《第05章 市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)：波動(dòng)率》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第05章 市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)：波動(dòng)率（77頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、王 鵬 博士西南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院Chapter 05 市 場(chǎng) 風(fēng) 險(xiǎn) ： 波 動(dòng) 率 Copyright Wang Peng， 20102/76 引 言v對(duì)金融市場(chǎng)波動(dòng)性的研究是現(xiàn)代金融理論的核心內(nèi)容之一。v波動(dòng)性不僅是金融風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的決定因素，還是金融衍生產(chǎn)品定價(jià)中的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。v能否對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)做出準(zhǔn)確的刻畫(huà)和預(yù)測(cè)，直接關(guān)系到風(fēng)險(xiǎn)管理的有效性和衍生產(chǎn)品定價(jià)的合理性等重要問(wèn)題。 Copyright Wang Peng， 20103/76 內(nèi) 容 提 要v波動(dòng)率的定義v采用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)波動(dòng)率v收益率是否服從正態(tài)分布v監(jiān)測(cè)日波動(dòng)率v指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型vGARCH模型、隨機(jī)波動(dòng)模型、隱含波動(dòng)率模型

2、、實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型v模型選擇和極大似然估計(jì) Copyright Wang Peng， 20104/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v波動(dòng)率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差v期權(quán)定價(jià)：一年v風(fēng)險(xiǎn)控制：一天v不同期限波動(dòng)率之間的轉(zhuǎn)換：時(shí)間的平方根規(guī)則 Copyright Wang Peng， 20105/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義vExamplev一股票價(jià)格為50美元，其波動(dòng)率為每年30，對(duì)應(yīng)于每周的價(jià)格百分比變化的標(biāo)準(zhǔn)差近似為：v因此，股票價(jià)格每周變化的標(biāo)準(zhǔn)差為500.0416，即2.08美元。30% 152 4.16% Copyright Wang Peng， 20106/76

3、5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v方差變化率v方差：波動(dòng)率的平方v波動(dòng)率與時(shí)間的平方根成正比v方差與時(shí)間本身成正比 Copyright Wang Peng， 20107/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v交易天數(shù)與日歷天數(shù)v計(jì)算波動(dòng)率時(shí)，應(yīng)該采用交易天數(shù) or 日歷天數(shù)？v研究人員證明：價(jià)格在交易時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)比無(wú)交易時(shí)間的波動(dòng)大得多，所以采用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)波動(dòng)率時(shí)，應(yīng)該忽略無(wú)交易的天數(shù)v美國(guó)：約252個(gè)交易日v中國(guó)：約250個(gè)交易日 Copyright Wang Peng， 20108/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v若為某資產(chǎn)的年波動(dòng)率year，day為相應(yīng)的日波動(dòng)率，則：v或252

4、year day 250year day Copyright Wang Peng， 20109/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v思考：波動(dòng)率由何而來(lái)？ 圖6-1 標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)和上證綜指收益率的波動(dòng)情況 Copyright Wang Peng， 201010/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v一個(gè)自然假設(shè)：波動(dòng)率是由到達(dá)市場(chǎng)的新信息引起v上述假設(shè)并未得到實(shí)證研究（Fama，1965；French，1980；French and Roll，1980）的支持vFama等學(xué)者的研究思路：v計(jì)算（1）中間不含非交易日時(shí)，一個(gè)交易日結(jié)束到下一個(gè)交易日結(jié)束時(shí)股票價(jià)格收益率的方差；（2）周五收

5、盤到下周一收盤時(shí)收益率的方差 Copyright Wang Peng， 201011/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v若假設(shè)成立，第（2）項(xiàng)方差應(yīng)為第（1）項(xiàng)方差的3倍v實(shí)證研究結(jié)論：第（2）項(xiàng)方差為第（1）項(xiàng)方差的1.22倍、1.19倍、1.107倍v這樣結(jié)果出現(xiàn)的原因是否在于開(kāi)盤時(shí)有更多新信息？vRoll（1984）對(duì)橙子期貨價(jià)格的類似研究并不支持這樣的解釋 Copyright Wang Peng， 201012/76 5.2 采 用 歷 史 數(shù) 據(jù) 估 計(jì) 波 動(dòng) 率v假定樣本數(shù)據(jù)為日數(shù)據(jù)v步驟：v（1）計(jì)算樣本期內(nèi)每天的連續(xù)復(fù)利收益率rt；v（2）計(jì)算rt的標(biāo)準(zhǔn)差；v（3）根據(jù)“

