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2019-2020年高三數(shù)學理科新課抽樣方法、總體分布的估計、正態(tài)分布、線性回歸人教版 一. 本周教學內(nèi)容： 高三新課：抽樣方法、總體分布的估計、正態(tài)分布、線性回歸 二. 本周教學重、難點： 1. 抽樣方法：簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣。 2. 正態(tài)分布： （1）正態(tài)分布的密度函數(shù)：（） （2）正態(tài)曲線 （3）標準正態(tài)分布的密度函數(shù)：（） （4）標準正態(tài)曲線 （5）正態(tài)曲線的性質 【典型例題】 [例1] 為了了解參加某次數(shù)學競賽的1000名學生的成績，打算抽取一個容量為50的樣本，說明抽樣方法。 解：用系統(tǒng)抽樣法：假定這1000名學生的編號為1，2，…，1000，由于，將總體均分成50個部分，其中每一部分包含20個個體，假設第一部分的編號為1，2，…，20，然后在第一部分隨機抽取一個號碼（比如它是第18號），那么從該號碼開始，每隔20抽取一個號碼，這樣得到一個容量為50的樣本：18，38，58，…，978，998即為系統(tǒng)抽樣樣本。 [例2] 某學校有在編人員160人，其中行政人員16人，教師112人，后勤人員32人，教育部門為了了解學校機構改革意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，并寫出抽樣過程。 解：因為機構改革關系到各種人的不同利益，故采用分層抽樣方法較為妥當。 ∵ ，∴ ，，。 因行政人員和后勤人員較少，可將他們分別按1~16編號與1~32編號，然后采取抽簽法分別抽取2人和4人。對教師112人采用000，001，…，111編號，然后用隨機數(shù)表法抽取14人。 [例3] 某批零件共160個，其中，一級品有48個，二級品有64個，三級品32個，等外品16個，從中抽取一個容量為20的樣本。請說明分別用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被取到的概率均相同。 解： （1）簡單隨機抽樣法：可采取抽簽法，將160個零件按1~160編號，相應地制作了1~160個號簽，從中隨機抽20個，顯然每個個體被抽到的概率為。 （2）系統(tǒng)抽樣法：將160個零件從1至160編上號，按編號順序分成20組，每組8個，先在第1組用抽簽法抽得號（），則在其余組中分別抽取第（1，2，3，…，19）號，此時每個個體被抽到的概率為 （3）分層抽樣法：按比例，分別在一級品、二級品、三級品、等外品中抽取=6（個），（個），（個），（個），每個個體被抽到的概率分別為，即都是。 綜上可知，無論采取哪種抽樣，總體的每個個體被抽到的概率都是。 [例4] 某人在同一條件下射靶50次，其中射中5環(huán)或5環(huán)以下2次，射中6環(huán)3次，射中7環(huán)9次，射中8環(huán)21次，射中9環(huán)11次，射中10環(huán)4次。 （1）列出頻率分布表； （2）畫出表示頻率分布的條形圖； （3）根據(jù)上面結果，估計這名射擊者射中7環(huán)~9環(huán)的概率是多少。 解： （1）列出頻率分布表，如下 分組 頻數(shù) 頻率 累積頻率 5環(huán)或5環(huán)以下 2 0.04 0.04 6環(huán) 3 0.06 0.10 7環(huán) 9 0.18 0.28 8環(huán) 21 0.42 0.70 9環(huán) 11 0.22 0.92 10環(huán) 4 0.08 1.00 （2）頻率分布的條形圖如下 記5環(huán)或5環(huán)以下的為5，6環(huán)的為6，…，10環(huán)的為10。 （3）射中7環(huán)~9環(huán)的頻率為0.18+0.42+0.22=0.82，即射中7環(huán)~9環(huán)的概率均為0.82。 [例5] 標準正態(tài)分布表的應用：（1）求標準正態(tài)分布在（）內(nèi)取值的概率；（2）求正態(tài)總體N（1，4）取值小于3的概率。 解： （1） （2）對于N（）總有，所以對N（1，4）來說，，，則有，即正態(tài)總體N（1，4）取值小于3的概率是0.8413。 [例6] ，借助于表，求： （1）； （2）確定C的值，使得 解： （1） （2）∵ 又 ∴ ，而 查表，得，故，∴ C=3 [例7] 已知從某批材料中任取一件時，取得的材料的強度服從N（200，182） （1）計算取得的這件材料的強度不低于180的概率； （2）如果所用的材料要求以99%的概率保證強度不低于150，問這批材料是否符合這個要求。 