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1、2019年中考數(shù)學(xué)試卷 1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)． （1）求AC、BC的長(zhǎng)； （2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍； （3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，并使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由； （4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線(xiàn)PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△B

2、CM得周長(zhǎng)最小，若存在，求出最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）設(shè)AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB， ∴，∴QH=x，y=BP?QH=（10﹣x）?x=﹣x2+8x（0＜x≤3）， ②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x， ∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC， ∴

3、，即：，解得：QH′=（14﹣x）， ∴y=PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）； ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=； （3）∵AP=x，AQ=14﹣x， ∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，即：， 解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴， ∴當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似； （4）存在． 理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位線(xiàn)，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分線(xiàn)，∴PC=AP=5，∴當(dāng)點(diǎn)M與

4、P重合時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小， ∴△BCM的周長(zhǎng)為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周長(zhǎng)最小值為16． 2、（12分） 如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與點(diǎn)C、 D不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，連接PQ，PQ的中點(diǎn)為M. (1)求證：△ADP∽△ABQ； (2)若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x, BM 2=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線(xiàn)段BM長(zhǎng)的最小值； (3)若AD=10, AB=a， DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍。

5、 解：(1)證明：∵ 四邊形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90 ∵∠ABC+∠ABQ=180 10 x 20-x N ∴∠ABQ=∠ADP =90 ∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90 ∴∠QAB+ ∠BAP=90 又∵∠PAD+∠BAP=90 ∴∠PAD=∠QAB 在△ADP與△ABQ中 ∵ ∴△ADP∽△ABQ （2）如圖，作MN⊥QC，則∠QNM=∠QCD=90 又∵∠MQN=∠PQC ∴△MQN∽△PQC ∴ ∵點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn) ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵△ADP∽△ABQ ∴

6、∴ ∵ ∴ 在Rt△MBN中，由勾股定理得： 即： 10 8 A B C P D Q M 10 a 10 當(dāng)即時(shí)，線(xiàn)段BM長(zhǎng)的最小值. (3)如圖，當(dāng)點(diǎn)PQ中點(diǎn)M落在AB上時(shí)，此時(shí)QB=BC=10 由△ADP∽△ABQ得解得： ∴隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化， 當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍為： 3、如圖，拋物線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，且,點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)是一次函數(shù)的圖象，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)的解析式； （2）若直線(xiàn)平分四邊形的面積，求的值. （3）把拋物線(xiàn)向左平移1個(gè)單位，再向下

7、平移2個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)，使得不論取何值，直線(xiàn)與總是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 答案：（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由點(diǎn)D(2，1.5)在拋物線(xiàn)上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,從而c=1.5,所以. 24．（14分）（2013?溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（6，0），B（0.8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸上的

8、一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，DE，以CD，DE為邊作?CDEF． （1）當(dāng)0＜m＜8時(shí)，求CE的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）； （2）當(dāng)m=3時(shí)，是否存在點(diǎn)D，使?CDEF的頂點(diǎn)F恰好落在y軸上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF為矩形，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的m的值． 解答： 解：（1）∵A（6，0），B（0，8）． ∴OA=6，OB=8． ∴AB=10， ∵∠CEB=∠AOB=90， 又∵∠OBA=∠EBC， ∴△BCE∽△BAO， ∴=，即=， ∴CE=﹣m； （2）∵m=3， ∴BC=8﹣m

9、=5，CE=﹣m=3． ∴BE=4， ∴AE=AB﹣BE=6． ∵點(diǎn)F落在y軸上（如圖2）． ∴DE∥BO， ∴△EDA∽△BOA， ∴=即=． ∴OD=， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）． （3）取CE的中點(diǎn)P，過(guò)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G． 則CP=CE=﹣m． （Ⅰ）當(dāng)m＞0時(shí)， ①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，如圖3．易證∠GCP=∠BAO， ∴cos∠GCP=cos∠BAO=， ∴CG=CP?cos∠GCP=（﹣m）=﹣m． ∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+． 根據(jù)題意得，得：OG=CP， ∴m+=﹣m， 解得：m=； ②當(dāng)m≥8時(shí)，OG＞CP，顯然不存在滿(mǎn)足條件的m的值

