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1、大 學 物 理 課 程 教 學 要 求 本 學 期 成 績 采 取 ： 期 末 成 績 =試 卷 成 績 （ 占80%） +平 日 成 績 （ 占 20%） 。 有 申 請 免 聽 的 學 生 ， 一 定 要 有 書 面 申 請 ， 由于 平 日 不 能 出 席 ， 所 以 沒 有 平 日 成 績 ， 考 試成 績 按 卷 面 成 績 登 錄 。 第 一 次 選 修 的 學 生 不可 以 辦 理 免 聽 。 學 生 請 假 要 有 學 生 所 在 學 院 副 院 長 級 以 上 領導 的 批 準 假 條 ， 輔 導 員 的 批 準 不 可 以 B 目 錄第 1章 氣 體 分 子 運 動 論第

2、2章 熱 力 學 理 想 氣 體 處 于 平 衡 態(tài) 下 時 ， 各 狀 態(tài) 參量 之 間 的 關 系 。 RTMPV 理 想 氣 體 是 一 種 理 想 化 的 模 型 ， 它 的模 型 有 兩 種 。宏 觀 模 型 溫 度 不 太 低壓 強 不 太 高 微 觀 模 型 分 子 間 的 作 用 力 不 計分 子 的 體 積 不 計兩 種 模 型 是 等 價 的 ， 當 氣 體 的 壓 強 較 低 時 ，氣 體 較 稀 薄 ， 分 子 間 的 距 離 較 大 ， 則 分 子間 的 作 用 力 可 忽 略 不 計 ， 且 分 子 間 的 距 離遠 遠 大 于 分 子 本 身 的 線 度 ， 分

3、子 的 體 積 也可 忽 略 不 計 。 在 外 界 條 件 一 定 的 情 況 下 ， 系 統(tǒng) 內 部各 處 均 勻 一 致 ， 宏 觀 性 質 不 隨 時 間 t 改 變 。 RTMPV 1.壓 強 P 從 力 學 角 度 描 寫 氣 體 狀 態(tài) 的 物 理量 。 單 位 面 積 的 壓 力 。SFP 國 際 單 位 ： 牛 頓 /米 2， Nm-2, 帕 （ Pa）1 Pa=1 Nm-2, 常 用 單 位 ： 大 氣 壓 ， atm Pa10013.1atm1 5 2.體 積 V 從 幾 何 角 度 描 寫 氣 體 狀 態(tài) 的 物 理 量 。 -氣 體 分 子 活 動 的 空 間 體 積

4、 。 對 于 理 想 氣 體 分 子 大 小 不 計 ， 分 子 活動 的 空 間 體 積 就 是 容 器 的 體 積 。國 際 單 位 ： 米 3， m3常 用 單 位 ： 升 ， l l33 10m1 3.溫 度 T 從 熱 學 角 度 描 寫 氣 體 狀 態(tài) 的 物 理 量 。國 際 單 位 ： 絕 對 溫 標 T 開 ， k常 用 單 位 ： 攝 氏 溫 標 t 度 ， C15.273tT4.摩 爾 數(shù) M 氣 體 質 量摩 爾 質 量單 位 ： 摩 爾 ， mol 5.普 適 氣 體 恒 量 R 1-1- kmolJ 31.8 R1摩 爾 氣 體 在 標 準 狀 態(tài) 下 ：000 R

5、TVP 0 00TVPR 273 104.2210013.1 35 -R 1-1- kmolJ 31.8 .理 想 氣 體 .處 在 平 衡 態(tài)RTMPV 理 想 氣 體 狀 態(tài) 方 程 .理 想 氣 體 .處 在 平 衡 態(tài)2 221 11 TVPTVP 氣 體 定 律 .質 量 不 變 .同 種 氣 體 RTMPV 常 用 形 式系 統(tǒng) 內 有 N個 分 子每 個 分 子 質 量 mNmM mNA mol100236 23 /.NA TNRNPV A nkTP常 用 形 式NkTPV VNn ANRk 分 子 數(shù) 密 度 玻 耳 茲 曼 常 數(shù) P-V 圖 TVP . TVP .通 常 還

