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1、 函 數(shù) 的 極 限 與 連 續(xù) 極 限 的 運(yùn) 算 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 數(shù) 學(xué) 建 模 案 例 函 數(shù) 的 概 念 函 數(shù) 的 極 限 XXXXX 函 數(shù) 的 極 限 無 窮 小 與 無 窮 大 極 限 的 運(yùn) 算 法 則 兩 個(gè) 重 要 極 限 數(shù) 學(xué) 模 型 的 概 念 數(shù) 學(xué) 建 模 過 程 第 一 章 函 數(shù) 的 極 限 與 連 續(xù) 一 、 函 數(shù) 的 概 念二 、 函 數(shù) 的 極 限三 、 無 窮 小 與 無 窮 大 因 變 量 自 變 量 .)(, 000 處 的 函 數(shù) 值為 函 數(shù) 在 點(diǎn)稱時(shí)當(dāng) xxfDx .),( 稱 為 函 數(shù) 的 值 域函 數(shù) 值 全 體 組 成

2、的 數(shù) 集DxxfyyW 數(shù) 集 D叫 做 這 個(gè) 函 數(shù) 的 定 義 域( )y f x ( ) )0 x0( )f x 自 變 量因 變 量對 應(yīng) 法 則 f函 數(shù) 的 兩 要 素 : 定 義 域 與 對 應(yīng) 法 則 .x y DW約 定 :定 義 域 是 自 變 量 所 能 取 的 使 算 式 有 意 義的 一 切 實(shí) 數(shù) 值 . 21y x 例 如 ， 1,1: D211y x 例 如 ， )1,1(: D (1)符 號 函 數(shù) 01 00 01sgn xxxxy 當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾 個(gè) 特 殊 的 函 數(shù) 舉 例 1 -1 xyo xxx sgn (3)取 整 函 數(shù) y=x x表 示 不 超

3、 過 的 最大 整 數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3 xyo階 梯 曲 線x 22 1, 0( ) 1, 0 x xf x x x 例 如 , 12 xy12 xy在 自 變 量 的 不 同 變 化 范 圍 中 ,對 應(yīng) 法 則 用 不 同 的式 子 來 表 示 的 函 數(shù) ,稱 為 分 段 函 數(shù) .(3)分 段 函 數(shù) 例 1 .)3(,212 101)( 的 定 義 域求 函 數(shù)設(shè) xfxxxf解 2312 1301)3( xxxf 212 101)( xxxf 122 231 xx 1,3: fD故 M-M y xoy=f(x) X有 界

4、 無 界M-M y xo X0 x ,)(,0, 成 立有若 MxfXxMDX （ 1） 函 數(shù) 的 有 界 性 : .)( 否 則 稱 無 界上 有 界在則 稱 函 數(shù) Xxf （ 2） 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 : ,)( DIDxf 區(qū) 間的 定 義 域 為設(shè) 函 數(shù) , 2121 時(shí)當(dāng)及上 任 意 兩 點(diǎn)如 果 對 于 區(qū) 間 xxxxI ;)( 上 是 單 調(diào) 增 加 的在 區(qū) 間則 稱 函 數(shù) Ixf ),()()1( 21 xfxf 恒 有 o )(xfy )( 1xf )( 2xf xy I1x 2x ;)( 上 是 單 調(diào) 減 少 的在 區(qū) 間則 稱 函 數(shù) Ixf , 212

5、1 時(shí)當(dāng)及上 任 意 兩 點(diǎn)如 果 對 于 區(qū) 間 xxxxI ),()()2( 21 xfxf 恒 有 )(xfy )( 1xf )( 2xf xyo I1x 2x （ 3） 函 數(shù) 的 奇 偶 性 :偶 函 數(shù) 有對 于關(guān) 于 原 點(diǎn) 對 稱設(shè) , DxD )()( xfxf xy x)( xf )(xfyo-x )(xf ;)( 為 偶 函 數(shù)稱 xf 有對 于關(guān) 于 原 點(diǎn) 對 稱設(shè) , DxD )()( xfxf ;)( 為 奇 函 數(shù)稱 xf奇 函 數(shù))( xf y x)(xfo x-x )(xfy （ 4） 函 數(shù) 的 周 期 性 :（ 通 常 說 周 期 函 數(shù) 的 周 期 是