10、． （Ⅱ）當(dāng)m=0時(shí)，即點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合（如圖4）． （Ⅲ）當(dāng)m＜0時(shí)， ①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，（如圖5）， 易證△COA∽△AOB， ∴=，即=， 解得：m=﹣． ②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，（如圖6）． OG=OC﹣OG=﹣m﹣（﹣m） =﹣m﹣． 由題意得：OG=CP， ∴﹣m﹣=﹣m． 解得m=﹣． 綜上所述，m的值是或0或﹣或﹣． 28、如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l1：y=3x，l2：y=x．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．直線(xiàn)PQ交y軸正半軸于點(diǎn)Q，且分別交l1、l2于點(diǎn)A、B．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，直線(xiàn)PQ的解

11、析式為y=﹣x+t．△AOB的面積為Sl（如圖①）．以AB為對(duì)角線(xiàn)作正方形ACBD，其面積為S2（如圖②）．連接PD并延長(zhǎng)，交l1于點(diǎn)E，交l2于點(diǎn)F．設(shè)△PEA的面積為S3；（如圖③） （1）Sl關(guān)于t的函數(shù)解析式為　_________　；（2）直線(xiàn)OC的函數(shù)解析式為　_________??； （3）S2關(guān)于t的函數(shù)解析式為　_________??；（4）S3關(guān)于t的函數(shù)解析式為　_________?。? 解：（1）由， 得， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，） 由 得 ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（，）． ∴S1=S△AOP﹣S△BOP=t2（2）由（1）得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）． 設(shè)直線(xiàn)OC的解析式

12、為y=kx，根據(jù)題意得=， ∴k=， ∴直線(xiàn)OC的解析式為y=x． （3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)CB=t﹣=， ∴S2=CB2=（）2=． （4）設(shè)直線(xiàn)PD的解析式為y=k1x+b，由（1）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，）， 將P（t，0）、D（）代入得， 解得 ∴直線(xiàn)PD的解析式為y= 由， 得 ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，） ∴S3=S△EOP﹣S△AOP=t?t﹣t?t=t2． 25．（10分）（2013?天津）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； （Ⅱ）如圖②，將△AEO

13、沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′． ①設(shè)AA′=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)； ②當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）． 考點(diǎn)： 相似形綜合題．3718684 分析： （Ⅰ）根據(jù)相似三角形△OAE∽△OBA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=，則易求OE=1，所以E（0，1）； （Ⅱ）如圖②，連接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，則

14、A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函數(shù)最值的求法知，當(dāng)m=1即點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（1，1）時(shí)，A′B2+BE′2取得最小值． 解答： 解：（Ⅰ）如圖①，∵點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，4）， ∴OA=2，OB=4． ∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90， ∴△OAE∽△OBA， ∴=，即=， 解得，OE=1， ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）； （Ⅱ）①如圖②，連接EE′． 由題設(shè)知AA′=m（0＜m＜2），則A′O=2﹣m． 在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20． ∵△

15、A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的， ∴EE′∥AA′，且EE′=AA′． ∴∠BEE′=90，EE′=m． 又BE=OB﹣OE=3， ∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9， ∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27． 當(dāng)m=1時(shí)，A′B2+BE′2可以取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（1，1）． ②如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3． 易證△AB′A′≌△EBE′， ∴B′A=BE′， ∴A′B+BE′=A′B+B′A′． 當(dāng)點(diǎn)B、A′、B′在同一條直線(xiàn)上時(shí)，A′B+B′A′最小，即此時(shí)A′B+BE′

16、取得最小值． 易證△AB′A′∽△OBA′， ∴==， ∴AA′=2=， ∴EE′=AA′=， ∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（，1）． 點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．此題難度較大，需要學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的掌握． 17、（12分）（2013?雅安）如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)l，l與x軸交于點(diǎn)H． （1）求該拋物線(xiàn)的解析式； （2）若點(diǎn)P是該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值； （3）如圖（2），若E是線(xiàn)段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ E與