6、 畫 P - T、 P - VT - V 、 T E 圖P VP V 圖 上 一 個 點 代 表 一 個 平 衡 態(tài)一 條 線 代 表 一 個 準 靜 態(tài) 過 程 一 、 研 究 方 法 從 微 觀 物 質 結 構 和 分 子 運 動 論 出 發(fā) 運用 力 學 規(guī) 律 和 統(tǒng) 計 平 均 方 法 ， 解 釋 氣 體 的宏 觀 現(xiàn) 象 和 規(guī) 律 ， 并 建 立 宏 觀 量 與 微 觀 量之 間 的 關 系 。二 、 氣 體 分 子 運 動 論 的 基 本 觀 點1.氣 體 是 由 大 量 分 子 （ 或 原 子 ） 組 成 。2.分 子 在 不 停 地 作 無 規(guī) 則 的 熱 運 動 。3.分

7、 子 間 有 相 互 作 用 。4.分 子 可 視 為 彈 性 的 小 球 。5.服 從 牛 頓 力 學 分 子 數(shù) 目 太 多 ， 無 法 解 這 么 多 的 聯(lián) 立 方程 。 即 使 能 解 也 無 用 ， 因 為 碰 撞 太 頻 繁 ，運 動 情 況 瞬 息 萬 變 ， 必 須 用 統(tǒng) 計 的 方 法來 研 究 。三 、 統(tǒng) 計 的 規(guī) 律 性 對 于 單 個 分 子 的 運 動 是 無 規(guī) 則 的 ， 遵守 牛 頓 定 律 ， 但 對 大 量 的 分 子 則 需 用 統(tǒng) 計平 均 的 方 法 。 對 大 量 無 規(guī) 則 的 事 件 ， 進 行 統(tǒng) 計 ， 滿足 一 定 的 規(guī) 律 性

8、， 事 件 的 次 數(shù) 越 多 ， 規(guī) 律性 也 越 強 ， 用 “ 概 率 ” 來 表 示 ?？?的 事 件 次 數(shù)出 現(xiàn) 某 一 事 件 的 次 數(shù) AW定 義 : 某 一 事 件 A發(fā) 生 的 概 率 WA 統(tǒng) 計 規(guī) 律 有 以 下 幾 個 特 點 :1. 對 大 量 偶 然 事 件 整 體 所 遵 守 的 規(guī) 律 為 統(tǒng)計 規(guī) 律 。2.總 是 伴 隨 著 漲 落 。什 么 叫 漲 落 ？對 統(tǒng) 計 規(guī) 律 的 偏 離 現(xiàn) 象漲 落 有 時 大 有 時 小 有 時 正 有 時 負 一 、 什 么 是 自 由 度 自 由 度 是 描 寫 物 體 在 空 間 位 置 所 需 的獨 立 坐

9、 標 數(shù) 。 所 謂 獨 立 坐 標 數(shù) 是 指 描 寫 物 體 位 置 所需 的 最 少 的 坐 標 數(shù) 。 三 、 分 子 動 能 按 自 由 度 均 分 的 統(tǒng) 計 規(guī) 律由 溫 度 公 式 有 分 子 平 均 平 動 動 能221 vmk )(21 222 zyx vvvm kT23222 zyx vvv kTvm x 2323 2 kTvm x 2121 2 22 2121 zy vmvm 即 在 x 方 向 的 自 由 度 上 平 均 分 配 了 kT / 2 的 能 量 。由 于 分 子 運 動 在 哪 個 方 向 都 不 占 優(yōu) 勢 ， 因此 ， 在 y、 z 方 向 的 自

10、由 度 上 也 都 平 均 分配 了 kT / 2 的 能 量 。每 個 平 動 自 由 度 上 分 配 了 一 份 kT/2的 能 量 ，kT21kTvm x 2121 2 使 平 動 動 能 與 轉 動 動 能 不 斷 轉 換 ，平 動 動 能 轉 動 動 能使 平 動 動 能 與 轉 動 動 能 達 到 相 同 ， 即 每 個轉 動 自 由 度 上 也 平 均 分 配 了 kT/2能 量 。 由 此 可 知 ， 分 子 有 i 個 自 由 度 ， 其 平 均 動能 就 有 i 份 kT/2 的 能 量 。分 子 平 均 動 能 kTi2由 于 分 子 的 激 烈 碰 撞 （ 幾 億 次

