362 46 q xy l h/2h/2( l h, d=1 )202qh ql 202 22 qhql O 解： 00yxyy xxyx fxy fyx 02 yx ).()( ),()( sflm sfml ysxyy xsyxx 在s上 本題是按應(yīng)力求解，因而，應(yīng)力分量必須滿足 xChqxy CyCyhq yyxhq

46、xyyx 13 2 2133 32362 46 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程和相容方程，兩者都能滿足。再校核邊界條件，在主要邊界上hqC Chhqx hy yx 23 ,0460,2 1 123 得即 q xy l h/2h/2( l h, d=1 )202qh ql 202 22 qhql O 2 ,0282,2 2133qC ChChhq q hy 2y 得即 xChqxy CyCyhq yyxhqxyyx 13 2 2133 32362 46 hqC 231 代入后滿足。將210,2 CC hy ，y 將C1,C2代入應(yīng)力分量，得 1423 22321 232 22 33223 hyhqx

47、 hyhyq yxhqyxyyx q xy l h/2h/2( l h, d=1 )202qh ql 202 22 qhql O 1423 22321 232 22 33223 hyhqx hyhyq yxhqyxyyx 再將應(yīng)力表達(dá)式代入次要邊界條件： 20d 0d4 ;00 202/ 2/ 02/ 2/33 qhyy y ,hyq ,x xhh x xhh xx xy 其主矩為其主矢量為 202d 046 d;1423 222/ 2/ 323 02/ 2/ 33 qhqlyy ,yylhq qly hyqhql ,lx lxhh xx xhh xyxy 其主矩為其主矢量為其主矢量為可見，在

48、次要邊界上的積分邊界條件均能滿足。 q xy l h/2h/2( l h, d=1 )202qh ql 202 22 qhql O 例7：材料力學(xué)中，當(dāng)矩形截面梁(厚度d=1)受任意橫向載荷q(x)作用而彎曲時，彎曲正應(yīng)力公式為 yIxMx q(x) xy l h/2h/2 ( l h, d=1 )O1.試由平衡微分方程(不計體力)導(dǎo)出切應(yīng)力xy和擠壓應(yīng)力x的公式(提示:注意 xqxxF xFxxM ss )(dd),(dd 積分后得出的任意函數(shù),可由梁的上下邊界條件來確定.)解：不計體力, 將 代入平衡微分方程第一式 yIxMx y x yxx 0 得 I yxFIyxxMxy sxyx d

49、d q(x) xy l h/2h/2( l h, d=1 )O兩邊對y積分，得 xfIyxFsyx 122 再由上下邊界條件 得 02 h/yyx IhxFxf s8 21 其中28 22 yhS 將 代入平衡微分方程第二式 I SxFsyx x y xyy 0 I yxFIyxxMxy sxyx dd I SxFsyx 代入上式, 得得 28281dd 2222 yhIxqyhIxxFxy sxyy 28281dd 2222 yhIxqyhIxxFxy sxyy q(x) xy l h/2h/2 ( l h, d=1 )O I SxFsyx 28 22 yhS 兩邊對y積分，得 xfyyhI

50、xq 2y 32 618再由上下邊界條件 02 h/yy得 224 32 xqIhxqxf qh/yy 2由同樣得 22 xqxf 代入 xfyyhIxq 2y 32 618得 33333 223216824 hyhyxqyhhIxqy yIxMx I SxFsyx 28 22 yhS 3322321 hyhyxqy 上述解答已滿足平衡微分方程及y=h/2的邊界條件, 但一般不滿足相容方程, 且尚未校核左右端的小邊界條件。2.當(dāng)q為常數(shù)時, 試檢驗應(yīng)力分量是否滿足相容方程？試在 x中加一項對平衡沒有影響的函數(shù)f (y), 再由相容方程確定f (y) , 并校核梁的左右邊界條件。xy l h/2

51、h/2( l h, d=1 )O q 若q=常數(shù)，則 2222 222 lxlxqlxqxqlxM xy l h/2h/2( l h, d=1 )O q ylxlxhqlyIxMx 22326于是 3322321 hyhyqy代入相容方程， 02432 yqqyx 為滿足相容方程，令 yfylxlxhqlyIxMx 22336此時， 3322321 hyhyqy yfylxlxhqlyIxMx 22336 I SxF syx 和仍滿足平衡微分方程，再代入相容方程。 0dd24 2232 y yfyqqyx xy l h/2h/2( l h, d=1 )O q 3322321 hyhyqy yf