17、A、D不重合），過(guò)E點(diǎn)作平行于y軸的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S． ①求S與m的函數(shù)關(guān)系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）由題意可知： 解得： ∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3； （2）∵△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC ∵BC是定值， ∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小， ∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸I對(duì)稱(chēng)， ∴連接AC交l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求的點(diǎn) ∵AP=BP ∴△PBC的周長(zhǎng)最小是：PB+PC+BC=AC+BC ∵A（﹣3，0），B（1，

18、0），C（0，3）， ∴AC=3，BC=； （3）①∵拋物線(xiàn)y=﹣x2﹣2x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4） ∵A（﹣3，0） ∴直線(xiàn)AD的解析式為y=2x+6 ∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m， ∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，﹣m2﹣2m+3） ∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6） =﹣m2﹣4m﹣3 ∴S=S△DEF+S△AEF =EF?GH+EF?AC =EF?AH =（﹣m2﹣4m﹣3）2 =﹣m2﹣4m﹣3； ②S=﹣m2﹣4m﹣3 =﹣（m+2）2+1； ∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1 此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）． 16、（12分）（20

19、13?南昌）已知拋物線(xiàn)yn=﹣（x﹣an）2+an（n為正整數(shù)，且0＜a1＜a2＜…＜an）與x軸的交點(diǎn)為An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線(xiàn)y1=﹣（x﹣a1）2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此類(lèi)推． （1）求a1，b1的值及拋物線(xiàn)y2的解析式； （2）拋物線(xiàn)y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（　 　，　 ?。?；依此類(lèi)推第n條拋物線(xiàn)yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（　 　，　 ?。凰袙佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式是　 ?。? （3）探究下列結(jié)論： ①若用An﹣1An表示第n條拋物線(xiàn)被x軸截得的線(xiàn)段長(zhǎng)，直接寫(xiě)出A0A1的值，并求出An﹣1An；

20、 ②是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線(xiàn)和所有拋物線(xiàn)都相交，且被每一條拋物線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度都相等？若存在，直接寫(xiě)出直線(xiàn)的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）∵當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線(xiàn)y1=﹣（x﹣a1）2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0（0，0）， ∴0=﹣（0﹣a1）2+a1，解得a1=1或a1=0． 由已知a1＞0，∴a1=1， ∴y1=﹣（x﹣1）2+1． 令y1=0，即﹣（x﹣1）2+1=0，解得x=0或x=2， ∴A1（2，0），b1=2． 由題意，當(dāng)n=2時(shí)，第2條拋物線(xiàn)y2=﹣（x﹣a2）2+a2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1（2，0）， ∴0=﹣（2﹣a2）2+a2，解得a

21、2=1或a2=4， ∵a1=1，且已知a2＞a1， ∴a2=4， ∴y2=﹣（x﹣4）2+4． ∴a1=1，b1=2，y2=﹣（x﹣4）2+4． （2）拋物線(xiàn)y2=﹣（x﹣4）2+4，令y2=0，即﹣（x﹣4）2+4=0，解得x=2或x=6． ∵A1（2，0）， ∴A2（6，0）． 由題意，當(dāng)n=3時(shí)，第3條拋物線(xiàn)y3=﹣（x﹣a3）2+a3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2（6，0）， ∴0=﹣（6﹣a3）2+a3，解得a3=4或a3=9． ∵a2=4，且已知a3＞a2， ∴a3=9， ∴y3=﹣（x﹣9）2+9． ∴y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9，9）． 由y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），y2的頂

22、點(diǎn)坐標(biāo)（4，4），y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)（9，9）， 依此類(lèi)推，yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n2，n2）． ∵所有拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式是：y=x． （3）①∵A0（0，0），A1（2，0）， ∴A0A1=2． yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，即﹣（x﹣n2）2+n2=0， 解得x=n2+n或x=n2﹣n， ∴An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），即An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n． ②存在． 設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)解析式為y=kx+b，則有：0=2k+b，得b=﹣2k， ∴y=kx﹣2k． 設(shè)直線(xiàn)y=kx﹣2