11、/秒 ） ， 四 、 氣 體 分 子 的 能 量 =分 子 平 均 動 能 +對 于 理 想 氣 體 而 言 ， 分 子 間 的 作 用 力 忽略 不 計 ， 分 子 與 分 子 間 的 勢 能 為 0。由 于 只 考 慮 常 溫 狀 態(tài) ， 分 子 內 的 原 子 間的 距 離 可 認 為 不 變 ， 則 分 子 內 原 子 與 原 子間 的 勢 能 也 可 不 計 。一 個 分 子 的 能 量 為 kTi2分 子 與 分 子 間 的 勢 能+分 子 中 原 子 與 原 子 間 的 勢 能 =分 子 平 均 動 能 五 、 氣 體 的 內 能1.一 個 分 子 的 能 量 為 : kTi22

12、. 1 mol氣 體 分 子 的 能 量 為 :kTNi 02 RTi23.M 千 克 氣 體 的 能 量 為 ： PViRTiME 22 氣 體 內 能 3 麥 克 斯 韋 速 率 分 布 律一 、 速 率 分 布 函 數(shù)設 系 統(tǒng) 總 的 分 子 數(shù) 為 N d-分 子 速 率 在 間 隔內 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百 分 比間 隔 內 的 分 子 數(shù) 為 vdNNN d則 表 示 d-分 子 速 率 在 ddNNf )( 單 位 速 率 間 隔 內分 子 速 率 在 附 近的 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百 分 比f (v )叫 麥 克 斯 韋 速 率 分 布 函

13、 數(shù) ddNNf )( 單 位 速 率 間 隔 內 的 分 子 數(shù)占 總 分 子 數(shù) 的 百 分 比 d)(f NN d 間 隔 內 的 分 子 數(shù) 占總 分 子 數(shù) 的 百 分 比 分 子 速 率 在 附 近 d-分 子 速 率 在1） f (v ) 的 意 義討 論 d)(Nf Nd 間 隔 內 的 分 子 數(shù)1)( 00 N vNdNf d 歸 一 性 質 d-分 子 速 率 在2） f (v ) 的 性 質 曲 線 下 面 積 恒 為 11)(0 df 幾 何 意 義o NN ddNNf )( d- d)(f 2.麥 氏 速 率 分 布 函 數(shù) 曲 線 kTmekTmf 2223 22

14、4 - )(vfO Pv v 2v v)(f o二 、 麥 克 斯 韋 速 率 分 布 律 系 統(tǒng) ： 理 氣 平 衡 態(tài) 1. 麥 氏 速 率 分 布 律 最 概 然 速 率 p )( pf 最 大0)( ddf令 RTmkTp 22 )(vfO Pv v 2v v)(f o p得 1. vP與 溫 度 T的 關 系 mkTvp 2 pvT 曲 線 的 峰 值 右 移 ,由 于 曲 線 下 面 積為 1不 變 ， 所 以 峰值 降 低 。 12 TT o v)(vf 1pv 2pv 2T1T pvm 曲 線 的 峰 值 左 移 ,由 于 曲 線 下 面 積為 1不 變 ， 所 以 峰值 升

15、高 。 12 mm o v)(vf 1pv2pv 2m 1m2. vP與 分 子 質 量 m的 關 系 mkTvp 2 o v)(vf 1pv 2pv 2T1T(f o 同 種 分 子 不 同 溫 度的 速 率 分 布o v)(vf 1pv2pv 2m 1m o 12 相 同 溫 度 下 不 同種 類 分 子 的 速 率分 布 三 、 速 率 分 布 函 數(shù) 的 應 用 平 均 值 計 算 式 為 )( )( 某 區(qū) 間某 區(qū) 間 NNdd N NN0N0 dd NfN 0 )( d d 0 )(f1. 計 算 全 空 間 速 率 的 算 術 平 均 值 d 0 )(f d22230 224

