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1、 量子力學中微擾理論的簡單論述 摘要：在量子力學中，由于體系的哈密頓函數(shù)算符往往比較復雜，薛定諤方程能夠嚴格求解的情況寥寥可數(shù)。因此，引入各種近似方法以求解薛定諤方程的問題就什么重要。常用的近似方法有微擾法、變分法、半經(jīng)典近似和絕熱近似等，不同的近似方法有不同的實用范圍，在下文中將討論分立譜的微擾理論。對于體系的不含時的哈密頓函數(shù)的分立譜的的微擾理論可以分為非簡并定態(tài)微擾理論和簡并定態(tài)微擾理論。 關(guān)鍵詞：近似方法；非簡并定態(tài)微擾理論；簡并定態(tài)微擾理論  目 錄 1 非簡并定態(tài)微擾論 1 1.1 理論簡述 1 1.2 一級

2、微擾 3 1.3 二級修正 5 1.4 非簡并定態(tài)微擾的討論 6 1.5 海曼—費曼定理 7 2 簡并定態(tài)微擾論 8 2.1理論簡述： 8 2.2簡并定態(tài)微擾論的討論 10 3 結(jié)束語 11 致謝 11 參考文獻 12 0 引言 微擾理論是量子力學的重要的理論。對于中等復雜度的哈密頓量，很難找到其薛定諤方程的精確解。我們所知道的就只有幾個量子模型有精確解，像氫原子、量子諧振子、與箱歸一化粒子。這些量子模型都太過理想化，無法適當?shù)孛枋龃蠖鄶?shù)的量子系統(tǒng)。應用微擾理論，可以將這些理想的量子模型的精確解，用來生

3、成一系列更復雜的量子系統(tǒng)的解答。 量子力學的微擾理論引用一些數(shù)學的微擾理論的近似方法。當遇到比較復雜的量子系統(tǒng)時，這些方法試著將復雜的量子系統(tǒng)簡單化或理想化，變成為有精確解的量子系統(tǒng)，再應用理想化的量子系統(tǒng)的精確解，來解析復雜的量子系統(tǒng)。基本的方法是，從一個簡單的量子系統(tǒng)開始，這簡單的系統(tǒng)必須有精確解，在這簡單系統(tǒng)的哈密頓量里，加上一個很弱的微擾，變成了較復雜系統(tǒng)的哈密頓量。假若這微擾不是很大，復雜系統(tǒng)的許多物理性質(zhì)（例如，能級，量子態(tài)，波函數(shù)）可以表達為簡單系統(tǒng)的物理性質(zhì)加上一些修正。這樣，從研究比較簡單的量子系統(tǒng)所得到的知識，可以進而研究比較復雜的量子系統(tǒng)。 微擾理論可以分為兩類，不含

4、時微擾理論與含時微擾理論。不含時微擾理論的微擾哈密頓量不含時間；而含時微擾理論的微擾哈密頓量含時間。 1 非簡并定態(tài)微擾論 1.1 理論簡述 近似方法的精神是從已知的較簡單的問題準確解出發(fā)，近似地求較復雜的一些問題的解，當然，還希望了解這些求解方法的近似程度，估算出近似解和準確解之間的最大偏離。下面我們將討論體系在受到外界與時間無關(guān)的微小擾動時，它的能級和波函數(shù)所發(fā)生的變化。[1] 假設體系的哈密頓量不顯含，定態(tài)的薛定諤方程 滿足下述條件： （1）可分解為和兩部分厄米，而且遠小于： 上式表示，與的差別很小，可視為加與上的微擾。由于不顯含，因此，無論或是均不顯含。

5、 （2）的本征值和已經(jīng)求出，即在的本征方程 中，能級及波函數(shù)都是已知的。微擾論的任務就是從的本征值和本征函數(shù)出發(fā)，近似求出經(jīng)過微擾后，的本征值和本征函數(shù)。 （3）的能級無簡并，嚴格來說，是要求通過微擾論來計算它的修正的那個能級無簡并。例如，要通過微擾論計算對的第個能級的修正，就要求無簡并，它相應的波函數(shù)只有一個。其他能級既可以是簡并的，也可以不是簡并的。[2] （4）的能級組成分立譜，或者嚴格點說，至少必須要求通過微擾來計算它的修正的那個能級處于分立譜內(nèi)，是束縛態(tài)。 在滿足上述條件下，可利用定態(tài)非簡并微擾論從已知的的本征值和本征函數(shù)近似求出的本征值和本征函數(shù)。為表征微擾的近似程度，