6、時(shí)間的平方根”法則對(duì)進(jìn)行調(diào)整。v計(jì)算實(shí)例：HS300.xls 2111 n t ii r rn (6-1) Copyright Wang Peng， 201013/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布vEMH和Black-Scholes模型：v資產(chǎn)價(jià)格為獨(dú)立連續(xù)變化，波動(dòng)率為常數(shù)v這意味著在任意時(shí)間t內(nèi)，收益率均服從正態(tài)分布且標(biāo)準(zhǔn)差為：v現(xiàn)實(shí)是這樣的嗎？t Copyright Wang Peng， 201014/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布 v擇時(shí)交易的小概率困境Real World (%) Normal Model (%)1 SD 25.04

7、31.732 SD 5.27 4.553 SD 1.34 0.274 SD 0.29 0.015 SD 0.08 0.006 SD 0.03 0.00 表6-1 價(jià)格變化大于16個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的天數(shù)占全部觀察日的比例注 ： 表 中 ， SD表 示 價(jià) 格 變 化 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 。資 料 來(lái) 源 ： H ull J, White A. Journal of Derivatives, 1998, 5(3): 9-19. Copyright Wang Peng， 201015/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v資產(chǎn)日收益率并不服從正態(tài)分布，差異主要表現(xiàn)在：v（1）實(shí)際分布的尾部較

8、正態(tài)分布更厚v（2）分布的尖峰較正態(tài)分布更高v意味著什么？v金融市場(chǎng)中，較小的價(jià)格變化和較大的價(jià)格變化出現(xiàn)的概率往往大于正態(tài)分布下的情況！ Copyright Wang Peng， 201016/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布 圖6-3 正態(tài)分布與某一厚尾分布的比較 Copyright Wang Peng， 201017/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v正態(tài)分布的代替：冪律分布（Power law）v對(duì)于變量v，當(dāng)x很大時(shí)：Prob(v x) = Kx-av其中，K 和 a 為常數(shù)。v(6-2)式已被證明適用于許多變量，如個(gè)人收入、城市規(guī)模和

9、網(wǎng)頁(yè)被點(diǎn)擊的次數(shù)等。(6-2) Copyright Wang Peng， 201018/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v由式(6-2)：ln Prob(v x) = ln K a lnxv可以通過(guò)lnProb(v x) lnx的線性關(guān)系來(lái)驗(yàn)證式(6-2)x lnx Prob(vx) lnProb(vx) x lnx Prob(vx) lnProb(vx)1 0.000 0.12520 -2.078 4 1.386 0.00145 -6.536 2 0.693 0.02635 -3.636 5 1.609 0.00040 -7.8243 1.099 0.00670 -5

10、.006 6 1.792 0.00015 -8.805表6-2 由表6-1得出的數(shù)值 Copyright Wang Peng， 201019/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布 圖6-4 基于表6-1的雙對(duì)數(shù)圖 Copyright Wang Peng， 201020/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v圖6-4表明，價(jià)格變化大于x個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率的對(duì)數(shù)與ln x呈線性關(guān)系，這說(shuō)明了冪律的正確性。v利用x3，4，5，6的數(shù)據(jù)，可以得出最優(yōu)擬合曲線為：v即： ln Pr 1.06 5.51lnv x x 1.06 2.88K e 5.51 Copyrigh

11、t Wang Peng， 201021/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v一個(gè)大于4.5倍標(biāo)準(zhǔn)差的變化（可正可負(fù)）出現(xiàn)的概率為：v一個(gè)大于7倍標(biāo)準(zhǔn)差的變化（可正可負(fù)）出現(xiàn)的概率為：5.512 2.88 4.5 0.00146 5.512 2.88 7 0.0000642 Copyright Wang Peng， 201022/76 5.4 監(jiān) 測(cè) 日 波 動(dòng) 率v日波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)與實(shí)際嚴(yán)重不符v可以利用最新價(jià)格不斷更正對(duì)波動(dòng)率的估計(jì)，從而得到每天不同的波動(dòng)率v計(jì)算實(shí)例：HS300.xlsv對(duì)式(6-1)的調(diào)整：v（1）令 ；（2）用n代替n-1v調(diào)整后：0r 2 2