6、 指 其 最 小 正 周 期 ） .2l 2l23l 23l 對 于 函 數(shù) f(x) ， 若 存 在 一 個(gè) 不 為 零 的 數(shù) l， 使 得關(guān) 系 式 對 于 定 義 域 內(nèi) 任 何 x值 都 成 立 ，則 f(x)叫 做 周 期 函 數(shù) ， l 稱 為 是 f(x)的 周 期 。 ( ) ( )f x l f x (1) 反 函 數(shù) 設(shè) 函 數(shù) 的 定 義 域 為 D， 值 域 為 W. 若 對 y W， D上都 有 唯 一 確 定 一 個(gè) 數(shù) 值 x 與 之 對 應(yīng) ， 且 (x)=y. 若 把 y 看 作 自 變 量 , x 看 作 因 變 量 ,則 稱 函 數(shù)x=f-1(y)為 函

7、 數(shù) y =(x) 的 反 函 數(shù) .而 原 函 數(shù) y =(x)為 直接 函 數(shù) ; x , y 互 換 便 有 y=(x) （ y=f-1(x)） , 從 而 函 數(shù) 與反 函 數(shù) 定 義 域 、 值 域 及 圖 象 間 有 一 定 的 關(guān) 系 . )(xfy 直 接 函 數(shù) xyo ),( abQ ),( baP )(xy 反 函 數(shù) 直 接 函 數(shù) 與 反 函 數(shù) 的 圖 形 關(guān) 于 直 線 對 稱 .xy （ 2） 復(fù) 合 函 數(shù) ,uy設(shè) ,1 2xu 21 xy ,自 變 量x ,中 間 變 量u ,因 變 量y例 ： 注 意 : 1.不 是 任 何 兩 個(gè) 函 數(shù) 都 可 以

8、復(fù) 合 成 一 個(gè)復(fù) 合 函 數(shù) 的 ;2.復(fù) 合 函 數(shù) 可 以 由 兩 個(gè) 以 上 的 函 數(shù) 經(jīng) 過 復(fù)合 構(gòu) 成 . cot ,2xy= ,y u= cot ,u v= .2xv=例 如 ： 2, 1y u u x 例 如 ： (1) 冪 函 數(shù) )( 是 常 數(shù) xy o xy )1,1(112xy xyxy 1 xy (2) 指 數(shù) 函 數(shù) )1,0( aaay x xay xay )1( )1( a)1,0( xy e (3) 對 數(shù) 函 數(shù) )1,0(log aaxy a y=lnxxy alog xy a1log )1( a)0,1( (4) 三 角 函 數(shù)正 弦 函 數(shù) x

9、y sinxy sin xy cosxy cos余 弦 函 數(shù) 正 切 函 數(shù) xy tan xy tan xy cot余 切 函 數(shù) xy cot 正 割 函 數(shù) xy sec xy sec xy csc余 割 函 數(shù) xy csc (5) 反 三 角 函 數(shù) xy arcsinxy arcsin反 正 弦 函 數(shù) xy arccosxy arccos反 余 弦 函 數(shù) xy arctanxy arctan反 正 切 函 數(shù) 冪 函 數(shù) ,指 數(shù) 函 數(shù) ,對 數(shù) 函 數(shù) ,三 角 函 數(shù) 和 反三 角 函 數(shù) 統(tǒng) 稱 為 基 本 初 等 函 數(shù) .xy cot反 余 切 函 數(shù) arc x

