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第四節(jié) 隨機(jī)事件的概率,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)基本概念: ①必然事件:在條件S下,_______發(fā)生的事件,叫做相對(duì)于條件S的必 然事件. ②不可能事件:在條件S下,_________發(fā)生的事件,叫做相對(duì)于條件S 的不可能事件. ③確定事件:_____事件與_______事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件.,一定會(huì),一定不會(huì),必然,不可能,④隨機(jī)事件:在條件S下_____________________的事件,叫做相對(duì)于 條件S的隨機(jī)事件. ⑤頻數(shù)、頻率:在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出 現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的______為事件A出現(xiàn)的頻數(shù);稱事件A出 現(xiàn)的比例fn(A)= 為事件A出現(xiàn)的頻率. ⑥概率:對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件A發(fā)生 的頻率fn(A)穩(wěn)定在___________,把這個(gè)常數(shù)記作P(A),稱為事件A的 概率.,可能發(fā)生也可能不發(fā)生,次數(shù)nA,某個(gè)常數(shù)上,(2)事件的關(guān)系與運(yùn)算:,包含,包含于,B?A且A?B,A∪B,(或A+B),A∩B,(或AB),不可能,不可能,(3)概率的幾個(gè)基本性質(zhì): ①概率的取值范圍:___________. ②必然事件的概率為__. ③不可能事件的概率為__. ④概率的加法公式:如果事件A與事件B互斥,則P(A∪B)=__________. ⑤對(duì)立事件的概率:若事件A與事件B互為對(duì)立事件,則A∪B為必然事 件,P(A∪B)=__,P(A)=_______.,0≤P(A)≤1,1,0,P(A)+P(B),1-P(B),1,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥. (2)事件A的對(duì)立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含 的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:近似代替法、正難則反法、轉(zhuǎn)化法. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想. (3)記憶口訣:不可能隨機(jī)與必然 概率介于0與1間 對(duì)立含于互斥中 正難你就求反面,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.( ) (2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事.( ) (3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中,概率是頻率的穩(wěn)定值.( ) (4)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.頻率是在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn),頻數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值,它是概率的一個(gè)近似值,頻率是隨機(jī)的,概率是一個(gè)客觀存在的確定的數(shù)值. (2)錯(cuò)誤.在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件;條件每實(shí)現(xiàn)一次,叫做一次試驗(yàn),如果試驗(yàn)結(jié)果無(wú)法確定,叫做隨機(jī)試驗(yàn).,(3)正確.由概率的定義可知,在大量重復(fù)試驗(yàn)中,概率是頻率的穩(wěn)定值. (4)正確.兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生. 答案:(1) (2) (3)√ (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修3P123T1改編)若A,B為互斥事件,則P(A)+P(B) 1. 【解析】由互斥事件概率的性質(zhì)可知:P(A)+P(B)≤1. 答案:≤,(2)(必修3P124T6改編)袋中裝有9個(gè)白球,2個(gè)紅球,從中任取3個(gè)球,則①恰有1個(gè)紅球和全是白球;②至少有1個(gè)紅球和全是白球;③至少有1個(gè)紅球和至少有2個(gè)白球;④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球.在上述事件中,是對(duì)立事件的為 . 【解析】至少有1個(gè)紅球和全是白球不同時(shí)發(fā)生,且一定有一個(gè)發(fā)生.所以②中兩事件是對(duì)立事件. 答案:②,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014廣東高考)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取7個(gè)不同的數(shù),則這7個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為 . 【解析】6之前6個(gè)數(shù)中取3個(gè),6之后3個(gè)數(shù)中取3個(gè),所求概率為 P= 答案:,(2)(2014上海高考)為強(qiáng)化安全意識(shí),某商場(chǎng)擬在未來(lái)的連續(xù)10天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練,則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率是 (結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示). 【解題提示】選擇的3天恰好為連續(xù)的3天共有8種選法,而總的選法120種,根據(jù)古典概型概率公式易得.,【解析】基本事件總數(shù)為120,3天恰好連續(xù)共有8種選法,所以所求的概率為P= 答案:,(3)(2015哈爾濱模擬)若A,B為互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,則P(B)= . 