23、k與拋物線(xiàn)yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）兩點(diǎn)， 聯(lián)立兩式得：kx﹣2k=﹣（x﹣n2）2+n2，整理得：x2+（k﹣2n2）x+n4﹣n2﹣2k=0， ∴x1+x2=2n2﹣k，x1?x2=n4﹣n2﹣2k． 過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥FG于點(diǎn)G，則EG=x2﹣x1， FG=y2﹣y1=[﹣（x2﹣n2）2+n2]﹣[﹣（x1﹣n2）2+n2]=（x1+x2﹣2n2）（x1﹣x2）=k（x2﹣x1）． 在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2， 即：EF2=（x2﹣x1）2+[k（x2﹣x1）]2=（k2+1）（x2﹣x1）

24、2=（k2+1）[（x1+x2）2﹣4x1?x2]， 將x1+x2=2n2﹣k，x1?x2=n4﹣n2﹣2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2?（1﹣k）+k2+8k]， 當(dāng)k=1時(shí)，EF2=（1+1）（1+8）=9，∴EF=3為定值， ∴k=1滿(mǎn)足條件，此時(shí)直線(xiàn)解析式為y=x﹣2． ∴存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，該直線(xiàn)的解析式為y=x﹣2． 15．（2012義烏市）如圖1，已知直線(xiàn)y=kx與拋物線(xiàn)y=交于點(diǎn)A（3，6）． （1）求直線(xiàn)y=kx的解析式和線(xiàn)段OA的長(zhǎng)度； （2）點(diǎn)P為拋物線(xiàn)第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線(xiàn)OA于點(diǎn)Q，再

25、過(guò)點(diǎn)Q作直線(xiàn)PM的垂線(xiàn)，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線(xiàn)段QM與線(xiàn)段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說(shuō)明理由； （3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線(xiàn)上對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？ 解答：解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx 得； ∵6=3k， ∴k=2， ∴y=2x．（2012義烏市） OA=．…（3分） （2）是一個(gè)定值，理由如下： 如答圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H． ①當(dāng)QH與

26、QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合， 此時(shí)； ②當(dāng)QH與QM不重合時(shí)， ∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上， ∴∠MQH=∠GQN， 又∵∠QHM=∠QGN=90 ∴△QHM∽△QGN…（5分）， ∴， 當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線(xiàn)和直線(xiàn)上不同位置時(shí)，同理可得． …（7分）①① （3）如答圖2，延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R ∵∠AOD=∠BAE， ∴AF=OF， ∴OC=AC=OA= ∵∠ARO=∠FCO=90，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC， ∴， ∴OF=， ∴點(diǎn)F（，0）， 設(shè)點(diǎn)

27、B（x，）， 過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF， ∴， 即， 解得x1=6，x2=3（舍去）， ∴點(diǎn)B（6，2）， ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4， ∴AB=5 …（8分）； （求AB也可采用下面的方法） 設(shè)直線(xiàn)AF為y=kx+b（k≠0）把點(diǎn)A（3，6），點(diǎn)F（，0）代入得 k=，b=10， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴B（6，2）， ∴AB=5…（8分） （其它方法求出AB的長(zhǎng)酌情給分） 在△ABE與△OED中 ∵∠BAE=∠BED， ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB， ∴∠ABE=∠DEO， ∵∠BA

28、E=∠EOD， ∴△ABE∽△OED．…（9分） 設(shè)OE=x，則AE=﹣x （）， 由△ABE∽△OED得， ∴ ∴（）…（10分） ∴頂點(diǎn)為（，） 如答圖3，當(dāng)時(shí)，OE=x=，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)； 當(dāng)時(shí)，任取一個(gè)m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)． ∴當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)…（11分） 當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)…（12分）． 已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90，OA=2，OB=4，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D。 （Ⅰ）若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； （Ⅱ）若折疊后點(diǎn)B落在

29、邊OA上的點(diǎn)為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍； （Ⅲ）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，且使B′D∥OB，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)。 解：（Ⅰ）如圖（1），折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，連接AC， 則△ACD≌△BCD， 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m>0）， 則BC=OB-OC=4-m， 于是AC=BC=4-m， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2， 即（4-m）2=m2+22，解得m=， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為； （Ⅱ）如圖（2），折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B′連接B′C，B′D， 則△B′CD≌△BCD， 由題設(shè)OB