10、y cotarc 初 等 函 數(shù) 由 常 數(shù) 和 基 本 初 等 函 數(shù) 經(jīng) 過 有 限 次 四 則 運(yùn) 算和 有 限 次 的 函 數(shù) 復(fù) 合 步 驟 所 構(gòu) 成 并 可 用 一 個(gè) 式 子表 示 的 函 數(shù) ,稱 為 初 等 函 數(shù) . 我 們 以 后 遇 到 的 函 數(shù) 大 多 都 是 初 等 函 數(shù) ， 分 段函 數(shù) 除 外 。 思 考 題 1 思 考 題 1解 答設(shè) ux 1則 2111 uuuf ,11 2u u故 )0(.11)( 2 xx xxf 二 、 函 數(shù) 的 極 限領(lǐng) 域 ： 設(shè) 是 某 個(gè) 正 數(shù) ， 稱 開 區(qū) 間 (x0- , x0+ )為以 為 x0中 心 ， 以

11、 為 半 徑 的 鄰 域 ， 簡 稱 點(diǎn) x0的 鄰 域 ，記 為 U(x0, )空 心 領(lǐng) 域 ： 0( , )U x 1. x 時(shí) 函 數(shù) (x)的 極 限 （ 1） 設(shè) 函 數(shù) (x)， 當(dāng) x0且 無 限 增 大 時(shí) ， 函 數(shù) (x)趨于 一 個(gè) 確 定 的 常 數(shù) A， 則 稱 函 數(shù) (x)當(dāng) x 時(shí) 以 A為極 限 .記 lim ( ) x f x A 或 ( ) ( ).f x Ax 如 ： 1lim 0,lim 0,limarctan .2xx x xe xx (2) 設(shè) 函 數(shù) (x),當(dāng) x0且 x的 絕 對 值 無 限 增 大 時(shí) ， 函 數(shù) (x)趨于 一 個(gè) 確

12、定 的 常 數(shù) A， 則 稱 函 數(shù) (x)當(dāng) x 時(shí) 以 A為 極 限 .記 lim ( ) x f x A 或 ( ) ( ).f x Ax 如 ： 1lim 0, lim 0, limarctan .2x x x xe xx 定 義 2： 設(shè) 函 數(shù) (x),當(dāng) x的 絕 對 值 無 限 增 大 時(shí) ， 函 數(shù) (x)趨 于 一 個(gè) 確 定 的 常 數(shù) A， 則 稱 函 數(shù) (x)當(dāng) x 時(shí) 以 A為極 限 .記 lim ( ) ( ) ( ). x f x A f x A x 或 定 理 1 函 數(shù) y =(x)當(dāng) x 時(shí) 極 限 存 在 且 為 A的 充 要 條件 是 函 數(shù) y =

13、(x)當(dāng) x 與 x 時(shí) 極 限 都 存 在 且等 于 A. 即lim ( ) lim ( ) lim ( )x x xf x A f x f x A 例 2 1(1) lim 0;1(2) lim 0 ( 0);(3) lim 0. x kx xx x kxe 2. xx0 時(shí) 函 數(shù) (x)的 極 限當(dāng) x從 大 于 1和 小 于 1的 方 向 趨 于 1即 當(dāng)x 1時(shí) ,函 數(shù) (x)無 限 接 近 于 1, 記 為 f(x)1 o xy 11 y = x(1,1)例 3 函 數(shù) y =(x) = x (如 右 圖 )例 如 1 0lim 1 , limarctan 0 .x xx x

14、例 4 00 0 0000 00 021 (1) lim (C );(2) lim ( ) ;lim , , lim , 0 , lim .2 2(3) lim ?1x xx x x x n nx xn n x xx C Cax b ax bx xn x xx x xxx 為 常 數(shù)特 別 地 ： 當(dāng) 為 正 整 數(shù) 時(shí)當(dāng) 時(shí)注 ： (3)中 函 數(shù) 雖 在 x=1處 無 定 義 ,但 x 時(shí) 極 限 卻 存 在 .這說 明 函 數(shù) 在 x 0點(diǎn) 的 極 限 是 否 存 在 與 函 數(shù) 在 x0 處 有 無 定 義 無關(guān) .這 是 因 為 函 數(shù) 在 x0點(diǎn) 的 極 限 是 函 數(shù) 在 x0