12、11 nt t ii rn (6-3) Copyright Wang Peng， 201023/76 5.4 監(jiān) 測(cè) 日 波 動(dòng) 率v加權(quán)權(quán)重v式(6-3)：不同滯后期發(fā)生的各種事件對(duì)未來(lái)波動(dòng)率都具有相同權(quán)重的影響v缺陷：幽靈效應(yīng)（Ghost effect）v金融市場(chǎng)中，不同時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)對(duì)于未來(lái)波動(dòng)率會(huì)有不同程度的影響，即越是近期的數(shù)據(jù)，對(duì)于未來(lái)波動(dòng)的影響應(yīng)該越大。 Copyright Wang Peng， 201024/76 5.4 監(jiān) 測(cè) 日 波 動(dòng) 率v對(duì)(6-3)的一個(gè)自然改進(jìn)：v其中，權(quán)重系數(shù)ai隨滯后期數(shù)i的增加而減小，且2 21nt i t ii r 1 2 1n (6-4)i

13、 j 當(dāng)i j 時(shí)， Copyright Wang Peng， 201025/76 5.4 監(jiān) 測(cè) 日 波 動(dòng) 率v假定存在某一長(zhǎng)期平均方差VL，則可將式(6-4)寫(xiě)為：v其中，為VL所對(duì)應(yīng)的權(quán)重，且繼續(xù)有：2 21nt L i t iiV r 1 1n ii (6-5) Copyright Wang Peng， 201026/76 5.4 監(jiān) 測(cè) 日 波 動(dòng) 率v式(6-5)：ARCH(n) 模型Engle（1982）vARCH(n)：方差的估計(jì)值與長(zhǎng)期平均方差以及最近n個(gè)觀察值有關(guān)，且觀察數(shù)據(jù)越久遠(yuǎn)，其權(quán)重越小。v令 ，有： LV 2 21nt i t ii r Copyright Wan

14、g Peng， 201027/76 5.5 指 數(shù) 加 權(quán) 移 動(dòng) 平 均 模 型v指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型EWMA：式(6-4)的一個(gè)特殊形式，其中的權(quán)重系數(shù)ai隨滯后時(shí)期延長(zhǎng)而按指數(shù)速度衰減：v其中，為一取值為01的常數(shù)v由此出發(fā)，波動(dòng)率估計(jì)模型可以表示為： 1i i 2 2 2 1 21 1 11 1 n it t t t iir r Copyright Wang Peng， 201028/76 5.5 指 數(shù) 加 權(quán) 移 動(dòng) 平 均 模 型v歷史信息對(duì)于未來(lái)波動(dòng)的影響隨時(shí)間間隔增大而衰減的速度通過(guò)衰減因子（decay factor）反映。v一個(gè)較大的值意味著歷史信息對(duì)于未來(lái)波動(dòng)影響的衰減速

15、度較慢，而一個(gè)較小的值意味著這一衰減速度較快。 vEWMA模型中的波動(dòng)率估計(jì)完全依賴于其中的唯一參數(shù)衰減因子 ，這給該模型的應(yīng)用帶來(lái)了較大便利。v但 究竟取何值合適并沒(méi)有一致的標(biāo)準(zhǔn)，并且保持常數(shù)顯然與市場(chǎng)的時(shí)變波動(dòng)特征相抵觸。 Copyright Wang Peng， 201029/76 5.5 指 數(shù) 加 權(quán) 移 動(dòng) 平 均 模 型vJ.P. Morgan投資銀行開(kāi)發(fā)的RiskMetrics技術(shù)曾建議將取為0.94，但該技術(shù)在金融風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度領(lǐng)域中的糟糕表現(xiàn)，說(shuō)明這一取值并不具備較強(qiáng)的合理性和實(shí)用性。 v另外，EWMA模型還隱含著未來(lái)各期波動(dòng)率的期望值都是當(dāng)前的波動(dòng)率水平，即 ，這顯然忽視了近期