16、kTmekTm - mkT8 8RTRT60.1代 入 麥 氏分 布 函 數(shù)得 麥 氏 分 布 時的 平 均 速 率 2. 方 均 根 速 率麥 氏 系 統(tǒng) (理 氣 平 衡 態(tài) )若 求 整 個 速 率 空 間 的 方 均 根 速 率NNfNN 0 20 22 )( dd 0 2 )( dfRT3 RT32 0 22 )( df 1) 平 均 值 的 計 算 公 式注 意 上 下 區(qū) 間 的 一 致 性 0 )( df 2121 )( )( ddNfNf 2121 )( )( ddff 討 論通 式 ： 0 )( dxfx 的 函 數(shù)是 vx 2) 三 種 速 率 每 個 系 統(tǒng) 均 存 在

17、 RTRTRTp 73.1 60.1 41.12 理 想 氣 體 平 衡 態(tài) 有 麥 氏 速 率 分 布所 以p 2 3) 說 出 下 列 各 式 的 物 理 含 義 dvvvf01. 整 個 區(qū) 間 內 分 子 的 平 均 速 率2. dvvf pv 速 率 在 -pv 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子數(shù) 的 百 分 比3. dvvfvv21 速 率 在 21 vv - 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子數(shù) 的 百 分 比4. dvvNfv v21 速 率 在 21 vv - 區(qū) 間 內 的 分 子 數(shù) 5. dvvvNfvv21 速 率 在 21 vv - 區(qū) 間 內 的

18、 分 子 的 速 率 之 和6. dvvNfmvv v21 221 速 率 在 21 vv - 區(qū) 間 內 的 分 子 的 平 動動 能 之 和7. 2121vvvv dvvf dvvvf 2121vvvv dvvNf dvvvNf 速 率 在 21 vv -區(qū) 間 內 的 分 子 的 平 均 速 率 在 常 溫 下 ， 空 氣 分 子 速 率 400500米 /秒 ， 如 果 在 講 臺 上 打 開 一 瓶 香 水 ， 后 排 的同 學 立 刻 就 可 聞 到 香 水 味 。 但 實 際 需 要 12 分 鐘 才 能 聞 到 ， 這 是 為 什 么 ？ 實 際 上 由 于 分 子激 烈 的

19、熱 運 動 ， 不 斷地 和 其 它 分 子 碰 撞 ，分 子 不 是 走 直 線 ， 而是 折 線 。 跟 蹤 一 個 分 子 ， 設 分 子 是 直 徑 為 d的彈 性 小 球1.以 直 代 曲 ， 將 分 子 運 動 的 折 線 用 直 線 來代 替 。2.以 靜 代 動 ， 認 為 跟 蹤 的 分 子 運 動 ， 其 它的 分 子 靜 止 。4.作 直 徑 為 2d長 為 u的 圓 柱 體 （ 1秒 鐘 分 子運 動 的 距 離 ） ， 圓 柱 體 內 的 氣 體 分 子 數(shù) 密度 為 n。3.以 相 對 速 率 u與 其 它 分 子 發(fā) 生 彈 性 碰 撞 。 n ud2 d質 心

20、位 于 圓 柱體 內 的 分 子 數(shù) ，都 能 和 跟 蹤 的分 子 發(fā) 生 碰 撞 。圓 柱 體 內 的 分子 數(shù) ， 即 為 分子 1秒 鐘 的 碰 撞次 數(shù) -平 均碰 撞 頻 率 。 udnnVZ 2 體 系有 如 下與 的 關 u v更 詳 細 的 理 論 指 出 ： vu 2 代 入 平 均 碰 撞 頻 率 udnZ 2 vdnZ 22 分 子 相 鄰 兩 次 碰 撞 之 間 的 平 均 距 離 。平 均 自 由 程 = 分 子 在 1秒 內 平 均 路 程1秒 內 平 均 碰 撞 次 數(shù) Zvvdnv 22 221 dn 221 dn 平 均 自 由 程由 kTPn PdkT 2

21、2 平 均 自 由 程說 明 當 溫 度 一 定 時 ， 平 均 自 由 程和 壓 強 成 反 比 ；當 壓 強 一 定 時 ， 平 均 自 由 程 和 溫度 成 正 比 。 問 題 ： 一 定 質 量 的 氣 體 ， 保 持 體 積 不 變 ， 當 溫度 增 加 時 ， 分 子 運 動 變 得 劇 烈 ， 平 均 碰 撞 頻 率增 加 了 ， 平 均 自 由 程 如 何 變 化 ？解 答 ： 根 據(jù) 公 式 221 dn 質 量 一 定 ， 體 積 保 持 不 變 ， 則 氣 體 的 分 子 數(shù) 密度 n 也 不 變 ， 221 dn 平 均 自 由 程 也 不 變 。說 明 ： 質 量 一