15、附 近 的 變 化 趨 勢 , 而 不 是 在 x0處 函 數(shù) 值 。 如3. 函 數(shù) (x)的 左 、 右 極 限 ( 0)y x x (1) 左 極 限 當(dāng) x 從 x0 左 側(cè) (小 于 )趨 于 x0 時(shí) , (x)以 A為 極 限 . 則 A是 (x)在 x0處 的 左 極 限 . 記 為 0 0lim ( ) ( 0) .x x f x A f x A 或 則 只 能 考 察 x 從 0 的 右 側(cè) 趨 于0 時(shí) 的 極 限 . 因 而 必 須 引 進(jìn) 左 、 右 極 限 的 概 念 .(2)右 極 限 當(dāng) x從 x 0 右 側(cè) (大 于 )趨 于 x0 時(shí) , (x)以 A為 極

16、 限 . 則 A是(x)在 x0 處 的 右 極 限 . 記 為0 0lim ( ) ( 0) .x x f x A f x A 或 左 極 限 和 右 極 限 統(tǒng) 稱 為 單 側(cè) 極 限 .它 們 之 間 有 如 下 關(guān) 系 :定 理 2. 函 數(shù) y = (x)當(dāng) x x0 時(shí) 極 限 存 在 且 為 A的 充 要 條件 是 函 數(shù) y = (x)的 左 極 限 和 右 極 限 都 存 在 且 等 于 A。 即 0 0 0lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x xf x A f x f x A 此 定 理 給 出 了 怎 樣 利 用 單 側(cè) 極 限 判 斷 函 數(shù)

17、 極 限存 在 的 方 法 ; 特 別 對 分 段 函 數(shù) 適 用 . 例 5 設(shè) (x)=|x| ,求 , 0 , 0 x xx x x 0lim ( ).x f x解 因 0 00 0(0 ) lim ( ) lim 0,(0 ) lim ( ) lim( ) 0.x xx xf f x xf f x x 則故 0lim 0.x x 討 論 下 列 函 數(shù) 當(dāng) x 時(shí) 的 極 限 .(1 ) ( ) ; ( 2 ) ( ) . f x x xxf x x o xy y =|x| 例 6 y = x在 x1 時(shí) 極 限 是 否 存 在 ？解 因 11(1 0 ) lim ( ) 1 ,(1

18、0 ) lim ( ) 0 .xxf f xf f x 故 1 1lim lim x xy x 不 存 在 . o xy 1 12 , 0 1( ) 0 , 1 , lim ( ).3 , 1 2 xx xf x x f xx x 求例 7解 因 1 11 1(1 0) lim ( ) lim(3 ) 2,(1 0) lim ( ) lim2 2.x xx xf f x xf f x x 12 lim ( ) 2.x f x 由 定 理 有 三 、 無 窮 小 量 與 無 窮 大 量 研 究 函 數(shù) 極 限 時(shí) , 有 兩 種 變 量 非 常 重 要 . 一 種 是 在極 限 過 程 中 變

19、量 可 以 無 限 變 小 , 而 且 要 多 么 小 就 有 多 小 ; 一 種 是 在 極 限 過 程 中 , 變 量 可 以 無 限 變 大 , 而 且 要 多 么大 就 有 多 大 .我 們 分 別 將 它 們 稱 為 無 窮 小 量 和 無 窮 大 量 . 1.無 窮 小 量定 義 4 以 零 為 極 限 的 變 量 稱 為 無 窮 小 量 . 例 :1 .xx 是 時(shí) 的 無 窮 小 量 0limsin 0 sin 0 .x x x x 是 時(shí) 的 無 窮 小 量1lim 0lim 0lim 0 x xx xx xee .xe x 是 時(shí) 的 無 窮 小 量 .xe x 是 時(shí) 的

