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1、1.6 三 角 函 數(shù) 模 型 的 簡 單 應 用 1.知 識 目 標 ： 通 過 對 三 角 函 數(shù) 模 型 的 簡 單 應 用 的 學 習 ， 初步 學 會 由 圖 象 求 解 析 式 的 方 法 ； 體 驗 實 際 問 題 抽 象 為 三 角函 數(shù) 模 型 問 題 的 過 程 ； 體 會 三 角 函 數(shù) 是 描 述 周 期 變 化 現(xiàn) 象的 重 要 函 數(shù) 模 型 2.能 力 目 標 ： 讓 學 生 體 驗 一 些 具 有 周 期 性 變 化 規(guī) 律 的 實 際問 題 的 數(shù) 學 “ 建 模 ” 思 想 ,從 而 培 養(yǎng) 學 生 建 模 、 分 析 問 題 、數(shù) 形 結(jié) 合 、 抽 象

2、概 括 等 能 力 3.情 感 目 標 ： 讓 學 生 切 身 感 受 數(shù) 學 建 模 的 過 程 ， 體 驗 數(shù) 學在 解 決 實 際 問 題 中 的 價 值 和 作 用 ， 從 而 激 發(fā) 學 生 的 學 習 興趣 ， 培 養(yǎng) 鍥 而 不 舍 的 鉆 研 精 神 ； 培 養(yǎng) 學 生 勇 于 探 索 、 勤 于思 考 的 精 神 . 在 我 們 現(xiàn) 實 生 活 中 有 很 多 現(xiàn) 象 在 進 行 周 而 復 始 地 變化 ， 用 數(shù) 學 語 言 可 以 說 這 些 現(xiàn) 象 具 有 周 期 性 ， 而 我 們 所學 的 三 角 函 數(shù) 就 是 刻 畫 周 期 變 化 的 典 型 函 數(shù) 模 型

3、 ， 比 如下 列 現(xiàn) 象 就 可 以 用 正 弦 型 函 數(shù) 模 型 來 研 究 ， 這 節(jié) 課 我 們就 來 探 討 三 角 函 數(shù) 模 型 的 簡 單 應 用 . )0,0( )sin( A xAy 正 弦 型 函 數(shù) 1、 物 理 情 景 簡 諧 運 動 星 體 的 環(huán) 繞 運 動2、 地 理 情 景 氣 溫 變 化 規(guī) 律 月 圓 與 月 缺3、 心 理 、 生 理 現(xiàn) 象 情 緒 的 波 動 智 力 變 化 狀 況 體 力 變 化 狀 況4、 日 常 生 活 現(xiàn) 象 漲 潮 與 退 潮 股 票 變 化 根 據(jù) 圖 象 建 立 三 角 函 數(shù) 關 系 ：例 1 如 圖 ， 某 地 一

4、 天 從 6 14時的 溫 度 變 化 曲 線 近 似 滿 足 函 數(shù) :sin( ) y A x b T/102030o t/h6 10 14 思 考 1： 這 一 天 6 14時 的 最 大 溫 差 是 多 少 ？思 考 2： 函 數(shù) 式 中 A、 b的 值 分 別 是 多 少 ？30 -10 =20A=10,b=20.思 考 3： 如 何 確 定 函 數(shù) 式 中 和 的 值 ? 1 2 14 6 ,2 .8 6, 10 .x y 3將 代 入 上 式 ， 解 得 4 思 考 4： 這 段 曲 線 對 應 的 函 數(shù) 是 什 么 ？思 考 5： 這 一 天 12時 的 溫 度 大 概 是

5、多 少 （ ） ？ 27.07 . 310sin( ) 20, 6,148 4y x x 綜 上 ， 所 求 解 析 式 為 一 般 的 ， 所 求 出 的 函 數(shù) 模 型 只 能 近 似 刻 畫 這 天 某 個 時 刻的 溫 度 變 化 情 況 ， 因 此 應 當 特 別 注 意 自 變 量 的 變 化 范 圍 . 方 法 小 結(jié) ： max min1 ,2 A f x f x max min12 b f x f x2T 利 用 求 得， , 利 用 最 低 點 或 最 高 點 在 圖 象 上 該 點 的 坐 標滿 足 函 數(shù) 解 析 式 可 求 得 ,注 意 通 常 練 習 1： 函 數(shù)的

6、 最 小 值 是 2， 其 圖 象 相 鄰 的 最 高 點 與 最 低 點 橫 坐 標 差是 3， 且 圖 象 過 點 (0,1)， 求 函 數(shù) 解 析 式 .sin( ),( 0, 0,| | )2y A x A 12sin( )3 6y x A 根 據(jù) 解 析 式 模 型 建 立 圖 象 模 型例 2 畫 出 函 數(shù) y |sinx|的 圖 象 并 觀 察 其 周 期 .y |sinx| xy - 2-2 解 ： 函 數(shù) 圖 象 如 圖 所 示從 圖 中 可 以 看 出 ， 函 數(shù) 是 以 為 周 期 的 波 浪 形曲 線 . xy sin由 于 ,sinsin)sin( xxx 所 以