16、數(shù)據(jù)特征對(duì)于波動(dòng)過(guò)程的較強(qiáng)影響。 2 2 1,2,3,t k tE k Copyright Wang Peng， 201030/76 5.6 GARCH類 模 型vGARCH類模型是目前金融研究中居于統(tǒng)治地位的一類波動(dòng)率測(cè)度方法 。v該方法起源于Engle（1982）提出自回歸條件異方差模型（Auto-regressive Conditional Heteroscedastics，ARCH）的開(kāi)創(chuàng)性工作。vEngle的學(xué)生Bollerslev（1986）通過(guò)將ARCH模型拓展，提出了廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）。 Copyright Wang Peng， 201031/76 5.6

17、GARCH類 模 型Robert F. Engle 2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Tim Bollerslev Copyright Wang Peng， 201032/76 5.6 GARCH類 模 型v在GARCH模型中， 是由長(zhǎng)期平均方差VL 、rt-1、 所組成。v研究中最常用的GARCH(1,1)模型表示為：v且：2t 1t 2 2 21 1t L t tV r 1 Copyright Wang Peng， 201033/76 5.6 GARCH類 模 型vEWMA模型是GARCH(1,1)模型對(duì)應(yīng)于0，1 ，的情形。vGARCH(1,1)模型中的(1,1)代表 是由最近的收益率觀察值

18、以及最近的方差估計(jì)所得。vGARCH(p,q): 2t 2 2 21 1p qt L i t i i t ii iV r Copyright Wang Peng， 201034/76 5.6 GARCH類 模 型v令 ，GARCH(1,1):v繼續(xù)有：v且LV 2 2 21 1t t tr 1 LV 1 (6-6) Copyright Wang Peng， 201035/76 5.6 GARCH類 模 型v權(quán)重v將 代入式(6-6)，可得：v繼續(xù)代入 ： 2 2 2 21 2 2 2 2 2 21 2 2 t t t tt t tr rr r 21t 2 2t 2 2 2 2 2 2 3 21

19、 2 3 3t t t t tr r r Copyright Wang Peng， 201036/76 5.6 GARCH類 模 型v繼續(xù)代入，可以看到 的權(quán)重為 ，即權(quán)重以指數(shù)速度下降，參數(shù)可被解釋為衰減率（Decay rate），類似于EWMA模型中的系數(shù)，決定了不同時(shí)期ri的重要性。v0.9： 的重要性只是 的90， 的重要性只是 的81， 與EWMA不同，GARCH(1,1)對(duì)長(zhǎng)期平均方差也施加了權(quán)重。2t ir 1i 22tr 21tr 23tr21tr Copyright Wang Peng， 201037/76 5.6 GARCH類 模 型vGARCH模型較好地刻畫(huà)了收益率波動(dòng)的

20、聚集性，但卻無(wú)法描述波動(dòng)的非對(duì)稱效應(yīng)。v為了解決這一問(wèn)題，有學(xué)者提出了幾種非對(duì)稱GARCH模型，其中最常用的包括Nelson（1990）提出的EGARCH（Expotional GARCH）模型；Glosten et al.（1993）提出的GJR模型；以及Ding et al.（1993）提出的APARCH（Asymmetric power ARCH）模型。 Copyright Wang Peng， 201038/76 5.6 GARCH類 模 型v另外，在研究一些金融時(shí)間序列時(shí)，有學(xué)者還注意到誤差項(xiàng)的自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)典型的雙曲率衰減特征，這引發(fā)了ARCH模型與長(zhǎng)記憶過(guò)程相結(jié)合的研究熱潮。 F