52、ylxlxhqlyIxMx 22336積分得 04 33 BAyyhqyf由 x=l 次要邊界條件 0d2/ 2/ ylxhh x得 B=0 ； 0d02/ 2/ yxhh x滿足。 0d,02/ 2/ yylxhh x得hqA 53由此得 yhqyhqylxlxhqlyIxMx 5346 332233 經(jīng)檢驗，在小邊界 x=0,l 上剪力邊界條件亦滿足。 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答3.1 逆解法和半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布載荷3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1 逆解法和半逆解法 多項式解答在常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題，可

53、歸納為求解一個應(yīng)力函數(shù)，它必須滿足1.在區(qū)域內(nèi)的相容方程2.在邊界上的應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)3.在多連體中，還須滿足位移單值條件。).()( ),()( sflm sfml ysxyy xsyxx 在s上 . yx yfx xfy xyyyxx 22222 ,求出應(yīng)力函數(shù) 后，便可求出應(yīng)力分量.然后再求應(yīng)變分量和位移分量。02 4422444 xyxy 02 4422444 xyxy 由于相容方程 是偏微分方程，它的通解不能寫成有限項數(shù)的形式，一般不能直接求解問題。只能采取逆解法和半逆解法。所謂逆解法，就是(1)先設(shè)定滿足 的應(yīng)力函數(shù)；02 4422444 xyxy (2)根據(jù)

54、 求出應(yīng)力分量； . yx yfx xfy xyyyxx 22222 , (3)在給定的邊界形狀下，根據(jù)應(yīng)力邊界條件，由應(yīng)力反推出相應(yīng)的面力，即.)( )( sxyyy syxxx lmf ,mlf 反過來得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決的問題。（可解決的正是上述面力對應(yīng)的問題）一.逆解法 下面用逆解法求解幾個簡單問題的解答。假定體力可忽略不計( fx = fy = 0 )，應(yīng)力函數(shù)取為多項式。1.取應(yīng)力函數(shù)為一次式 = a + bx + cy應(yīng)力函數(shù) 滿足相容方程02 4422444 xyxy 由 得應(yīng)力分量 . yx yfx xfy xyyyxx 22222 , . xyyx 0,0,0 不論

55、彈性體為何形狀，也不論坐標(biāo)軸如何選擇，由應(yīng)力邊界條件 總是得出.)( )( sxyyy syxxx lmf ,mlf f f yx .0,0 一次式 = a + bx + cy對應(yīng)無體力，無面力，無應(yīng)力的狀態(tài)。把應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，不影響應(yīng)力。 2.取應(yīng)力函數(shù)為二次式 = ax2 + bxy + cy2應(yīng)力函數(shù) 滿足相容方程02 4422444 xyxy 現(xiàn)分別考察每一項所能解決的問題。對應(yīng) = ax2，應(yīng)力分量是. a yxxyyx 0,2,0 (a)2a xyO2a如圖矩形板和坐標(biāo)軸，當(dāng)板內(nèi)應(yīng)力為x = 0, y = 2a, xy=yx = 0, 由應(yīng)力邊界條件可知，左右兩邊沒有面力

56、，上下兩邊有均布面力2a。可見，應(yīng)力函數(shù) = ax2 能解決矩形板在 y 方向受均布力的問題。 b (b)b xyO bb (c)2c xyO 2c 如圖矩形板和坐標(biāo)軸，當(dāng)板內(nèi)應(yīng)力為x = 0, y = 0, xy=yx =b, 由應(yīng)力邊界條件可知，左右上下兩邊分別有與面相切的面力 b。 可見，應(yīng)力函數(shù) = bxy 能解決矩形板受均布剪力的問題。對應(yīng) = bxy，應(yīng)力分量是b. yxxyyx ,0,0對應(yīng) = cy2，應(yīng)力分量是. c yxxyyx 0,0, 應(yīng)力函數(shù) = cy2 能解決矩形板在 x方向受均布力的問題。 = ax2 + bxy + cy2 表示常量的正應(yīng)力和切應(yīng)力。 4.如果取