22、 定 ， 體 積 保 持 不 變 時 ， 平 均 自由 程 與 體 積 和 壓 強 無 關 kTPVNn ANm nmRTPVM PVikTiNRTiME 222 vdnZ 22 kTk 23 22 313231 vnvnmP t 221 dn PdkT 22 NkTRTMPV nkTP 222/3 224)( vekTmNdvdNvf kTmv- RTRTmkTvp 41.122 1.最 概 然 速 率 RTRTmkTv 73.1332 3.方 均 根 速 率 RTRTmkTv 60.188 2.平 均 速 率 例 ： 容 器 內 盛 有 氮 氣 ， 壓 強 為 10atm、 溫度 為 27

23、C， 氮 分 子 的 摩 爾 質 量 為 28 g/mol, .分 子 數(shù) 密 度 ； .質 量 密 度 ； .分 子 質 量 ； .平 均 平 動 動 能 ； .三 種 速 率 ； .平 均 碰 撞 頻 率 ； .平 均 自 由 程 。空 氣 分 子 直 徑 為 310-10m 。求 ： .分 子 數(shù) 密 度 ； kTPn 3001038.1 10013.110 23 5 -n 質 量 密 度 RTP 30031.8 10013.1101028 53 - .分 子 質 量 23310022.6 1028 -ANm 326m1045.2 - 3kg/m4.11 kg1065.4 26- .平

24、均 平 動 動 能 kTk 23 3001038.123 23 -k .三 種 速 率 31028 30031.8 -RTRTvp 41.1 RTv 59.1 J1021.6 21- 298m/s7.417 m/s47629859.1 29841.1 RTv 73.12 .平 均 碰 撞 頻 率 vdnZ 22 476)103(1045.22 21026 -Z 秒次 /106.4 10 .平 均 自 由 程 PdkT 22 5210 23 10013.110)103(2 3001038.1 - - 29873.1 m/s515m100.1 8- 6. (本 題 3分 )5051麥 克 斯 韋

25、速 率 分 布 曲 線 如 圖 所 示 ,圖 中 A,B兩 部分 面 積 相 等 ,則 該 圖 表 示 :(A) V0為 最 可 幾 速 率 .(B) V0為 平 均 速 率 V0為 方 均 根 速 率 ; 速 率 大 于 和 小 于 V 0的 分 子 數(shù) 各 占 一 半f(v) VA B0V曲 線 下 的 面 積 表 示 的 是 速 率 在 某 個 區(qū) 間內 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百 分 比 。 10。 （ 本 題 3分 ） 4038溫 度 為 T時 ， 方 均 根 速 率 的 速率 區(qū) 間 內 ， 氫 ， 氮 兩 種 氣 體 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百分 率

26、相 比 較 ： 則 有 （ 附 ： 麥 克 斯 韋 速 率 分 布 定 律 ： smv /50212 （ A）（ B）（ C）（ D） 溫 度 較 低 時 溫 度 較 高 時 vvkmvkmNN - .2exp)2(4 22 23 22 )/(/ NH NNNN ）（ 22 )/(/ NH NNNN ）（ 22 )/(/ NH NNNN ）（ 22 )/(/ NH NNNN ）（ 22 )/(/ NH NNNN ）（ 4038答 案 及 提 示 (C) 提 示 ： 將 e指 數(shù) 中 的 換 成 這 樣 就有 2 2mv kT23 23mNN 11。 （ 本 題 3分 ） 5332 若 f (v

27、)為 氣 體 分 子 速 率 分 布 函 數(shù) ， N為 分 子總 數(shù) ， m為 分 子 質 量 ， 則 的 物 理 意 義 是 ：（ A） 速 率 為 V2的 各 分 子 的 總 平 動 動 能 與 速 率 為 V1的 各 分 子 的 總 平 動 動 能 動 能 之 差 。（ B） 速 率 為 V2的 各 分 子 的 總 平 動 動 能 與 速 率 為 V1的 各 分 子 的 總 平 動 動 能 動 能 之 和 。（ C） 速 率 處 在 速 率 間 隔 V1 V2之 內 的 分 子 的 平 均平 動 動 能 。（ D） 速 率 處 在 速 率 間 隔 V 1 V2之 內 的 分 子 平 動