21、IGARCH-BBM FIGARCH-Chuang FIEGARCH FIAPARCH Copyright Wang Peng， 201039/76 5.6 GARCH類 模 型vGARCH類模型本身還是存在若干無(wú)法克服的缺陷v在所有GARCH類模型中，系數(shù)都衡量了金融市場(chǎng)隨機(jī)因素對(duì)未來(lái)波動(dòng)的沖擊程度，而 系數(shù)則衡量了波動(dòng)率的持續(xù)程度。v由于GARCH類模型的平穩(wěn)性要求 ，所以在隨機(jī)因素沖擊程度和波動(dòng)率持續(xù)性程度之間就存在數(shù)值上的平衡（即兩者不能同時(shí)增加，從而導(dǎo)致 情況的出現(xiàn)），從而導(dǎo)致GARCH類過(guò)程很難捕捉到金融市場(chǎng)突然發(fā)生的 大幅波動(dòng)。1 1 Copyright Wang Peng， 2

22、01040/76 5.7 隨 機(jī) 波 動(dòng) 模 型v隨機(jī)波動(dòng)（Stochastic volatility）模型又稱隨機(jī)方差（Stochastic variance）模型，簡(jiǎn)稱SV模型 。v廣義的SV模型可以分為兩種：連續(xù)時(shí)間SV模型和離散時(shí)間SV模型。v目前，在文獻(xiàn)中常用的是Taylor提出的離散時(shí)間SV模型。 Copyright Wang Peng， 201041/76 5.7 隨 機(jī) 波 動(dòng) 模 型v與ARCH模型不同的是，該模型假定條件波動(dòng)率是不可觀測(cè)的（Unobservable），且其服從以下形式的隨機(jī)過(guò)程：v其中，不可觀測(cè)的對(duì)數(shù)波動(dòng)率（log-volatility）ht滿足：v且有 2

23、 *2expt th 1 1t t th h 0,1t NID 2 21 0, 1h NID Copyright Wang Peng， 201042/76 5.7 隨 機(jī) 波 動(dòng) 模 型v在SV模型中，由于條件波動(dòng)率是一個(gè)不可觀測(cè)的變量，很難計(jì)算出其精確的似然函數(shù)，故對(duì)SV 模型的估計(jì)存在著較大困難。 v一直以來(lái)，盡管眾多學(xué)者不斷在嘗試提出各種不同類型的估計(jì)方法，但SV模型始終沒(méi)有像ARCH族模型一樣，成為被金融理論界與實(shí)務(wù)界所普遍使用的波動(dòng)率測(cè)度方法。 Copyright Wang Peng， 201043/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型v實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（Realized volati

24、lity，RV）是基于日內(nèi)收益數(shù)據(jù)平方和的一種波動(dòng)率測(cè)度，這一概念由Andersen and Bollerslev（1998）首次提出。v他們認(rèn)為，使用高頻的交易日內(nèi)收益數(shù)據(jù)可以獲得對(duì)日波動(dòng)率更精確的描述。 Torben G. Andersen Copyright Wang Peng， 201044/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型vAndersen and Bollerslev（1998）同時(shí)也指出，傳統(tǒng)上運(yùn)用日收益率的平方作為日波動(dòng)率的測(cè)度將會(huì)面臨非常嚴(yán)重的測(cè)量誤差和噪聲問(wèn)題，而使用交易日內(nèi)的高頻收益數(shù)據(jù)將大大降低這些誤差和噪聲對(duì)潛在波動(dòng)率過(guò)程的影響，并且隨著高頻收益率頻率的增加，

25、這種測(cè)量的誤差將會(huì)越來(lái)越小。v但是，由于市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)的影響，在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，也并非高頻收益率的頻率越高越好。 Copyright Wang Peng， 201045/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型 Copyright Wang Peng， 201046/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型vTorben G. Andersen是實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度研究的集大成者，他與Bollerslev等學(xué)者對(duì)這一波動(dòng)率測(cè)度方法的一系列理論及實(shí)證分析發(fā)表于Econometrica等頂級(jí)金融計(jì)量雜志上。v這一系列的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列往往具有長(zhǎng)記憶、同方差、非條件正態(tài)等典型特征，而這些特征可