【解析】因?yàn)锳,B為互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B).所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3. 答案:0.3,考點(diǎn)1 隨機(jī)事件及其頻率和概率 【典例1】假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等,為了解它們的使用壽命,現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示:,(1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率. (2)這兩種品牌產(chǎn)品中,某個(gè)產(chǎn)品已使用了200小時(shí),試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率.,【解題提示】(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的頻率,利用頻率估計(jì)概率. (2)分析壽命大于200小時(shí)的甲、乙品牌的產(chǎn)品數(shù),計(jì)算甲產(chǎn)品的頻率,從而估計(jì)概率.,【規(guī)范解答】(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的頻率為 所以估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率為 . (2)根據(jù)抽樣結(jié)果,壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品共有75+70=145(個(gè)),其中 甲品牌產(chǎn)品是75個(gè). 所以在樣本中,壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是 所以估計(jì)已使用了200小時(shí)的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為,【規(guī)律方法】 1.概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機(jī)的,而概率是一個(gè)確定的值,通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值. 2.隨機(jī)事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率,即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn),事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)就是概率.,【變式訓(xùn)練】1.給出下列命題,其中正確命題有 個(gè). ①有一大批產(chǎn)品,已知次品率為10%,從中任取100件,必有10件是次品; ②做7次拋硬幣的試驗(yàn),結(jié)果3次出現(xiàn)正面,因此正面出現(xiàn)的概率是 ; ③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率. 【解析】①錯(cuò),不一定是10件次品;②錯(cuò), 是頻率而非概率;③錯(cuò),頻 率不等于概率,這是兩個(gè)不同的概念. 答案:0,2.某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如表所示:,這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米. (1)完成下表,并求所種作物的平均年收獲量: (2)在所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量至少為48kg的概率.,【解析】(1)所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物 株數(shù)為1的作物有2株,“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株,“相近”作 物株數(shù)為3的作物有6株,“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株,列表如下:,所種作物的平均年收獲量為 (2)由(1)知，P(Y＝51)＝ ，P(Y＝48)＝ . 故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48 kg的概率為 P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝,【加固訓(xùn)練】A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到火車站的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:,(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率. (2)分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間內(nèi)的概率. (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明,他們?nèi)绾芜x擇各自的路徑.,【解析】(1)由已知共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人,因此用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44. (2)選擇路線L1的有60人,選擇路線L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得出的頻率為:,(3)設(shè)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí),在40分鐘內(nèi)趕到火車站;B1,B2分 別表示乙選擇L1和L2時(shí),在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由(2)知:P(A1)=0.1+ 0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),所以甲應(yīng)選擇L1.