57、應(yīng)力函數(shù)為四次或四次以上的多項式，則其中的系數(shù)必須滿足一定的條件。應(yīng)力函數(shù) 滿足相容方程02 4422444 xyxy 對應(yīng) = ay3，應(yīng)力分量是. ay yxxyyx 0,0,6 O y x對于圖示矩形板和坐標(biāo)軸當(dāng) 時，上下兩邊沒有面力；左右兩邊沒有 y 方向面力. ay yxxyyx 0,0,6 ,只有按直線變化的水平面力，而每一邊的水平面力合成為一個力偶。 可見，應(yīng)力函數(shù) = ay3 能解決矩形梁純彎曲問題。3.取應(yīng)力函數(shù)為三次式 = ay3 Oy xh/2h/2 llh5.例題例1：圖示矩形長梁, lh, 試考察應(yīng)力函數(shù) 能解決什么樣的受力問題。 223 432 yhxyhF 解：按

58、逆解法求解1.將 代入相容方程，滿足相容方程 02 4422444 xyxy 2.將 代入 得應(yīng)力分量 . yx yfx xfy xyyyxx 22222 , 222222322 4123,012 hyhFyx x ,hFxyy xyyx 3.由邊界形狀和應(yīng)力分量反推邊界上的面力 222222322 4123,012 hyhFyx x ,hFxyy xyyx 在主要邊界 y = h/2 上0,0,0 yxyx 因此，在上下邊界上無面力，即0,0 yx f f在次要邊界 x =0, l 上x=0 (負(fù) x 面), 2200 4123,0 hyhFf f xxyyxxx x=l (正 x 面),

59、220 4123, hyhFf yh12Flf xxyy3lxxx xyxy xF F Fl 此應(yīng)力函數(shù)可以解決懸臂梁在 x=0 處受集中力作用的問題。 二. 半逆解法半逆解法是針對實際問題來求解的，半逆解法的具體步驟如下：逆解法沒有針對具體問題進(jìn)行求解, 而是找出滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù), 來考察它們能解決什么問題。這種方法可以積累彈性力學(xué)的基本解答。1. 根據(jù)彈性受力情況和邊界條件等，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式；2. 根據(jù) 由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù) 的形式； . yx yfx xfy xyyyxx 22222 ,3.將 代入相容方程，求出 的具體表達(dá)式； 4. 將 代入 ，求出對應(yīng)的應(yīng)力分量

60、。. yx yfx xfy xyyyxx 22222 ,5. 將應(yīng)力代入邊界條件).()( ),()( sflm sfml ysxyy xsyxx 在s上考察它們是否滿足全部邊界條件(對于多連體，還須滿足位移單值條件)。如果所有的條件均能滿足，上述解答就是正確的解答。否則，就要修改假設(shè)，重新進(jìn)行求解。 3.2 矩形梁的純彎曲 Oy xh/2h/2yM M h1x l設(shè)有矩形截面的長梁(梁的長度 l 深度h )，它的寬度遠(yuǎn)小于深度和長度(近似的平面應(yīng)力情況)，或遠(yuǎn)大于深度和長度(近似的平面應(yīng)變情況), 兩端受相反的力偶而彎曲，體力不計。（取d=1）. ay yxxyyx 0,0,6 相應(yīng)的應(yīng)力分

61、量為矩形截面梁純彎曲問題，可借助由逆解法得出的應(yīng)力函數(shù) = ay3 。顯然， 滿足相容方程04 Oy xh/2h/2yM M h1 x l1.考察上下兩個主要邊界的邊界條件上下邊都沒有面力，要求 0,0 22 hh yyxyy . ay yxxyyx 0,0,6 此邊界條件滿足。2.考察左右端次要邊界的邊界條件左右兩端沒有 y 向的面力，分別要求 0,00 lxxyxxy 此邊界條件也滿足。x = 0, l 為小邊界，可以用圣維南原理，將關(guān)于x 的邊界條件用主矢量和主矩的條件代替。這些應(yīng)力分量是否能滿足邊界條件？如能滿足，a 取什么值？ 2 222 d ,0d,0,0hhhh Myy ylxx