解： （1） 查表，得 （2）可以先求出：這批材料中任取一件時強度都不低于150的概率是多少，根據(jù)這個結果與99%進行比較大小，從而得出結論。 即從這批材料中任取一件時，強度保證不低于150的概率為，所以這批材料符合所提要求。 [例8] 某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線可走，第一條路線穿過市區(qū)，路線較短，但交通擁擠，所需時間（單位：）服從正態(tài)分布N（50，）；第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時間服從正態(tài)分布N（60，）。 （1）若只有70min可用，問應走哪種路線？ （2）若只有65min可用，又應走哪條路線？ 解：設為行車時間。 （1）走第一條路線，及時趕到的概率為 走第二條路線及時趕到的概率為 因此在這種情況下應走第二條路線。 （2）走第一條路線及時趕到的概率為 走第二條路線及時趕到的概率為 因此在這種情況下應走第一條路線。 [例9] 一個工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本（萬元）與該月產(chǎn)量（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù)： 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 （1）畫出散點圖； （2）求月總成本與月產(chǎn)量之間的回歸直線方程。 （1）畫出的散點圖如下圖所示。 （2）列出下表，并用科學計算器進行有關計算： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 2.43 2.654 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6.653 7.245 ，， ，， 于是可得 1.215 因此所求的回歸直線方程是 【模擬試題】 一. 選擇題： 1. 在統(tǒng)計中，利用簡單隨機抽樣從個體數(shù)為201的總體中抽取一個容量為8的樣本，那么每個個體被抽到的概率為（ ） A. B. C. D. 2. 某影院有50排坐位，每排有30個座位，一次報告會坐滿了聽眾，會后留下所有座位號為18的聽眾50人進行座談，則采用的抽樣方法一定是（ ） A. 簡單隨機抽樣 B. 抽查 C. 隨機數(shù)表 D. 以上都不對 3. 要從已編號（1~50）的50部新生產(chǎn)的賽車中隨機抽取5部進行檢驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法所確定所選取的5部賽車的編號可能是（ ） A. 5，10，15，20，25 B. 3，13，23，33，43 C. 5，8，11，14，17 D. 4，8，12，16，20 4. 從總數(shù)為N的一批零件中采用分層抽樣的方法抽取一個容量為30的樣本，若每個零件被抽取的概率為0.25，則N=（ ） A. 150 B. 200 C. 120 D. 100 5. 若，，則（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 6. 若隨機變量，則 ~N（0，1） A. B. C. D. 7. 設~N（0，1）且P（1.623）=，那么P（）=（ ） A. B. C. D. 8. 設，，則=（ ） A. B. C. D. 二. 解答題： 1. 用簡單隨機抽樣的方法從含有6個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，試證明每個個體被抽到的概率相等。 2. 某班有48名同學，一次考試后數(shù)學成績服從正態(tài)分布，平均分為80，標準差為10，問從理論上講80分至90分之間有多少人？ 3. 設，求：（1）；（2）常數(shù)C，使 [參考答案] / 一. 1. C 2. D 3. B 4. C 5. A 6. C 7. C 8. C 二. 1. 解：對于總體中的任意指定的個體來說，在從總體中抽取第一個個體時被抽到的概率為，第一次未被抽到而第二次被抽到的概率也是（即，第一次未被抽到概率為），由于個體第一次被抽到與第二次被抽到是互斥事件，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，在先后抽取2個個體的過程中，個體被抽到的概率是，由的任意性知，即在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，都是。 2. 解：設表示這個班的數(shù)學成績，則 設，則 查標準正態(tài)分布表得 所以 ∴ 故該班分數(shù)落在80分到90分之間的大約有16人。 3. 解： （1） （2）由得 則 查表得 ∴