26、以通過(guò)不帶自回歸項(xiàng)的ARFIMA(p,d,0) 模型來(lái)刻畫(huà)，因此，文獻(xiàn)中涉及RV建模時(shí)，一般采用ARFIMA(p,d,0)模型。 Copyright Wang Peng， 201047/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型v盡管RV測(cè)度及其模型具備非常良好的理論性質(zhì)及較強(qiáng)的對(duì)真實(shí)波動(dòng)率的刻畫(huà)能力，但這一方法也不是無(wú)懈可擊的。vAndersen et al.（2006）曾對(duì)RV估計(jì)及建模中所面臨的一些難題進(jìn)行了總結(jié)，其中最為突出就是對(duì)估計(jì)RV時(shí)所采用的高頻數(shù)據(jù)抽樣頻率無(wú)法取得一致標(biāo)準(zhǔn)。 Copyright Wang Peng， 201048/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型vEngl

27、e and Gallo（2006）也指出，由于無(wú)法避免市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，基于高頻數(shù)據(jù)的RV測(cè)度并不像其理論描述的那樣完美。v另外，運(yùn)用ARFIMA(p,d,0)為RV序列建模也會(huì)導(dǎo)致實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率過(guò)程中的跳躍（Jumps）和擴(kuò)散（Diffusive）成分被割裂，因此更為合理的RV動(dòng)力學(xué)模型也有待于進(jìn)一步發(fā)掘。 Copyright Wang Peng， 201049/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型v隱含波動(dòng)率IV是從期權(quán)價(jià)格中反推出的波動(dòng)率vBlack-Scholes期權(quán)定價(jià)公式：v其中： exp tc S k rT X k T 2ln 2tS T rXk T Copyright W

28、ang Peng， 201050/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型vIV模型的基本思想：利用在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中觀察到的期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)和已有的期權(quán)定價(jià)公式，反推出與現(xiàn)實(shí)期權(quán)價(jià)格一致的標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率。v求解方法1： , , , ; BS tc c S r X T 21min , , , ;n mktBS i BS t i iiMSE c c S r X T Copyright Wang Peng， 201051/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型v求解方法2：迭代法v基礎(chǔ)：期權(quán)價(jià)格與波動(dòng)率之間的單調(diào)變化關(guān)系v步驟：v（1）取一個(gè)初始的波動(dòng)率值，計(jì)算一個(gè)理論價(jià)格cBS;v（2）將cBS與期權(quán)市

29、場(chǎng)價(jià)格cmkt比較，若cBS cmkt ，增加，反之減小；v（3）每次迭代都使得所在的區(qū)間減半，不斷重復(fù)第一步和第二步，直至選取的值使得 c BS cmkt 。v基于多分形波動(dòng)率測(cè)度的權(quán)證定價(jià)方法研究 Copyright Wang Peng， 201052/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型vVIX指數(shù)v隱含波動(dòng)率反映了投資者對(duì)于未來(lái)市場(chǎng)波動(dòng)率的預(yù)期v芝加哥期權(quán)交易所發(fā)表隱含期權(quán)指數(shù)v最流行的是VIX指數(shù)，它是對(duì)S&P500指數(shù)隱含波動(dòng)率的一種測(cè)度 Copyright Wang Peng， 201053/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型 圖6-2 VIX指數(shù) Copyright

30、Wang Peng， 201054/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型vIV模型與歷史方差模型、指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型、ARCH類模型的最大不同在于：IV模型來(lái)源于期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)。v由于期權(quán)價(jià)格在很大程度上反映了市場(chǎng)參與者對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格的一種心理預(yù)期，因此基于IV模型其實(shí)是“向前看”（Forward-looking ）的；v由于其余三種模型都是基于歷史數(shù)據(jù)，因此可以被認(rèn)為是“向后看”（Back-looking）的波動(dòng)率測(cè)度方法。 Copyright Wang Peng， 201055/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型v或許正是由于具備“向前看”的特殊性質(zhì)，IV模型在有關(guān)波動(dòng)率預(yù)測(cè)

