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最新考綱 1.了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn) 實世界和解決實際問題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾 何圖形、標準方程及簡單幾何性質.,第7講 拋物線,1．拋物線的定義 (1)平面內與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離_____的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的_____． (2)其數(shù)學表達式：|MF|＝d(其中d為點M到準線的距離)．,知 識 梳 理,相等,準線,2．拋物線的標準方程與幾何性質,,1．判斷正誤(在括號內打“√”或“”) 精彩PPT展示 (1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線． ( ) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形． ( ) (4)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a＞0)的通徑長為2a. ( ),診 斷 自 測,,√,,,A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 答案 A,答案 A,4．(2014遼寧卷)已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為 ( ) 解析 ∵A(－2，3)在拋物線y2＝2px的準線上，,答案 D,5．動圓過點(1，0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為__________． 解析 設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x. 答案 y2＝4x,考點一 拋物線的定義及應用 【例1】 (1)F是拋物線y2＝2x的焦點，A，B是拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝6，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________． (2)已知點P是拋物線y2＝4x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A的坐標是(4，a)，則當|a|＞4時，|PA|＋|PM|的最小值是________．,,,規(guī)律方法 與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑．,【訓練1】 已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為 ( ),答案 A,考點二 拋物線的標準方程和幾何性質 (2)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為________．,,,規(guī)律方法 (1)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程．(2)在解決與拋物線的性質有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此．,【訓練2】 (1)已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為 ( ),,考點三 拋物線焦點弦的性質 【例3】 設拋物線y2＝2px(p0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過原點O.,,規(guī)律方法 本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力．在涉及解析思想較多的證法中，關鍵是得到y(tǒng)AyB＝－p2這個重要結論．還有些證法充分利用了平面幾何知識，這也提醒廣大師生對圓錐曲線幾何性質的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何題目．,,,,考點四 直線與拋物線的位置關系 (1)求C的方程； (2)過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程．,所以C的方程為y2＝4x. (2)依題意知l與坐標軸不垂直，故可設l的方程為x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x得y2－4my－4＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故AB的中點為D(2m2＋1，2m)，,,化簡得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1. 所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 規(guī)律方法 (1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系； (2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式． (3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法． 提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解．,【訓練4】 已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1，0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程；,,,[思想方法] 1．拋物線定義的實質可歸結為“一動三定”：一個動點M，一個定點F(拋物線的焦點)，一條定直線l(拋物線的準線)，一個定值1(拋物線的離心率)． 2．拋物線的定義中指明了拋物線上點到焦點的距離與到準線距離的等價性，故二者可相互轉化，這一轉化在解題中有著重要作用． 3．拋物線的焦點弦：設過拋物線y2＝2px(p0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：,,[易錯防范] 1．認真區(qū)分四種形式的標準方程 (1)區(qū)分y＝ax2(a≠0)與y2＝2px(p＞0)，前者不是拋物線的標準方程． (2)求標準方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標準方程有時可設為y2＝mx或x2＝my(m≠0)． 2．直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件；由于拋物線及雙曲線問題的特殊性，有時借助數(shù)形結合可能會更直觀、更方便，當直線與拋物線的對稱軸平行或與雙曲線的漸近線平行時，都只有一個交點，但此時并非相切.,