30、′=x，OC=y， 則B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2， ∴（4-y）2=y2+x2， 即， 由點(diǎn)B′在邊OA上，有0≤x≤2， ∴解析式（0≤x≤2）為所求， ∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小， ∴y的取值范圍為； （Ⅲ）如圖（3），折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B′，連接B′C，B′D，B′D∥OB， 則∠OCB′=∠CB′D， 又∵∠CBD=∠CB′D， ∴∠CB′=∠CBD， ∴CB′∥BA， ∴Rt△COB′∽R(shí)t△BOA， 有， 得OC=20B′， 在Rt△B′OC中，設(shè)OB

31、′=x0（x0>0），則OC=2x0， 由（Ⅱ）的結(jié)論，得2x0=， 解得x0=， ∵x0>0， ∴x0=， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為。 12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=mx2﹣x+n的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2． （1）求出該拋物線(xiàn)的解析式． （2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長(zhǎng)的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和C．現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究： ①將三角板從圖1中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．請(qǐng)你觀(guān)察

32、、猜想，在這個(gè)過(guò)程中，的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，求出的值． ②設(shè)（1）中的拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在①的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （1）∵拋物線(xiàn)y=mx2﹣x+n經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴n=0． ∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，∴﹣=2，解得m=． ∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2﹣x． （2）①的值不變．理由如下： 如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=AO=2． ∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF． 在Rt△PAE與Rt△PGF中， ∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠P

33、GF=90， ∴Rt△PAE∽R(shí)t△PGF． ∴==． ②存在． 拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2﹣x， 令y=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）． 又y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣1，∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，﹣1）． 若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形： （I）FM=FD．如答圖2所示： 過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則MN=1，ND=2，MD===． 設(shè)FM=FD=x，則NF=ND﹣FD=2﹣x． 在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2， 即：（2﹣x）2+1=x2，解得：x=， ∴FD=，OF=OD﹣FD=4﹣=， ∴F（，0）；

34、 （II）若FD=DM．如答圖3所示： 此時(shí)FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=4﹣． ∴F（4﹣，0）； （III）若FM=MD． 由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)點(diǎn)F與原點(diǎn)O重合． 而由題意可知，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合后即停止運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)F不可能運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O． ∴此種情形不存在． 綜上所述，存在點(diǎn)F（，0）或F（4﹣，0），使△DMF為等腰三角形． 如圖1，兩塊等腰直角三角板ABC和DEF有一條邊在同一條直線(xiàn)l上，∠ABC =∠DEF = 90，AB = 1，DE = 2．將直線(xiàn)EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，交直線(xiàn)AD于點(diǎn)M．將圖1中的三角板ABC沿直線(xiàn)l向右平移，設(shè)C、E兩點(diǎn)間的距離為

35、x． 11、 （第11題圖1） C D E A F M l B （第11題圖2） D E F(C) A B M l 請(qǐng)你和艾思軻同學(xué)一起嘗試探究下列問(wèn)題： （1）①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，如圖2所示，可得的值為 ； ②在平移過(guò)程中，的值為 （用含x的代數(shù)式表示）； （2）艾思軻同學(xué)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變． 當(dāng)點(diǎn)A落在線(xiàn)段DF上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)你幫他補(bǔ)全圖形，并計(jì)算的值； （3）艾思軻同學(xué)又將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，，

36、原題中的其他條件保持不變．請(qǐng)你計(jì)算的值（用含x的代數(shù)式表示）． （第11題備用圖） D E F l （第11題圖3） D E F(C) l A B 11．解：（1）① 1． ………………………………………………………………………（2分） ②． ………………………………………………………………………（2分） （2）聯(lián)結(jié)AE，補(bǔ)全圖形如圖1所示．…………………………………………（1分） ∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形， ∠ABC =∠DEF = 90，AB = 1，DE = 2， ∴BC = 1，EF = 2，∠DFE

37、=∠ACB = 45． ∴，，∠EFB = 90． ∴，∴點(diǎn)A為DF的中點(diǎn)．………………………（1分） ∴EA⊥DF，EA平分∠DEF． ∴∠MAE = 90，∠AEF = 45，． ∵∠MEB =∠AEF = 45，∴∠MEA =∠BEF． ∴Rt△MAE∽R(shí)t△BFE．……………………………………………………（1分） ∴，∴．……………………………………………（1分） （第25題圖1） D E F(C) l A B M （第25題圖2） D E A F M l C B G ∴，∴．……………………（1分）