7、， 函 數(shù) 是 以 為 周 期 的 函 數(shù) .xy sin我 們 也 可 以 這 樣 進 行 驗 證 ： 利 用 函 數(shù) 圖 象 的 直 觀 性 ,通 過 觀 察 圖 象 而 獲 得 對 函 數(shù)性 質(zhì) 的 認 識 ,這 是 研 究 數(shù) 學 問 題 的 常 用 方 法 . 作 業(yè)課 本 P65 A組1.（ 1） （ 2） （ 3）2.（ 1） （ 2） （ 4） 例 3 如 圖 ， 設 地 球 表 面 某 地 正 午 太 陽 高 度 角 為 ， 為 此 時太 陽 直 射 緯 度 ， 為 該 地 的 緯 度 值 ， 那 么 這 三 個 量 之 間 的關 系 是 90 | |.當 地 夏 半 年 取

8、 正 值 ， 冬 半 年 取 負 值 . 太 陽 光課 堂 探 究 3將 實 際 問 題 抽 象 為 與 三 角 函 數(shù) 有 關 的 函 數(shù) 模 型 如 圖 ， 設 地 球 表 面 某 地緯 度 值 為 ， 正 午 太 陽高 度 角 為 ， 此 時 太 陽直 射 緯 度 為 ， 那 么這 三 個 量 之 間 的 關 系是 。 當 地夏 半 年 取 正 值 ， 冬 半年 取 負 值 。90 | | o 太 陽 光 90 | | 地 心 北 半 球南 半 球太 陽 高 度 角 的 定 義 太 陽 光 90 o90 | | o 90 | | o地 心 太 陽 光 直 射 南 半 球 分 析 ： 根

9、據(jù) 地 理 知 識 ， 能 夠 被 太 陽 直 射 到 的 地 區(qū) 為 南 ， 北 回 歸 線 之 間 的 地 帶 .畫 出 圖 形 如 下 ， 由 畫 圖 易 知A B CH 如 果 在 北 京 地 區(qū) （ 緯 度 數(shù) 約 為 北 緯 40） 的 一 幢 高 為 H的 樓 房 北 面 蓋 一 新 樓 ， 要 使 新 樓 一 層 正 午 的 太 陽 全 年 不 被前 面 的 樓 房 遮 擋 ， 兩 樓 的 距 離 應 不 小 于 多 少 ？ 解 ： 如 圖 ， A、 B、 C分 別 為 太 陽 直 射 北 回 歸 線 、 赤 道 、 南 回歸 線 時 ， 樓 頂 在 地 面 上 的 投 影 點

10、 ， 要 使 新 樓 一 層 正 午 的 太陽 全 年 不 被 前 面 的 樓 房 遮 擋 ， 應 取 太 陽 直 射 南 回 歸 線 的 情況 考 慮 ， 此 時 的 太 陽 直 射 緯 度 為 -2326， 依 題 意 兩 樓 的 間距 應 不 小 于 MC.根 據(jù) 太 陽 高 度 角 的 定 義 ， 有 C=90-|40-(-2326)|=2634所 以 ， 2.000tan tan 26 34H HMC HC 即 在 蓋 樓 時 ， 為 使 后 樓 不 被 前 樓 遮 擋 ， 要 留 出 相 當 于樓 高 兩 倍 的 間 距 . 將 實 際 問 題 抽 象 為 三 角 函 數(shù) 模 型

11、的 一 般 步 聚 :理 解 題 意 建 立 三 角函 數(shù) 模 型 求 解 還 原 解 答 例 4 海 水 受 日 月 的 引 力 ， 在 一 定 的 時 候 發(fā) 生 漲 落 的 現(xiàn) 象 叫潮 汐 ， 一 般 地 ， 早 潮 叫 潮 ， 晚 潮 叫 汐 .在 通 常 情 況 下 ， 船 在漲 潮 時 駛 進 航 道 ， 靠 近 船 塢 ； 卸 貨 后 ， 在 落 潮 時 返 回 海 洋 ，下 面 是 某 港 口 在 某 季 節(jié) 每 天 的 時 間 與 水 深 的 關 系 表 ：時 刻 水 深 （ 米 ） 時 刻 水 深 （ 米 ） 時 刻 水 深 （ 米 ）0:00 5.0 9:00 2.5