62、 lxx h1y O xh/2h/2yM Mx l . ay yxxyyx 0,0,6 將 代入上兩式ayx 6 2222 d6,0d6 2hhhh Myya yya前一式總能滿足，后一式要求.hMa 320,012 3 yxxyyx y,hM 代入 得. ay yxxyyx 0,0,6 注意到.hI 121 30,0 yxxyyx y,IM 得應(yīng)力分量與材力結(jié)果相同。 3.3 位移分量的求出以純彎曲矩形梁為例，說明如何由應(yīng)力分量求出位移分量。（求解步驟） h1y O xh/2h/2M Ml0,0 yxxyyx y,IM 將代入 ,)1(2 1,1 xyxy xyyyxx E EE 得形變分量

63、0, xyyx yEIM yEIM 1. 將應(yīng)力分量分量代入物理方程 yuxv yv xu xyyx ,2. 將形變分量代入幾何方程, 再積分求位移0, yuxv yEIMyv yEIMxu 將 代入0, xyyx yEIM yEIM 得位移分量h1y O xh/2h/2M Ml將前二式積分，得 xfyEIMv yfxyEIMu 221 2, f1, f2 為待定函數(shù)，可通過第三式求出。 將上式代入 ，得0 yuxv 0dddd 12 yyfxEIMxxf移項，得 xEIMxxfyyf dddd 21等式左邊是 y 的函數(shù)，而右邊是 x 的函數(shù)，因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是有 xEIM

64、xxf yyf dd,dd 21 xfyEIMv yfxyEIMu 221 2, h1y O xh/2h/2M Ml xEIMxxf yyf dd,dd 21積分，得 02201 2, vxxEIMxf uyyf 代入 xfyEIMv yfxyEIMu 221 2, 得位移分量022 022 , vxxEIMyEIMv uyxyEIMu 其中常數(shù) , u0, v0表示剛體位移，由約束條件求得。h1y O xh/2h/2M Ml 3. 由約束條件確定常數(shù) , u0, v0如圖簡支梁，約束條件是M MyO xl A .0,0,0 00000 y lxyxyx v v u 0220 22, vxxE

65、IMyEIMv uyxyEIMu 代入.vlEIMl, , vu 0200 0200 求出 , u0, v0，就得到簡支梁的位移分量 2222 yEIMxxlEIM v , ylxEIMu 有梁軸的撓度方程為 xxlEIMv y 20與材料力學(xué)的結(jié)果相同。 M MyO xl如圖懸臂梁，x=l 處，對于 h/2 y h/2, 要求 u = 0, v = 0在多項式解答中這條件是無法滿足的。在工程實際中這種完全固定的約束也是不大能實現(xiàn)的?，F(xiàn)在，假定固定端的中點不移動，該點的水平線段也不轉(zhuǎn)動。這樣，約束條件是 .0,0,0 000 y lxy lxy lx xv v u 0220 22, vxxEI

66、MyEIMv uyxyEIMu 代入.0,020 020 EIM vlEIMl, u有 .0,020 020 EIM vlEIMl, u求解得.20, 200 EIMlv, u EIM 得出懸臂梁的位移分量 22 22 yEIMxlEIM, vyxlEIMu M MyO xl梁軸的撓度方程為 20 2 xlEIMv y 與材料力學(xué)的結(jié)果相同。對于平面應(yīng)變情況下的梁，須把E換為 ，把 換為 。21 E1 h1y O xh/2h/2M Ml由 可見，不論約束情況如何(不論 , u0, v0取何值)鉛直線段的轉(zhuǎn)角都是0uyxyEIMu xEIMyu同一橫截界面上x是常數(shù)，因而是常量。 xyO PB AP AB a 于是可見，同一截面上的各鉛直線段的轉(zhuǎn)角相同，說明橫截面保持為平面。 4. 對結(jié)果的討論 022 22 vxxEIMyEIMv 由 可見，梁的各縱向纖維的曲率為EIMxv1 22這是材料力學(xué)中求梁的撓度時所用的基本公式。 3.4 簡支梁受均布載荷設(shè)有矩形截面梁，深度為h，長度為2l,，體力可以不計，受均布載荷q，由兩端的反力ql 維持平衡。(d=1 ) x y lh/2h/2Oqlq