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,高中數(shù)學(xué)必修2湘教版,,,第3章 三角函數(shù) 3.1 弧度制與任意角 3.1.1 角的概念的推廣,[學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．掌握正角、負(fù)角和零角的概念，理解任意角的意義． 2. 熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角．,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),[知識鏈接] 1．手表慢了5分鐘，如何校準(zhǔn)？手表快了1.5小時，又如何校準(zhǔn)？ 答 可將分針順時針方向旋轉(zhuǎn)30；可將時針逆時針方向旋轉(zhuǎn)45.,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),2．在初中角是如何定義的？ 答 定義1：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的幾何圖形叫做角． 定義2：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角． 3．初中所學(xué)角的范圍是什么？ 答 角的范圍是[0，360]．,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),[預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．角的概念 (1)角的定義：角可以看成平面內(nèi) 繞著端點(diǎn)從一個位 置 到另一個位置所成的圖形． (2)角的表示方法：①常用大寫字母 等表示； ②也可以用希臘字母 ， ， 等表示； ③特別是當(dāng)角作為變量時，常用字母 表示．,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),一條射線,旋轉(zhuǎn),A，B，C,α,β,γ,x,(3)角的分類： 一條射線繞著端點(diǎn)以 的旋轉(zhuǎn)為正向，所成的角稱 為 ，用 來表示； 旋轉(zhuǎn)所成的角稱 為 ，用負(fù)的角度來表示；不旋轉(zhuǎn)所成的角稱為 ， 用 表示．,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),逆時針方向,正角,正的角度,順時針方向,負(fù)角,零角,0,2．象限角 角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重 合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說這個角 是 ．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角 不屬于任何一個象限． 3．終邊相同的角 設(shè)α＝∠AOB，則所有以O(shè)A為始邊，OB為終邊的角都是α 與 的和，組成集合S＝{β|β＝α＋k360， k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α 與 的和.,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué),第幾象限角,整數(shù)個周角,整數(shù)個周角,課堂講義,要點(diǎn)一 任意角概念的辨析 例1 在下列說法中： ①0～90的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③鈍角都是第二象限角； ④小于90的角都是銳角． 其中錯誤說法的序號為________ 答案 ①②④,課堂講義,解析 ①0～90的角α是指[0≤α＜90)，0角不屬于任何象限，所以①不正確． ②120是第二象限角，390是第一象限角，顯然390120，所以②不正確． ③鈍角α的范圍是90＜α＜180，顯然是第二象限角，所以③正確． ④銳角α的范圍是0＜α＜90，小于90的角也可以是零角或負(fù)角，所以④不正確．,課堂講義,規(guī)律方法 判斷說法錯誤，只需舉一個反例即可．解決本題關(guān)鍵在于正確理解各種角的定義．隨著角的概念的推廣，對角的認(rèn)識不能再停留在初中階段，否則判斷容易錯誤．,課堂講義,跟蹤演練1 A＝{小于90的角}，B＝{第一象限角}，則A∩B＝ ( ) A．{銳角} B．{小于90的角} C．{第一象限角} D．以上都不對 答案 D 解析 小于90的角由銳角、零角、負(fù)角組成，而第一象限的角包含有銳角及其他終邊在第一象限的角，所以A∩B是由銳角和終邊在第一象限的負(fù)角組成的集合，故選D.,課堂講義,要點(diǎn)二 象限角的判定 例2 在0～360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角． (1)－150；(2)650；(3)－95015′. 解 (1)因?yàn)椋?50＝－360＋210，所以在0～360范圍內(nèi)，與－150角終邊相同的角是210角，它是第三象限角．,課堂講義,(2)因?yàn)?50＝360＋290，所以在0～360范圍內(nèi)，與650角終邊相同的角是290角，它是第四象限角． (3)因?yàn)椋?5015′＝－3360＋12945′，所以在0～360范圍內(nèi)，與－95015′角終邊相同的角是12945′角，它是第二象限角． 規(guī)律方法 本題要求在0～360范圍內(nèi)，找出與已知角終邊相同的角，并判斷其為第幾象限角，這是為以后證明恒等式、化簡及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值打基礎(chǔ)．,課堂講義,跟蹤演練2 給出下列四個命題：①－75角是第四象限角；②225角是第三象限角；③475角是第二象限角；④－315是第一象限角，其中真命題有 ( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案 D,課堂講義,解析 對于①：如圖1所示，－75角是第四象限角； 對于②：如圖2所示，225角是第三象限角； 對于③：如圖3所示，475角是第二象限角； 對于④：如圖4所示，－315角是第一象限角．