31、的實(shí)證研究領(lǐng)域有著較為優(yōu)異的表現(xiàn)。 vIV模型的波動(dòng)率測(cè)度精度嚴(yán)重依賴于所使用的期權(quán)定價(jià)公式的正確性，而現(xiàn)有的很多期權(quán)定價(jià)公式本身都具有這樣或那樣的局限。 Copyright Wang Peng， 201056/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型v另外，IV方法也只能運(yùn)用于具有相應(yīng)期權(quán)產(chǎn)品的資產(chǎn)波動(dòng)率度量。v對(duì)于大部分金融資產(chǎn)，由于沒(méi)有相應(yīng)的期權(quán)產(chǎn)品交易，故不能使用IV方法測(cè)度其波動(dòng)率（這一點(diǎn)在我國(guó)金融市場(chǎng)中的表現(xiàn)尤為明顯）。v因此，盡管這一方法具有非常良好的理論出發(fā)點(diǎn)和實(shí)證表現(xiàn)，但并沒(méi)有像GARCH族模型一樣得到廣泛應(yīng)用。 Copyright Wang Peng， 201057/76

32、5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v隨機(jī)抽取某天中10只股票的價(jià)格，發(fā)現(xiàn)其中一只價(jià)格在這一天中下降了，而其它9只股票價(jià)格有所升高或至少?zèng)]有下跌。v問(wèn)：一只股票價(jià)格下降的概率的最好估計(jì)是多少？v自然是0.1 !v0.1是否是極大似然估計(jì)（Maximum Likelihood Estimation）所給出的結(jié)果呢？ Copyright Wang Peng， 201058/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v將股票價(jià)格下降的概率記為p，則10只股票中只有一只股票價(jià)格下跌，而其它股票價(jià)格不跌的概率為p(1-p)9v應(yīng)用極大似然估計(jì)，最好的估計(jì)值就是使得p(1-p)9取得最大值的那個(gè)數(shù)。v將p(1-p

33、) 9對(duì)p求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，得出該數(shù)字為0.1 Copyright Wang Peng， 201059/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v極大似然估計(jì)的基本思想:v在一次抽樣中，若得觀測(cè)值 ，則選取 作為的估計(jì)值。使得當(dāng)： 時(shí)，樣本出現(xiàn)的概率最大。1 2, , Tx x x, 1 2 , , Tx x x , 1 2 , , Tx x x , Copyright Wang Peng， 201060/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v估計(jì)常數(shù)方差v假定某隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，并且期望值為0，目前已取得該變量的T個(gè)觀察值，要求：運(yùn)用MLE估計(jì)X的方差v假定觀察值為 ，并記方差為v，

34、則觀察值Xut的概率等于X的概率密度函數(shù)在ut處的取值，即： 1 2, , , Tu u u 21 exp 22 tuvv Copyright Wang Peng， 201061/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)vT個(gè)觀察值恰好為 的概率為：v應(yīng)用MLE，使得式(6-7)達(dá)到最大值的v即為最優(yōu)估計(jì)值。21 1 exp 22T tt uvv (6-7)1 2, , , Tu u u Copyright Wang Peng， 201062/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v具體求解：對(duì)式(6-7)求對(duì)數(shù)，并忽略常數(shù)項(xiàng)，得：v或：v將以上表達(dá)式對(duì)v求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，可得v的MLE

35、估計(jì)值： 21 lnT tt uv v 21ln T tt uT v v 2 11 T tt uT Copyright Wang Peng， 201063/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v估計(jì)GARCH(1,1)或EWMA中的參數(shù)v令 為第t天方差的估計(jì)，我們需要得出最佳參數(shù)使得以下表達(dá)式最大化：2t tv 21 1 exp 22T tt tt uvv Copyright Wang Peng， 201064/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v對(duì)上式求對(duì)數(shù)，可以得出求解最大化的等價(jià)公式：v求解方法：迭代法 21 lnT ttt tuv v Copyright Wang Peng，

36、201065/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì) 注：表中所標(biāo)i應(yīng)為t。 表6-3 估計(jì)GARCH(1,1)模型中的參數(shù)0.00000176 0.0626 0.8991 ， ，解得： Copyright Wang Peng， 201066/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v長(zhǎng)期平均方差VL為：v長(zhǎng)期波動(dòng)率為 ，即每天0.6650.00000176 0.000044221 1 0.0626 0.8991 0.00004422 Copyright Wang Peng， 201067/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì) 圖6-5 日元/美元匯率19881997年的日波動(dòng)率 Copyri