12、18:00 5.03:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 （ 1） 選 用 一 個 函 數(shù) 來 近 似 描 述 這 個 港 口 的 水 深 與 時 間 的 函數(shù) 關 系 ， 并 給 出 整 點 時 的 水 深 的 近 似 數(shù) 值 .（ 精 確 到 0.001）（ 2） 一 條 貨 船 的 吃 水 深 度 （ 船 底 與 水 面 的 距 離 ） 為 4米 ， 安全 條 例 規(guī) 定 至 少 要 有 1.5米 的 安 全 間 隙 （ 船 底 與 洋 底 的 距離 ） ， 該 船 何 時 能 進 入 港 口 ？ 在 港 口 能

13、 呆 多 久 ？（ 3） 若 某 船 的 吃 水 深 度 為 4米 ， 安 全 間 隙 為 1.5米 ， 該 船 在2:00開 始 卸 貨 ， 吃 水 深 度 以 每 小 時 0.3米 的 速 度 減 少 ， 那 么該 船 在 什 么 時 間 必 須 停 止 卸 貨 ， 將 船 駛 向 較 深 的 水 域 ？ 根 據(jù) 圖 象 ， 可 以 考 慮 用 函 數(shù)來 刻 畫 水 深 與 時 間 之 間 的 對 應 關 系 .從 數(shù) 據(jù) 和 圖 象 可 以 得 出 ：sin( )y A x h 解 ： （ 1） 以 時 間 為 橫 坐 標 ， 水 深 為 縱 坐 標 ， 在 直 角 坐 標系 中 畫 出

14、 散 點 圖 . A=2.5,h=5,T=12, =0;2 12T 由 ， 得.6 所 以 ， 這 個 港 口 的 水 深 與 時 間 的 關 系 可 以 近 似 描 述 為 ：2.5 sin 56y x 由 上 述 關 系 式 易 得 港 口 在 整 點 時 水 深 的 近 似 值 ：時刻 0.00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754時 刻 12.00 13:00 14

15、:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 （ 2） 貨 船 需 要 的 安 全 水 深 為 4+1.5=5.5 （ 米 ） ， 所 以當 y 5.5時 就 可 以 進 港 .令化 簡 得 2.5sin 5 5.56 x sin 0.26 x 由 計 算 器 計 算 可 得 0.2014, 0.20146 6x x 或 x3 6 9 12 15 18 21 24Oy246 A

16、B C D 解 得 0.3848, 5.6152A Bx x 因 為 ， 所 以 由 函 數(shù) 周 期 性 易 得0,24x 12 0.3848 12.3848,12 5.6152 17.6152.CDxx 因 此 ， 貨 船 可 以 在 凌 晨 零 時 30分 左 右 進 港 ， 早 晨 5時 30分 左 右 出 港 ； 或 在 中 午 12時 30分 左 右 進 港 ， 下 午 17時 30分 左 右 出 港 ， 每 次 可 以 在 港 口 停 留 5小 時 左 右 . （ 3） 設 在 時 刻 x船 舶 的 安 全 水 深 為 y， 那 么 y=5.5-0.3(x-2) (x 2),在 同

17、 一 坐 標 系 內(nèi) 作 出 這 兩 個 函 數(shù) 的 圖 象 ， 可 以 看到 在 6 7時 之 間 兩 個 函 數(shù) 圖 象 有 一 個 交 點 . 通 過 計 算 可 得 ， 在 6時 的 水 深 約 為 5米 ， 此 時 船 舶 的 安全 水 深 約 為 4.3米 ； 6.5時 的 水 深 約 為 4.2米 ， 此 時 船 舶 的安 全 水 深 約 為 4.1米 ； 7時 的 水 深 約 為 3.8米 ， 而 船 舶 的 安全 水 深 約 為 4米 ， 因 此 為 了 安 全 ， 船 舶 最 好 在 6.5時 之 前 停止 卸 貨 ， 將 船 舶 駛 向 較 深 的 水 域 . 1.根 據(jù)

18、 三 角 函 數(shù) 圖 象 建 立 函 數(shù) 解 析 式 ， 就 是 要 抓 住 圖 象 的數(shù) 字 特 征 確 定 相 關 的 參 數(shù) 值 ， 同 時 要 注 意 函 數(shù) 的 定 義 域 . 2.對 于 現(xiàn) 實 世 界 中 具 有 周 期 現(xiàn) 象 的 實 際 問 題 ， 可 以 利 用 三角 函 數(shù) 模 型 描 述 其 變 化 規(guī) 律 .先 根 據(jù) 相 關 數(shù) 據(jù) 作 出 散 點 圖 ，再 進 行 函 數(shù) 擬 合 ， 就 可 獲 得 具 體 的 函 數(shù) 模 型 ， 有 了 這 個 函數(shù) 模 型 就 可 以 解 決 相 應 的 實 際 問 題 . 不 辭 艱 險 出 夔 門 ， 救 國 圖 強 一 片 心 ； 莫 謂東 方 皆 落 后 ， 亞 洲 崛 起 有 黃 人 。 吳 玉 章