,課堂講義,要點(diǎn)三 終邊相同的角的應(yīng)用 例3 在與角10 030終邊相同的角中，求滿足下列條件的角． (1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)360～720的角． 解 (1)與10 030終邊相同的角的一般形式為β＝k360＋10 030(k∈Z)，由－360k360＋10 0300，得－10 390k360－10 030，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50.,課堂講義,(2)由0k360＋10 030360，得－10 030k360－9 670，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310. (3)由360≤k360＋10 030720，得－9 670≤k360－9 310，解得k＝－26，故所求的角為β＝670. 規(guī)律方法 求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．,課堂講義,跟蹤演練3 寫出與α＝－1 910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720≤β360的元素β寫出來．,課堂講義,k＝4時，β＝4360－1 910＝－470； k＝5時，β＝5360－1 910＝－110； k＝6時，β＝6360－1 910＝250.,課堂講義,要點(diǎn)四 區(qū)域角的表示 例4 寫出終邊落在陰影部分的角的集合． 解 設(shè)終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成． ①{α|k360＋30≤αk360＋105，k∈Z}．,課堂講義,②{α|k360＋210≤αk360＋285，k∈Z}． ∴角α的集合應(yīng)當(dāng)是集合①與②的并集： {α|k360＋30≤αk360＋105，k∈Z} ∪{α|k360＋210≤αk360＋285，k∈Z} ＝{α|2k180＋30≤α2k180＋105，k∈Z} ∪{α|(2k＋1)180＋30≤α(2k＋1)180＋105，k∈Z} ＝{α|2k180＋30≤α2k180＋105，或(2k＋1)180＋30≤α(2k＋1)180＋105，k∈Z} ＝{α|n180＋30≤αn180＋105，n∈Z}．,課堂講義,規(guī)律方法 解答此類題目應(yīng)先在0～360上寫出角的集合，再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集合，如果集合能化簡的還要化成最簡．本題還要注意實(shí)線邊界與虛線邊界的差異．,課堂講義,跟蹤演練4 如圖，若角α的終邊落在函數(shù)y＝x(x≥0)與y＝－x(x≤0)的圖象所夾的區(qū)域(即圖中陰影部分，不包括邊界)內(nèi)，求角α的集合．,課堂講義,解 終邊落在函數(shù)y＝x(x≥0)的圖象上的角的集合是{α|α＝45＋k360，k∈Z}， 終邊落在函數(shù)y＝－x(x≤0)的圖象上的角的集合是{α|α＝135＋k360，k∈Z}． 所以所求角的集合是{α|45＋k360α135＋k360，k∈Z}.,當(dāng)堂檢測,1．－361的終邊落在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 D,當(dāng)堂檢測,2．集合A＝{α|α＝k90－36，k∈Z}，B＝{β|－180＜β＜180}，則A∩B等于 ( ) A．{－36，54} B．{－126，144} C．{－126，－36，54，144} D．{－126，54} 答案 C 解析 令－180＜k90－36＜180，則－144＜k90＜216，當(dāng)k＝－1,0,1,2時，不等式均成立，所對應(yīng)的角分別為－126，－36，54，144，故選C.,當(dāng)堂檢測,3．若角α滿足180α360，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________. 答案 270 解析 由于5α與α的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應(yīng)是360的整數(shù)倍，即5α－α＝4α＝k360. 又180α360，令k＝3，得α＝270.,當(dāng)堂檢測,4．寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S. 解 終邊落在x軸上的角的集合： S1＝{β|β＝k180，k∈Z}； 終邊落在y軸上的角的集合： S2＝{β|β＝k180＋90，k∈Z}； ∴終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k180，k∈Z}∪{β|β＝k180＋90，k∈Z}＝{β|β＝2k90，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)90，k∈Z}＝{β|β＝n90，n∈Z}．,1．對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運(yùn)動”的觀點(diǎn)下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對值大小”．,當(dāng)堂檢測,2．關(guān)于終邊相同角的認(rèn)識 一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和． 注意：(1)α為任意角． (2)k360與α之間是“＋”號，k360－α可理解為k360＋(－α)． (3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360的整數(shù)倍． (4)k∈Z這一條件不能少.,當(dāng)堂檢測,