28、動能 之 和 。 dvvNfmv VV )(21 221 5332答 案 及 提 示 (D) 根 據(jù) 速 率 分 布 函 數(shù) 可 得則 NdvdNvf dNdvvNf dNmvdvvNfmv VVVV 22 2121 21)(21 7.（ 本 題 5分 ） 4460 已 知 為 麥 克 斯 韋 速 率 分 布 函 數(shù) ， N為 分 子 總 數(shù) ，Vp為 分 子 最 可 幾 速 率 ， 下 列 各 式 表 示 什 么 物 理 意 義 ？（ 1）（ 2）（ 3） )(vf dvvfv )(0 pv dvvf )( dvvfNpv )( （ 1） 表 示 分 子 的 平 均 速 率 （ 2分 ）（

29、2） 表 示 分 子 速 率 在 區(qū) 間 的 分 子 數(shù) 占 總 分 子 數(shù) 的 百 分比 （ 2分 ） ；（ 3） 表 示 分 子 速 率 在 區(qū) 間 的 分 子 數(shù) （ 1分 ） 。 pv pv 12. (本 題 3分 ) 4041 圖 示 兩 條 曲 線 分 別 表 示 在 相 同 溫 度 下 氧 氣 和 氫 氣 分 子速 率 分 布 曲 線 ,(VP)02和 (VP)H2分 別 表 示 氧 氣 和 氫 氣 的 最可 幾 速 率 ,則 圖 中 a表 示 氧 氣 分 子 速 率 分 布 曲 線 ; 圖 中 a表 示 氧 氣 分 子 速 率 分 布 曲 線 ; (C)圖 中 b表 示 氧 氣

30、 分 子 速 率 分 布 曲 線 (D)圖 中 b表 示 氧 氣 分 子 速 率 分 布 曲 線 ; 4/1)/( 22 HpOp vv 4/1)/( 22 HpOp vv 4)/( 22 HpOp vv 4)/( 22 HpOp vv f(v) V a bRTvp 2 14.（ 本 題 3分 ） 4047氣 缸 內 盛 有 一 定 量 的 氫 氣 （ 可 視 為 理 想 氣 體 ） ， 當 溫 度不 變 而 壓 強 增 大 一 倍 時 ， 氫 氣 分 子 的 平 均 碰 撞 次 數(shù) 和 平 均 自 由 程 的 變 化 情 況 是 ：(A) 和 都 增 大 一 倍 。(B) 和 都 減 為 原

31、 來 的 一 半 。 增 大 一 倍 而 減 為 原 來 的 一 半 。 (D) 減 為 原 來 的 一 半 而 增 大 一 倍 。 ZZZZ Z KTPvdZ 22 PdKT22 nKTP 13. （ 本 題 3分 ） 4048一 定 量 的 理 想 氣 體 ， 在 溫 度 不 變 的 條 件 下 ， 當 容 積 增大 時 ， 分 子 的 平 均 碰 撞 次 數(shù) 和 平 均 自 由 程 的 變 化 情 況 是 ：(A) 減 小 而 不 變 。(B) 減 小 而 增 大 。(C) 增 大 而 減 小 。 不 變 而 增 大 。 ZZZZZ 提 示 ： 容 積 增 大 n變 小 。 9.（ 本 題 5分 ） 4299在 什 么 條 件 下 ， 氣 體 分 子 熱 運 動 的 平 均 自 由 程 與 溫度 T成 正 比 ？ 在 什 么 條 件 下 ， 與 T無 關 ？ 答 ： 從 可 見 ， 對 于 分 子 有效 直 徑 一 定 的 氣 體 ， 當 壓 強 P恒 定 時 ， 與 T成正 比 （ 3分 ） 。 從 可 見 ， 對 于分 子 有 效 直 徑 一 定 的 氣 體 ， 當 分 子 總 數(shù) N和 氣 體體 積 V恒 定 時 ， 與 T無 關 （ 2分 ） 。 PdKT 22/ VNnnd /2/1 2 和