38、 （3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線(xiàn)交直線(xiàn)EM于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)AG． ∵∠EBG = 90，∠BEM = 45，∴∠BGE = 45． ∴BE = BG．…………………………………………………………………（1分） ∵∠ABC =∠EBG = 90，∴∠ABG =∠CBE．……………………………（1分） 又∵BA = BC，∴△ABG≌△CBE．………………………………………（1分） ∴AG = CE = x，∠AGB =∠CEB． ∵∠AGB +∠AGM =∠CEB +∠DEM = 45， ∴∠AGM =∠DEM，∴AG∥DE．…………………………………………（1分） ∴．…

39、………………………………………………………（1分） 注：第（3）小題直接寫(xiě)出結(jié)果不得分 10、如圖，拋物線(xiàn)：y＝ax2＋bx＋4與x軸交于點(diǎn)A(－2，0)和B(4，0)、與y軸交于點(diǎn)C． (1)求拋物線(xiàn)的解析式； (2)T是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)T的坐標(biāo)； 3)點(diǎn)M、Q分別從點(diǎn)A、B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸同時(shí)出發(fā)相向而行．當(dāng)點(diǎn)M原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q立刻掉頭并以每秒3/2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l⊥軸，交AC或BC于點(diǎn)P．求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)與△APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出

40、S的最大值． （1)、 ⑵ ⑶ 9、 如圖 (1)，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90，固定△ABC，將△EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止，不考慮旋轉(zhuǎn)開(kāi)始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）分別交BC(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))于G、H點(diǎn)，如圖(2). (1)問(wèn)：始終與△AGC相似的三角形有( )及( )； (2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖(2)的情況說(shuō)明理由）； (3)問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形？ 解：(1)△HG

41、A及△HAB； (2)由(1)可知△AGC∽△HAB ∴即＝，所以，y＝ (3)當(dāng)CG＜BC時(shí)，∠GAC＝∠H＜∠HAC， ∴ACAG,AH>GH 此時(shí)，△AGH不可能是等腰三角形； 當(dāng)CG=BC時(shí)，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合， △AGH是等腰三角形; 此時(shí)，GC=，即x= 當(dāng)CG>BC時(shí)， 由(1)可知△AGC∽△HGA， 所以，若△AGH是等腰三角形，只可能存在AG＝AH 若AG＝AH，則AC＝CG，此時(shí)x＝9． 綜上，當(dāng)x＝9或時(shí)，△AGH是等腰三角形． 8、如圖，

42、已知二次函數(shù)y=的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸 交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC． (1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)______ ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______ ； (2)線(xiàn)段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)點(diǎn)P為x軸上方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)? 28．解：（1）A（0，4），C（8，0）．…………………………………………………………2分 （2）易得D（3，0），CD=5．設(shè)直線(xiàn)A

43、C對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為， 則 解得 ∴． ……………………………………3分 ①當(dāng)DE=DC時(shí)，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴（0，4）． ………………………4分 ②當(dāng)ED=EC時(shí)，可得（，）．……………5分 ③當(dāng)CD=CE時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD， 則△CEG ∽△CAO，∴． 即，，∴（，）．……………………………………6分 綜上，符合條件的點(diǎn)E有三個(gè)：（0，4），（，），（，）． （3）如圖，過(guò)P作PH⊥OC，垂足為H，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)Q． 設(shè)P（m，），則Q（，）．

44、 ①當(dāng)時(shí)， PQ=（）()=， ，…………………………7分 ∴； ……………………………………………………………………………8分 ②當(dāng)時(shí)， PQ=（）()=， ， ∴．………………………………………………………………………………9分 故時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)．………………………………………………10分 7、如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B． （1）求拋物線(xiàn)的解析式 （2）在拋物線(xiàn)上求點(diǎn)M，使△MOB的面積是△AOB面積的2倍； （3）點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、B、P、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。