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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.3余弦定理（一）教案 北師大版必修5 知識(shí)梳理 余弦定理： (1)形式一：，， 形式二：，，，（角到邊的轉(zhuǎn)換）(2)解決以下兩類問(wèn)題： 1）、已知三邊，求三個(gè)角；（唯一解） 2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；（唯一解） 題型一 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求角 例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角. 解：∵＝＝＝k ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶ 設(shè)a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0) 則最大角為C.cosC＝ ＝＝－ ∴C＝120. 評(píng)析：在將已知條件中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用了正弦定理的變形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，這一轉(zhuǎn)化技巧，應(yīng)熟練掌握.在三角形中，大邊對(duì)大角，所以角C最大。 題型二 已知三角形的兩邊及夾角解三角形 例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的兩根，。 （1） 求角C的度數(shù)； （2） 求的長(zhǎng)； （3）求△ABC的面積。 解：(1) （2）因?yàn)椋欠匠痰膬筛?，所? （3） 評(píng)析：在余弦定理的應(yīng)用中，注意與一元二次方程中韋達(dá)定理的應(yīng)用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用兩根之和與兩根之差的特點(diǎn)。 備選題 正、余弦定理的綜合應(yīng)用 例3.在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，已知，且 求b 解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡(jiǎn)并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。 所以…………………………………① 又， ，即 由正弦定理得，故………………………② 由①，②解得。 評(píng)析:從近年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對(duì)問(wèn)題的分析和解決能力及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力.此題事實(shí)上比較簡(jiǎn)單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對(duì)已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺(jué)用余弦定理不好處理,而對(duì)已知條件(2) 過(guò)多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分. 例3．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，，，證明： 。 證明：由余弦定理知： ， 則 ， 整理得: ， 又由正弦定理得: ， ， 評(píng)析：三角形中的證明，應(yīng)充分利用正、余弦定理，三角函數(shù)的公式，在邊、角關(guān)系中，明確證明思路，都化為邊的關(guān)系或都化為角的關(guān)系。 . 點(diǎn)擊雙基 1．在△ABC中，若a=2, b=2, c=+,則∠A的度數(shù)是 ( ) (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75 解：=，A=30 答案：A 2．在△ABC中，若則 ( ) A． B． C． D． 解： 答案：B 3. 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 解：由2cosBsinA=sinC得a=c，∴a=b. 答案：C 4．在△ABC中，若∶∶∶∶，則_____________。 解：∶∶∶∶∶∶， 令 答案： 5. 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知 則A＝ . 解：由余弦定理可得， ∴ 答案： 課后作業(yè) 1．邊長(zhǎng)為的三角形的最大角與最小角的和是（ ） A． B． C． D． 解： 設(shè)中間角為，則為所求 答案：B 2. 以4、5、6為邊長(zhǎng)的三角形一定是（ ） A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 銳角或鈍角三角形 解：長(zhǎng)為6的邊所對(duì)角最大，設(shè)它為， 則 答案：A 3.如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 解：設(shè)頂角為C，因?yàn)椋? 由余弦定理得： 答案：D 4.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，若，則角B的值為（ ） A. B. C.或 D. 或 解：由得即 ,又B為△ABC的內(nèi)角，所以B為或 答案：D 5．在△ABC中，若，則最大角的余弦是（ ） A． B． C． D． 解： ，為最大角， 答案：C 6. 在中，，則三角形為（ ） A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 等腰三角形 D. 等邊三角形 解：由余弦定理可將原等式化為 答案：C 7.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則等于（ ） A． B．2 C． D． 解：由余弦定理得，，6=a+2+aa=或-2（舍去） 答案：D 8. 三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長(zhǎng)為（ ） A. 52 B. C. 16 D. 4 解：由題意得或2（舍去） 答案：B 二．填空題 9.△ABC中，若，則A= 解：= A= 答案： 10．在△ABC中，若則△ABC的形狀是_________。 解： 為最大角，為銳角 答案：銳角三角形 11．在銳角△ABC中，若，則邊長(zhǎng)的取值范圍是_________。 解： 答案： 三．解答題 12.在△ABC中： (1)已知b＝8，c＝3，A＝60，求a； (2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B； (3)已知a＝3，c＝2，B＝150，求b； (4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A. 解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得 a2＝82＋32－283cos60＝49，∴a＝7. (2)由cosB＝得 cosB＝＝0，∴B＝90. (3)由b2＝a2＋c2－2accosB得 b2＝(3)2＋22－232cos150＝49，∴b＝7. (4)由cosA＝得 cosA＝＝，∴A＝45. 13在△ABC中，，求。 解： ，而 所以 14半徑為R的圓外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．求角C； 解：(1)∵　 ∵　2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB ∴　2R［()2-()2］＝(a-b)∴　a2-c2＝ab-b2 ∴　∴　cosC＝，∴　C＝30