又因 為P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B1)P(B2), 所以乙應(yīng)選擇L2.,考點(diǎn)2 隨機(jī)事件間的關(guān)系 【典例2】(1)從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球的口袋中任取2個(gè)球,以下給出了三組事件: ①至少有1個(gè)白球與至少有1個(gè)黃球; ②至少有1個(gè)黃球與都是黃球; ③恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球. 其中互斥而不對(duì)立的事件共有( ) A.0組 B.1組 C.2組 D.3組,(2)某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,判斷下列各對(duì)事件是否是互斥事件,并說(shuō)明理由. ①恰有1名男生和恰有兩名男生; ②至少有1名男生和至少有1名女生; ③至少有1名男生和全是男生; ④至少有1名男生和全是女生.,【解題提示】(1)對(duì)立事件是在互斥的基礎(chǔ)之上,在一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件必定有一個(gè)要發(fā)生.根據(jù)這個(gè)定義,對(duì)各選項(xiàng)依次加以分析,不難得出符合題意的答案. (2)判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件,就是考慮它們能否同時(shí)發(fā)生,如果不能同時(shí)發(fā)生,就是互斥事件,否則就不是互斥事件.,【規(guī)范解答】(1)選A.對(duì)于①,“至少有1個(gè)白球”發(fā)生時(shí),“至少有1個(gè)黃球”也會(huì)發(fā)生,比如恰好一個(gè)白球和一個(gè)黃球,故①中的兩個(gè)事件不互斥. 對(duì)于②,“至少有1個(gè)黃球”說(shuō)明有黃球,黃球的個(gè)數(shù)可能是1或2,而“都是黃球”說(shuō)明黃球的個(gè)數(shù)是2,故這兩個(gè)事件不是互斥事件. ③“恰有1個(gè)白球”與“恰有1個(gè)黃球”,都表示取出的兩個(gè)球中,一個(gè)是白球,另一個(gè)是黃球.故不是互斥事件.故選A.,(2)①是互斥事件.理由是:在所選的2名同學(xué)中,“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男生和1名女生”,它與“恰有兩名男生”不可能同時(shí)發(fā)生,所以是一對(duì)互斥事件. ②不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“兩名都是女生”兩種結(jié)果,當(dāng)事件“有1名男生和1名女生”發(fā)生時(shí)兩個(gè)事件都發(fā)生了.,③不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”,這與“全是男生”可同時(shí)發(fā)生. ④是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果,它和“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生.,【互動(dòng)探究】第(1)題條件不變,根據(jù)摸出的結(jié)果寫出三對(duì)對(duì)立事件. 【解析】①至少有1個(gè)白球與2個(gè)全是黃球; ②至多有1個(gè)白球與2個(gè)全是白球; ③1個(gè)白球1個(gè)黃球與兩個(gè)都是白球或黃球.,【規(guī)律方法】 1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件,但可以同時(shí)不發(fā)生. (2)對(duì)立事件是特殊的互斥事件,特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生,即有且僅有一個(gè)發(fā)生.,2.判別互斥、對(duì)立事件的方法 判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件;兩個(gè)事件,若有且僅有一個(gè)發(fā)生,則這兩事件為對(duì)立事件,對(duì)立事件一定是互斥事件.,【變式訓(xùn)練】口袋里裝有1紅,2白,3黃共6個(gè)形狀相同的小球,從中取 出2球,事件A=“取出的兩球同色”,B=“取出的2球中至少有一個(gè)黃 球”,C=“取出的2球至少有一個(gè)白球”,D=“取出的兩球不同色”, E=“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號(hào)為 . ①A與D為對(duì)立事件;②B與C是互斥事件;③C與E是對(duì)立事件;④P(C∪E) =1;⑤P(B)=P(C).,【解析】當(dāng)取出的2個(gè)球中一黃一白時(shí),B與C都發(fā)生了,故②錯(cuò);當(dāng)取出 的2個(gè)球中恰有一白球時(shí),C與E都發(fā)生了,故③錯(cuò);P(B)= ,P(C)= , 故⑤錯(cuò),①和④都是正確的. 答案:①④,【加固訓(xùn)練】從6個(gè)男生、2個(gè)女生中任選3人,則下列事件中必然事件是( ) A.3個(gè)都是男生 B.至少有1個(gè)男生 C.3個(gè)都是女生 D.至少有1個(gè)女生 【解析】選B.因?yàn)橹挥?個(gè)女生,任選3人,則至少有1人是男生.,考點(diǎn)3 互斥事件、對(duì)立事件的概率 知考情 互斥事件、對(duì)立事件概率的求解是高考考查概率的一個(gè)重要考向,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明角度 命題角度1:互斥事件的概率 【典例3】(2015長(zhǎng)沙模擬)經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候人數(shù)及相應(yīng)概率如下: (1)求至多2人排隊(duì)等候的概率是多少? (2)求至少3人排隊(duì)等候的概率是多少?,【解題提示】至多2人排隊(duì)等候,包含0人排隊(duì)等候、1人排隊(duì)等候與2人排隊(duì)等候3個(gè)互斥事件;至少3人排隊(duì)等候包含3人排隊(duì)等候、4人排隊(duì)等候與5人及以上排隊(duì)等候3個(gè)互斥事件. 【規(guī)范解答】設(shè)“至多2人排隊(duì)等候”為事件B,“至少3人排隊(duì)等候”為事件C, (1)P(B)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)P(C)=0.3+0.1+0.04=0.44.,命題角度2:對(duì)立事件的概率 【典例4】(2015唐山模擬)已知甲、乙兩人下棋,和棋的概率為 , 乙勝的概率為 ,則甲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為 . 