6、通常可引進一個小的參數(shù)，將寫成，將的微小程度通過反映出來。體系經(jīng)微擾后的薛定諤方程是： 將能級和波函數(shù)按展開： ，，…，，…分別表示能級和波函數(shù)的一級，二級…修正。 將上兩式代入薛定諤方程中得： 然后比較上式兩端的的同次冪，可得出各級近似下的方程式： ： ： = ： …… 零級近似顯然是無微擾時的定態(tài)薛定諤方程式，同樣還可以列出準確到，……等各級的近似方程式。[3] 1.2 一級微擾 求一級微擾修正只需要求解=。 由于厄米，的本征函數(shù)系系展開 將此式代入的近似薛定諤方程中的

7、 為求出展開系數(shù)，以左乘上式并對全空間積分，利用系的正交歸一性后，得 當時，得 當時，得 那么接下來計算，利用的歸一條件，在準確到數(shù)量級后， 又因波函數(shù)歸一，得： 將代入上式得 必為純虛數(shù)，即 為實數(shù)。準確到的一級近似，微擾后體系的波函數(shù)是 上式表明，的貢獻無非是使波函數(shù)增加了一個無關(guān)緊要的常數(shù)相位因子，那么，不失普遍性，可取 因此，準確到一級近似，體系的能級和波函數(shù)是 上式表明，準確到一級近似，在無微擾能量表象中的對角元給出能量的一級修正，非對角元給出波函數(shù)的一級修正。[4] 1.3 二級修正

8、 求二級修正需要求解= 與求一級修正的步驟相似，將二級修正波函數(shù)按展開 將此式代入上式得: 以左乘上式，并對全空間進行積分后得： 當時，得，考慮到0，由上式得： 當時，由上式得： 、 至于，同樣可以由波函數(shù)的歸一條件算出，由 得 或 同樣，若取為實數(shù)，那么由上式得： 綜合上述，準確到二級近似嗎，體系的能級和波函數(shù)是： 同理，其他各級近似也可用類似的方法算出。[5] 1.4 非簡并定態(tài)微擾的討論 （1）由微擾后的能級可知，微擾實用的條件是 只有滿足該式，才能滿足微擾級數(shù)的收斂性，保證微擾級數(shù)中最后一項小于前一項。這就是

9、的明確表示，微擾方法能否應用，不僅決定于微擾的大小，而且決定于微擾的大小，而且還決定于無微擾體系兩個能級之間的間距。只有當微擾算符在兩個無微擾體系波函數(shù)之間的矩陣元的絕對值遠小于五微擾體系相應的兩能級間隔時，才能用微擾論來計算。這就是為什么必須要求作微擾計算的能級處于分立譜，因為如果能級是連續(xù)譜，它和相鄰的能級的能級間距趨于零，對于除能外的其他所有能級， 是不可能都被滿足的。[6] （2）如何在中劃分和十分重要，和取得好，上式不僅可以滿足，而且可以使級數(shù)收斂的很快，避免了繁長的微擾計算。一般，除了要求的本征值和本征函數(shù)必須已知外，還可以從體系的對稱性及微擾

10、矩陣元是否滿足一定的選擇定則來考慮劃分和。 （3）能量本征函數(shù)和本征值的二級修正由相應的一級修正給出，這樣我們可以說，微擾論其實也是一種逐步逼近法。 （4）關(guān)于的討論：由得出，若設我們將看成一個可變化的參數(shù)，則顯然當0時，，這時體系未受到微擾的影響；當1時，，微擾全部加進去了。因此、可以想象體系當從0緩慢變化到1的過程，也就是體系從無微擾的狀態(tài)逐步變成有微擾的狀態(tài)的過程。[7] 1.5海曼—費曼定理 設是的函數(shù)，因此他的本征方程和歸一條件為： 由上式得： 上式就是費曼—海曼定理，它通過對微擾參數(shù)的積分給出了含微擾的能量和無微擾能量

11、之差。 2 簡并定態(tài)微擾論 2.1 理論簡述： 除一維束縛態(tài)外，一般情況下均有簡并，因此簡并微擾比非簡并微擾更具有普遍性，可以說，簡并微擾是非簡并微擾的特例。 假定的第個能級有度簡并，即對應于有個本征函數(shù)（=1，2，3……. ）。與簡并微擾不同，現(xiàn)在由于不知道在這個本征函數(shù)中應該取哪一個作為無微擾本征函數(shù)。因此，簡并微擾要解決的第一個問題就是：如何適當選擇零級波函數(shù)進行微擾計算。 設的本征方程是： 歸一化條件是： 的本征方程是： 由于是完備系，將按展開后，得： 將此式代入上式得： 以左乘上式兩端，對全空間進行積分后有： 其中： 按微擾的精神，將的本征值和在

12、表象中的本征函數(shù)按的冪級數(shù)作微擾展開： 再將這兩式代入 后得： 比較上式給出的兩端的同次冪，給出： ： ： 如果討論的能級是第個能級，即，由的0次冪方程式得： 即： 是個待定的常數(shù)。再由一級近似下的薛定諤方程得： 在上式中，當，得能級的一級修正為： 為方便書寫起見，略去指標，記同一能級中，不同簡并態(tài)，之間的矩陣元為。因此，上式可改寫為： 上式是一個以系數(shù)為未知數(shù)的線性齊次方程組，它有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零，即： 這是個次的久期方程。由這個久期方程可以解出的個根（a=1,2,3……）將這個根分別代入上個齊次線性方程組式后，可

