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2019-2020年高中數(shù)學(xué)4.1.2圓的一般方程教案新人教A版必修2 （一）教學(xué)目標(biāo) 1．知識與技能 （1）在掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件. （2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程. （3）培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力. 2．過程與方法 通過對方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力. 3．情感態(tài)度與價值觀 滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索. （二）教學(xué)重點、難點 教學(xué)重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F. 教學(xué)難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用. （三）教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 課題引入 問題：求過三點A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圓的方程. 利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程. 讓學(xué)生帶著問題進行思考 設(shè)疑激趣導(dǎo)入課題. 概念形成與深化 請同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x – a)2 + (y – b)2 = r2，圓心(a，b)，半徑r. 把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，并整理： x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0. 取D = –2a，E = –2b，F(xiàn) = a2 + b2 – r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0① 這個方程是圓的方程. 反過來給出一個形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？ 把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得 ②(配方過程由學(xué)生去完成)這個方程是不是表示圓？ （1）當(dāng)D2 + E2 – 4F＞0時，方程②表示以為圓心， 為半徑的圓； （2）當(dāng)D2 + E2 – 4F = 0時，方程只有實數(shù)解，即只表示一個點； （3）當(dāng)D2 + E2 – 4F＜0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形. 綜上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲線不一定是圓. 只有當(dāng)D2 + E2 – 4F＞0時，它表示的曲線才是圓，我們把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圓的方程稱為圓的一般方程. 整個探索過程由學(xué)生完成，教師只做引導(dǎo)，得出圓的一般方程后再啟發(fā)學(xué)生歸納. 圓的一般方程的特點： （1）①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0. ②沒有xy這樣的二次項. （2）圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了. （3）與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯. 通過學(xué)生對圓的一般方程的探究，使學(xué)生親身體會圓的一般方程的特點，及二元二次方程表示圓所滿足的條件. 應(yīng)用舉例 例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑. （1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0 （2）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0 解析：（1）將原方程變?yōu)? x2 + y2 – x + 3y += 0[D = –1，E =3，F(xiàn) =. ∵D2 + E2 – 4F = 1＞0∴此方程表示圓，圓心（，），半徑r =. （2）將原方程化為x2 + y2 – x + 3y += 0 D = –1，E =3，F(xiàn) =. D2 + E2 – 4F = –1＜0 ∴此方程不表示圓. 學(xué)生自己分析探求解決途徑：①用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式.②運用圓的一般方程的判斷方法求解.但是，要注意對于（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0來說，這里的D = –1，E = 3，而不是D = –4，E = 12，F(xiàn) = 9.[ 通過例題講解使學(xué)生理解圓的一般方程的代數(shù)特征及與標(biāo)準(zhǔn)方程的相互轉(zhuǎn)化更進一步培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的能力.] 例2 求過三點A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo). 分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標(biāo)，不妨試著先寫出圓的一般方程. 解：設(shè)所求的圓的方程為：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D、E、F的三元一次方程組： 即 解此方程組，可得：D= –8，E=6，F(xiàn) = 0 ∴所求圓的方程為：x2 + y2 – 8x + 6y = 0 ； . 得圓心坐標(biāo)為(4，–3). 或?qū)2 + y2 – 8x + 6y = 0左邊配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，從而求出圓的半徑r = 5，圓心坐標(biāo)為(4，–3). 例2 講完后 學(xué)生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟： 1．根據(jù)題設(shè)，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程. 2．根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組； 3．解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程. 例3 已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4，3)，端點A在圓上(x + 1)2 + y2 = 4運動，求線段AB的中點M的軌跡方程. 解：設(shè)點M的坐標(biāo)是(x，y)，點A的坐標(biāo)是(x0，y0)由于點B的坐標(biāo)是(4，3)且M是線段AB中重點，所以 ，① 于是有x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3 因為點A在圓(x + 1)2 + y2 = 4上運動，所以點A的坐標(biāo)滿足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ② 把①代入②，得 (2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4， 整理得 所以，點M的軌跡是以為圓心，半徑長為1的圓. M A x y O B 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)P130第1、2、3題. 教師和學(xué)生一起分析解題思路，再由教師板書. 分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標(biāo)滿足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立點M與點A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點M的軌跡方程. 歸納總結(jié) 1．圓的一般方程的特征 2．與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化 3．用待定系數(shù)法求圓的方程 4．求與圓有關(guān)的點的軌跡 教師和學(xué)生共同總結(jié) 讓學(xué)生更進一步（回顧）體會知識的形成、發(fā)展、完善的過程. 課后作業(yè) 布置作業(yè)：見習(xí)案4.1的第二課時 學(xué)生獨立完成 鞏固深化 備選例題 例1 下列各方程表示什么圖形？若表示圓，求出圓心和半徑. （1）x2 + y2 + x + 1 = 0； （2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)； （3）2x2 + 2y2 + 2ax – 2ay = 0 (a≠0). 【解析】（1）因為D ＝ 1，E ＝ 0，F(xiàn) ＝ 1， 所以D2 + E2 – 4F＜0 方程（1）不表示任何圖形； （2）因為D ＝ 2a，E ＝ 0，F(xiàn) ＝ a2， 所以D2 + E2 – 4F ＝ 4a2 – 4a2 = 0， 所以方程（2）表示點(–a，0)； （3）兩邊同時除以2，得x2 + y2 + ax – ay = 0， 所以D = a，E = – a，F(xiàn) = 0. 所以D2 + E2 – 4F＞0， 所以方程（3）表示圓，圓心為，半徑. 點評：也可以先將方程配方再判斷. 例2 已知一圓過P (4，–2)、Q(–1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為，求圓的方程. 【分析】涉及與圓的弦長有關(guān)的問題時，為簡化運算，則利用垂徑直徑定理和由半弦長、弦心距、半徑所構(gòu)成的三角形解之. 【解析】法一：設(shè)圓的方程為： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ① 將P、Q的坐標(biāo)分別代入①得 ② ③ 令x = 0，由①，得y2 + Ey + F = 0 ④ 由已知|y1 – y2| = ，其中y1，y2是方程④的兩根. ∴(y1 – y2)2 = (y1 + y2) – 4y1y2 = E2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤聯(lián)立成的方程組，得 故所求方程為：x2 + y2 – 2x – 12 = 0或x2 + y2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ的中垂線方程為x – y – 1 = 0 ① ∵所求圓的圓心C在直線①上，故設(shè)其坐標(biāo)為(a，a – 1)， 又圓C的半徑 ② 由已知圓C截y軸所得的線段長為，而圓C到y(tǒng)軸的距離為|a|. 代入②并將兩端平方，得a2 – 5a + 5 = 0， 解得a1 = 1，a2 = 5. ∴ 故所求的圓的方程為：(x – 1)2 + y2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37. 【評析】(1)在解本題時，為簡化運算，要避開直接去求圓和y軸的兩個交點坐標(biāo)，否則計算要復(fù)雜得多. （2）涉及與圓的弦長有關(guān)問題，常用垂徑定理和由半弦長、弦心距及半徑所構(gòu)成的直角三角形解之，以簡化運算. 例3 已知方程x2 + y2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一個圓，求 （1）t的取值范圍； （2）該圓半徑r的取值范圍. 【解析】原方程表示一個圓的條件是 D2 + E2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0 即7t2 – 6t – 1＜0，∴ （2） ∴ 來源：