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1、 變 速 直 線 運(yùn) 動 中 位 置 函 數(shù) 與 速 度 函 數(shù) 的 聯(lián) 系變 速 直 線 運(yùn) 動 中 路 程 為 21 )(TT dttv另 一 方 面 這 段 路 程 可 表 示 為 )()( 12 TsTs 一 、 問 題 的 提 出 ).()()( 1221 TsTsdttvTT ).()( tvts 其 中 xa dxxf )( 考 察 定 積 分 xa dttf )(記 .)()( xa dttfx 積 分 上 限 函 數(shù)二 、 積 分 上 限 函 數(shù) 及 其 導(dǎo) 數(shù) a b xyo定 理 如 果 )(xf 在 , ba 上 連 續(xù) ， 則 積 分 上 限 的 函數(shù) dttfx x

2、a )()( 在 , ba 上 具 有 導(dǎo) 數(shù) ， 且 它 的 導(dǎo)數(shù) 是 )()()( xfdttfdxdx xa )( bxa 積 分 上 限 函 數(shù) 的 性 質(zhì) xx 證 dttfxx xxa )()( )()( xxx dttfdttf xaxxa )()( )(x x dttfdttfdttf xaxxxxa )()()( ,)( xxx dttf由 積 分 中 值 定 理 得xf )( , xxx xx ,0 ),(fx )(limlim 00 fx xx ).()( xfx a b xyo xx )(x x 說 明 :1) 定 理 1 證 明 了 連 續(xù) 函 數(shù) 的 原 函 數(shù) 是

3、 存 在 的 .2) 變 限 積 分 求 導(dǎo) : bx ttfx d)(dd )(xf )( d)(dd xa ttfx )()( xxf 通 過 原 函 數(shù) 計 算 定 積 分 開 辟 了 道 路 . )( )( d)(dd xx ttfx )()()()( xxfxxf )()( d)(d)(dd xaa x ttfttfx 例 如 tan tan ,xad tdt xdx .22 xdttdxd ax xa dttdxd 2sin xx 21sin 2 xx dttdxd 2 2cos 4cos 2x x 2cos x 例 1 求 .lim 21cos0 2x dtex tx 解 ： 原

4、 式 = 21cos 0 2lim txx e dtx xex xx 2sinlim 2cos0 .21e00分 析 ： 這 是 型 不 定 式 ， 應(yīng) 用 洛 必 達(dá) 法 則 . 例 2 求 20 30 sinlim .xx t dtx 解 ： 原 式 = 200 3sinlim xx t dtx 220 sinlim 3x xx13 例 3 求 20 50 coslim .xx x t dtx 解 ： 原 式 = 240 1 coslim 5x xx 4 40 2lim 5x xx 1 .10 練 一 練 20 40 0 20 arctan1.lim ln 12.lim xx x x td

5、tx t dtx 12 12 定 理 2（ 原 函 數(shù) 存 在 定 理 ） 如 果 )(xf 在 , ba 上 連 續(xù) ， 則 積 分 上 限 的 函 數(shù) dttfx xa )()( 就 是 )(xf 在 , ba 上 的 一 個原 函 數(shù) .定 理 的 重 要 意 義 ：（ 1） 肯 定 了 連 續(xù) 函 數(shù) 的 原 函 數(shù) 是 存 在 的 .（ 2） 初 步 揭 示 了 積 分 學(xué) 中 的 定 積 分 與 原 函 數(shù) 之間 的 聯(lián) 系 . 定 理 3（ 微 積 分 基 本 公 式 ）如 果 )(xF 是 連 續(xù) 函 數(shù) )(xf 在 區(qū) 間 , ba 上 的 一 個 原 函 數(shù) ， 則 )(

6、)()( aFbFdxxfba . 又 dttfx xa )()( 也 是 )(xf 的 一 個 原 函 數(shù) , 已 知 )(xF 是 )(xf 的 一 個 原 函 數(shù) ，CxxF )()( , bax 證三 、 牛 頓 萊 布 尼 茨 公 式 令 ax ,)()( CaaF 0)()( dttfa aa ,)( CaF ),()()( aFxFdttfxa ,)()( CdttfxF xa 令 bx ).()()( aFbFdxxfba 牛 頓 萊 布 尼 茨 公 式 )()()( aFbFdxxfba 微 積 分 基 本 公 式 表 明 ： baxF )( 一 個 連 續(xù) 函 數(shù) 在 區(qū)

7、間 , ba 上 的 定 積 分 等 于它 的 任 意 一 個 原 函 數(shù) 在 區(qū) 間 , ba 上 的 增 量 .注 意 當(dāng) ba 時 ， )()()( aFbFdxxfba 仍 成 立 . 求 定 積 分 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 求 原 函 數(shù) 的 問 題 . 例 4 求 .)1sincos2(20 dxxx原 式 20cossin2 xxx .23 解 （ 一 ） 、 直 接 積 分 法 21 22 12 dxxx213 123 xxx 1211221831 .654例 5 求 221 1 x dxx原 式解 例 6 設(shè) , 求 . 215 102)( xxxxf 20 )( dxxf解 1

8、0 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf 10 2152 dxxdx原 式 .6 xyo 1 2 例 7 求 解 .112 dxx 當(dāng) 0 x 時 ， x1的 一 個 原 函 數(shù) 是 |ln x ,dxx12 1 12|ln x .2ln2ln1ln 解 面 積 xyo 0 sinxdxA 0cosx .2 練 一 練 21 2020 240 2212 0 1. d1 cos22. dcos sin3. tan d14. d1 5. 1dxx x xx x xx xe x ex x 3.微 積 分 基 本 公 式1.積 分 上 限 函 數(shù) xa dttfx )()(2.積 分 上

9、限 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) )()( xfx )()()( aFbFdxxfba 四 、 小 結(jié)牛 頓 萊 布 尼 茨 公 式 溝 通 了 微 分 學(xué) 與 積 分 學(xué)之 間 的 關(guān) 系 思 考 題 思 考 題 解 答dttfxa )( 與 duufbx )( 都 是 x的 函 數(shù))()( xfdttfdxd xa )()( xfduufdxd bx 一 、 填 空 題 ：1、 ba x dxedxd 22 =_ . 2、 xa dxxfdxd )( _ .3、 2 23 )1ln(x dtttdxd _ . 4、 20 )( dxxf _， 其 中 21,2 10,)( 2 xx xxxf . 練 習(xí) 題 練 習(xí) 題 答 案