13、得出相應的組解（a=1,2,3……），將它們代入后，得出與相應的零級波函數(shù)的系數(shù)。從而給出零級波函數(shù)和能量本征值的一級修正。它們分別是： 那么，由上式可知，新的零級波函數(shù)實際上是原來相應于第個能級的各個簡并本征函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)由久期方程決定。一般地，如果久期方程無重根，將求得的代入： 原則上可以求出組不同的解，那么可以求出個零級近似的波函數(shù)。[8] 2.2 簡并定態(tài)微擾論的討論 （1） 簡并來自對守恒量的不完全測量。每一個守恒量對應于一種對稱性。若由這個次的久期方程解出的（a=1,2,3……）無重根，那么，無微擾能級經(jīng)微擾后分裂為條，它們的波函數(shù)由各自對應的（a=1,2

14、,3……）表示。這時，簡并將完全消除，原來帶來簡并的對稱性或守恒量將發(fā)生或缺。同理，若有重根，只要不是重根，都將部分地消除簡并，引起部分對稱或缺。[9] （2） 經(jīng)過重新組合后的零級波函數(shù)（a=1,2,3……）彼此互相正交，滿足 。 （3） 在屬于的維子空間中，若經(jīng)過非簡并微擾方法重新組合后的（a=1,2,3……）為基矢，則有： 由上式可知，在經(jīng)過非簡并微擾方法處理后的簡并態(tài)構(gòu)成的子空間中，對應對角矩陣。因此，簡并微擾方法的主要精神在于：重新組合簡并態(tài)的零級波函數(shù)，使得在簡并態(tài)子空間中對角化。在經(jīng)過這樣的處理后，能量的一級修正，與非

15、簡并微擾的公式完全相同。簡并微擾的核心問題在于對簡并子空間的基底的選擇，在于重新選擇零級波函數(shù)以使得在簡并子空間對角化，則對角線上的元素就是能量的本征值。若最初的零級的簡并波函數(shù)本身就能使得對角化，即 則，由： 將得出。無須再去重新組合零級波函數(shù)。簡并微擾可類似于非簡并微擾的方法處理。[10] 3 結(jié)束語 在量子力學中，由于體系的哈密頓函數(shù)比較復雜，往往不能求得準確的解，而只能求得近似解。因此用來求問題的近似解的方法，就顯得很重要。那么，在上文，我們分別討論了非簡并定態(tài)微擾論和簡并定態(tài)微擾論，并簡單論述了它的理論推導。由此，我們可以得知，近似方法的精神就是從簡單問題的精確解出

16、發(fā)來求比較復雜的問題的近似解。近似方法除了上文介紹的非簡并定態(tài)微擾理論和簡并定態(tài)微擾理論外，還有含時微擾理論和變分法等等。 參考文獻 [] 蘇如鏗．量子力學．高等教育出版社．2002.12 [2] 周世勛．量子力學教程．高等教育出版社．2009.06 [3] 曾謹言．量子力學卷（2）第4版．科學出版社．2007.08 [4] 錢伯初．量子力學．高等教育出版社．2006.01 [5] Gennaro Auletta,Fountations and Interpretation of Quantum Mechanics,World Scientific Publishing Co.P

17、te.Ltd,2000. [6] 劉覺平． 普通高等教育"十一五"國家級規(guī)劃教材:量子力學．高等教育出版社．2012.08 [7] 張永德. 量子力學.科學出版社(普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材）.2002.06 [8] 曾謹言. 量子力學導論. 北京大學出版社出版.1992.06 [9] 錢伯初，曾謹言. 量子力學習題精選與剖析. 科學出版社出版，1999年第二版。 [10] J. W. S. Rayleigh,Theory of Sound, 2nd edition Vol. I, pp 115-118, Macmillan, London (1894) A

18、 simple discussion of perturbation theory in quantum mechanics Abstract：In quantum mechanics, because the systems Hamiltonian operatorare is complicated, the situation that Schrodingers equation can be solved isexactly few. Therefore, the introduction of various.approximation methods for solving S

19、chrodinger equation problem is something important. Approximate methods commonly are perturbation method, variational method, the semiclassical approximation and the adiabatic approximation and so on. Different approximation methods have different application scope, we willdiscuss the perturbation theory of discrete spectrum below. For Hamiltonian system of not containing time of discrete spectral of perturbation theory and degenerate stationary perturbation theory. Key Words：non degenerate stationary perturbation theory 、 degenerate stationary perturbation theory. - 11 -