20、 無 窮 小 量0 0 0 0lim( ) 0 .x x x x x x x x 是 時(shí) 的 無 窮 小 量 注 1. 很 小 很 小 的 非 零 常 量 不 是 無 窮 小 量 , 但 數(shù) “ 0”是 無 窮 小 量 ; 而 無 窮 小 量 卻 不 一 定 是 數(shù) “ 0” , 僅 極 限值 為 0.無 窮 小 量 的 性 質(zhì) :性 質(zhì) 1. i 0( 1,2, , ),i n 設(shè) 在 某 一 極 限 過 程 下 有 則在 此 極 限 過 程 下 有注 2. 無 窮 小 量 與 自 變 量 的 變 化 過 程 有 關(guān) .1(1) 0;n ii 1(2) 0.n ii 性 質(zhì) 2. 有 界 變

21、 量 (x)與 無 窮 小 量 (x)之 積 仍 為 無 窮 小 量 .例 0 1 sinlim sin 0, lim 0 x x xx x x 2. 無 窮 大 量 0lim ( ) lim ( )x x xf x f x （ 或 ）注 1 無 窮 大 量 是 一 個(gè) 絕 對 值 可 以 任 意 變 大 的 變 量 , 而不 是 一 個(gè) 很 大 的 常 量 . 當(dāng) (x)取 正 值 無 限 增 大 (取 負(fù) 值絕 對 值 無 限 增 大 )時(shí) , 稱 為 正 無 窮 大 量 (負(fù) 無 窮 大 量 ). lim ( ) lim ( )f x f x （ 或 ）注 2 通 常 lim ( ) f

22、 x 記 為 是 極 限 不 存 在 的 記 號定 義 5 如 果 時(shí) ， 無 限 增 大 ， 則 稱函 數(shù) (x)為 該 變 化 過 程 下 的 無 窮 大 量 . 記 為0 x x x或 ( )f x 無 窮 小 量 與 無 窮 大 量 的 關(guān) 系 ：定 理 3 在 自 變 量 的 同 一 變 化 趨 勢 下 , 無 窮 大 量 的 倒 數(shù) 為無 窮 小 量 ;非 零 無 窮 小 量 的 倒 數(shù) 為 無 窮 大 量 . 由 此 定 理 可 知 , 要 證 lim ( ) f x 1lim 0 ( )f x 例 8 求 221 3lim .5 4x xx x 2 22 21 15 4 3li

23、m =0, lim3 5 4x xx x xx x x 解 只 需 證即 可 . (1) 若3. 無 窮 小 量 階 的 比 較 無 窮 小 量 都 是 以 0為 極 限 , 但 它 們 趨 于 0的 “ 速 度 ” 卻 不 一 定 相 同 .例2 0 , , , ,x x x x當(dāng) 時(shí) 都 是 無 窮 小 量 y=2xy=x2 0 , 0 .x x x x 但 的 速 度 比 “ 慢 ” 的 速 度 比 “ 快 ” 為 了 描 述 這 種 情 況 , 有 下 述 定 義 :設(shè) (x), (x)是 同 一 極 限 過 程 中 的 兩 個(gè) 無 窮 小 量 ,( )lim 0( )xx ,則 稱

24、(x)是 比 (x)更 高 階 的無 窮 小 量 ,記 為 (x) = o(x) (3) 若 ,則 稱 (x)是 比 (x)更 低 階 的 無 窮 小 量 ,記 為( )lim ( )xx ( )lim 0( )x Cx (2) 若 ,則 稱 (x)與 (x)是 同 階 的 無 窮 小 量 ,特 別 地 , 當(dāng) C = 1時(shí) , 則 稱 (x)與 (x)是 等 價(jià) 的 無 窮 小 量 ,記 為 (x) (x) (x) = O( (x). 例 :0 11.lim .2 2x xx 故 當(dāng) x0時(shí) , x與 2 x 是 同 階 的 無 窮 小 量 . 故 當(dāng) x 時(shí) , x2是 比 x 更 高 階 的 無 窮 小 量 .故 當(dāng) x0時(shí) ,sin x與 x是 等 價(jià) 的 無 窮 小 量 . 0 sin3.lim 1.x xx 202.lim 0.x xx 作 業(yè) ： 習(xí) 題 1.1： 1、 2、 6、 8、 9