【解題提示】“甲勝”的對(duì)立事件是“和棋或乙勝”;“甲不輸”可看作是“甲勝”與“和棋”這兩個(gè)互斥事件的和事件或“乙勝”的對(duì)立事件.,【規(guī)范解答】“甲勝”是“和棋或乙勝”的對(duì)立事件,所以“甲勝” 的概率為 方法一:設(shè)“甲不輸”為事件A,則A可看作是“甲勝”與“和棋”這 兩個(gè)互斥事件的和事件,所以P(A)= 方法二:設(shè)“甲不輸”為事件A,則A可看作是“乙勝”的對(duì)立事件,所 以P(A)= 答案:,【易錯(cuò)警示】解答本題有兩點(diǎn)容易出錯(cuò):(1)“甲勝”的對(duì)立事件為“乙勝”,從而造成錯(cuò)解.(2)“甲不輸”的對(duì)立事件為“乙不輸”,從而造成錯(cuò)誤.,悟技法 求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法 (1)直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率 的和,運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算. (2)間接求法,先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( ), 即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接 求法就顯得較簡(jiǎn)便.,通一類 1.(2015合肥模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事件A={抽到 一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A) =0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的不是一等品”的概率 為( ) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3,【解析】選C.事件“抽到的不是一等品”與事件A是對(duì)立事件,由于P(A)=0.65,所以由對(duì)立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率為P=1-P(A)=1-0.65=0.35.,2.(2015日照模擬)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說(shuō)法正確的是( ) A.A+B與C是互斥事件,也是對(duì)立事件 B.B+C與D是互斥事件,也是對(duì)立事件 C.A+C與B+D是互斥事件,但不是對(duì)立事件 D.A與B+C+D是互斥事件,也是對(duì)立事件,【解析】選D.因?yàn)锳,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D是 一個(gè)必然事件,故其事件的關(guān)系可由如圖所示的 Venn圖表示,由圖可知,任何一個(gè)事件與其余3個(gè) 事件的和事件必然是對(duì)立事件,任何兩個(gè)事件的 和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件.故選D.,3.(2015威海模擬)圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出2 粒都是黑子的概率為 ,都是白子的概率是 .則從中任意取出2粒 恰好是同一色的概率是 .,【解析】設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A,“從中取出2粒都是白 子”為事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C,則C=A∪B,且 事件A與B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)= .即任意取出2粒恰 好是同一色的概率為 . 答案:,4.(2015北京模擬)有編號(hào)為1,2,3的三個(gè)白球,編號(hào)4,5,6的三個(gè)黑球,這六個(gè)球除編號(hào)和顏色外完全相同,現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球. (1)求取得的兩個(gè)球顏色相同的概率. (2)求取得的兩個(gè)球顏色不相同的概率.,【解析】從六個(gè)球中取出兩個(gè)球的基本事件是: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共計(jì)15個(gè). (1)記事件A為“取出的兩個(gè)球是白球”,則這個(gè)事件包含的基本事件 是(1,2),(1,3),(2,3),共計(jì)3個(gè),故P(A)= 記“取出的兩個(gè)球是黑球”為事件B,同理可得P(B)=,記事件C為“取出的兩個(gè)球的顏色相同”,A,B互斥,根據(jù)互斥事件的 概率加法公式,得P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)= (2)記事件D為“取出的兩個(gè)球的顏色不相同”,則事件C,D對(duì)立,根據(jù) 對(duì)立事件概率之間的關(guān)系,得P(D)=1-P(C)=1-,自我糾錯(cuò)26 求互斥事件的概率 【典例】拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3, 4,5,6),事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”,事件B表示“朝上一 面的數(shù)不超過(guò)3”,則P(A∪B)=___.,【解題過(guò)程】,【錯(cuò)解分析】分析上面解題過(guò)程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:不清楚事件A,B的關(guān)系,誤以為事件A,B是互斥事件導(dǎo)致錯(cuò)解. 【規(guī)避策略】理解互斥事件、對(duì)立事件的含義,準(zhǔn)確按定義判斷事件的關(guān)系.有時(shí)需要利用轉(zhuǎn)化思想,將不互斥的事件,重新組合轉(zhuǎn)化為互斥事件.,【自我矯正】事件A∪B可以分成事件C=“朝上一面的數(shù)為1,2,3” 與事件D=“朝上一面的數(shù)為5”,則事件C和事件D互斥,故P(A∪B)= P(C∪D)=P(C)+P(D)= 答案:,