37、ght Wang Peng， 201068/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v另一種估計(jì)方法：方差目標(biāo)法（Variance targeting）v將長(zhǎng)期平均方差VL設(shè)定為由數(shù)據(jù)計(jì)算出的抽樣方差，則只需估計(jì)剩余的另個(gè)參數(shù)vEWMA模型的估計(jì)v由于 ，因此只需估計(jì)一個(gè)參數(shù)0 1 ， ， Copyright Wang Peng， 201069/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v模型表現(xiàn)如何v檢驗(yàn)原理：GARCH模型假定波動(dòng)率的變化與時(shí)間有關(guān)，在某一段時(shí)間波動(dòng)率較高，而在其它階段波動(dòng)率較低v首先計(jì)算 的自相關(guān)系數(shù)v假定 確實(shí)具有自相關(guān)性，如果GARCH模型有效，自相關(guān)性就會(huì)被剔除，即 不再

38、具有自相關(guān)性，從而可以認(rèn)為：有關(guān)的 模型確實(shí)解釋了 中的自相關(guān)性。 2tu2tu 2 2t tu 2tut Copyright Wang Peng， 201070/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)表6-4 采用GARCH(1,1)模型前后的自相關(guān)系數(shù) Copyright Wang Peng， 201071/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v更為科學(xué)的檢驗(yàn)：Ljung-Box方法（Ljung and Box，1978）v某序列中有n個(gè)觀察值，Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量定義為：v其中， 是時(shí)滯為k的自相關(guān)系數(shù)，K為所考慮的最大時(shí)滯.vQ統(tǒng)計(jì)量服從自由度為K的卡方分布，即 2(m)21

39、( 2) K kkQ n n n k k Copyright Wang Peng， 201072/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v對(duì)于K15，當(dāng)Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量值大于25時(shí)，我們可以有95的把握拒絕自相關(guān)系數(shù)為0這一假設(shè)。v表9-4中， 序列的Ljung-Box的統(tǒng)計(jì)量值為123，說(shuō)明自相關(guān)性確實(shí)顯著存在。v對(duì)于 序列，Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量值為8.62，這說(shuō)明GARCH模型確實(shí)剔除了數(shù)據(jù)中的自相關(guān)性。v如何選取K？2tu 2 2t tu Copyright Wang Peng， 201073/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測(cè) 波 動(dòng) 率v由GARC

40、H(1,1)模型： 2 2 21 12 2 21 1 2 2 21 12 2 12 22 21n L n nn L n L n Ln t L n t L n t Ln t L n t Ltn t L n Ltn t L n LV uV u V VV u V VE V E VE V VE V V (6-8) Copyright Wang Peng， 201074/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測(cè) 波 動(dòng) 率v式(6-8)表明，我們可以運(yùn)用第n-1天結(jié)束時(shí)的所有信息來(lái)預(yù)測(cè)第n+t天的波動(dòng)率。vEWMA中 ，所以將來(lái)方差的期望值與當(dāng)前方差 相等。v當(dāng) 時(shí)，式(9-6)中的最

41、后一項(xiàng)隨時(shí)間增加而逐漸減小：方差的均值回歸性質(zhì)，回歸水平為V L，回歸速度為1 2n1 1 Copyright Wang Peng， 201075/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測(cè) 波 動(dòng) 率 圖6-6 方差的預(yù)期路徑：(a)當(dāng)前方差高于長(zhǎng)期方差；(b)當(dāng)前方差低于長(zhǎng)期方差 Copyright Wang Peng， 201076/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測(cè) 波 動(dòng) 率v當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)于長(zhǎng)期平均方差的權(quán)重為負(fù)，這時(shí)方差不再具有均值回歸性質(zhì)，而呈現(xiàn)均值逃離（Mean fleeting）性態(tài)。v表(6-3)中， ，假定當(dāng)前方差為0.00006（日波動(dòng)率0.77），則10天后方差期望值為：v仍高于長(zhǎng)期波動(dòng)率（0.665），但100天后的預(yù)期方差為0.00004451，即預(yù)期波動(dòng)率0.677，和長(zhǎng)期波動(dòng)率已非常接近。1 0.9617 0.00004422 LV ， 100.00004422 0.9617 0.00006 0.00004422 0.00005476 王 鵬 博士西南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院