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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案（5） 湘教版選修1-1 教學(xué)目標(biāo) 1、掌握橢圓的幾何性質(zhì)，掌握用坐標(biāo)法研究直線與橢圓的位置關(guān)系 2、熟練地求弦長、面積、對稱等問題 3、培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的理解能力及分析問題、解決問題的能力 教學(xué)過程 1、復(fù)習(xí)回顧 橢圓的定義、幾何性質(zhì) 判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法 2、探索研究 直線與橢圓的位置關(guān)系：坐標(biāo)法(圍繞直線與橢圓的公共點展開的)，將直線方程與橢圓方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，當(dāng)Δ＝0時，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ＞0時，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＜0時，直線與橢圓相離。 3、反思應(yīng)用 例1　當(dāng)m為何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144相切、相交、相離？ 分析：將直線方程y＝x＋m代入橢圓9x2＋16y2＝144中，得9x2＋16(x＋m)2＝144， 整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∵Δ＝(32m)2―425(16m2―144)＝－576m2＋14400 當(dāng)Δ＝0即m＝5時，直線與橢圓相切； 當(dāng)Δ＞0即－5＜m＜5時，直線與橢圓相交； 當(dāng)Δ＜0即m＜－5或m＞5時，直線與橢圓相離。 例2　已知斜率為1的直線l經(jīng)過橢圓x2＋4y2＝4的右焦點交橢圓于A、B兩點，求弦長|AB|。 分析：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由橢圓方程知：a2=4,b2=1,∴c2=3,∴右焦點, ∴直線l的方程為，代入橢圓得 小結(jié)：弦長公式 例3　過橢圓x2/16＋y2/4＝1內(nèi)一點M(2,1)引一條弦AB，使AB被點M平分，求弦AB所在直線的方程。 解一：當(dāng)弦AB的斜率不存在時，弦AB的方程為x=2，不合題意舍去 　　　設(shè)弦AB所在直線的方程為：y－1＝k(x－2)，代入橢圓方程并整理得 　　　(4k2＋1)x2―8(2k2―k)x＋4(k2―1)2―16＝0，又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1、x2為方程的兩個根， 于是，又M為AB的中點，，解之得k＝－1/2，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 解二：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，∵M(jìn)(2,1)為AB的中點，∴x1＋x2＝4,y1＋y2＝2 又∵A、B兩點在橢圓上，∴x12＋4y12＝16，x,22＋4y22＝16，兩式相減得x12－x22＋4(y12－y22)＝0, ,故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 解三：設(shè)A(x,y)，由M(2,1)為AB的中點得B(4―x,2―y) ∵A、B兩點在橢圓上，∴x2＋4y2＝16，(4－x)2＋4(2－y)2＝16，兩式相減得x＋2y－4＝0, 由于過A、B的直線只有一條，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 小結(jié)：解一常規(guī)解法；解二是解決有關(guān)中點弦問題的常用方法；解三利用曲線系解題。 例4　試確定實數(shù)m的取值范圍，使橢圓x2/4＋y2/3＝1上存在兩點關(guān)于直線l：y＝2x＋m對稱。 解一：設(shè)存在A(x1,y1),B(x2,y2) 關(guān)于直線l：y＝2x＋m對稱，故可設(shè)直線AB的方程為y＝2x＋t，代入橢圓方程x2/4＋y2/3＝1，并整理得x2―tx＋t2―3＝0，則Δ＝t2―4(t2―3)＞0。解得－2＜t＜2。 ∵x1＋x2＝t，∴AB的中點M為(t/2,3t/4),∵M(jìn)在直線l上，∴3t/4＝2t/2＋m,即m＝－t/4,從而－1/2＜m＜1/2. 解二：設(shè)存在A(x1,y1),B(x2,y2) 關(guān)于直線l：y＝2x＋m對稱，,則AB⊥l，且AB的中點M在l上， 設(shè)AB的中點M(x0,y0)，則x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0， 又∵A、B兩點在橢圓上，∴3x12＋4y12＝12，3x,22＋4y22＝12， 兩式相減得3(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0, 即y0＝3x0/2,又y0＝2x0＋m，解得x0＝－2m，y0＝－3m， ∵點M在橢圓內(nèi)，，即m2＋3m2＜1，解得－1/2＜m＜1/2. 例5　橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，，過橢圓左焦點F的直線交橢圓于P、Q兩點，且|PQ|＝20/9，OP⊥OQ，求此橢圓的方程。 解：設(shè)橢圓方程為x2/a2＋y2/b2＝1(a＞b＞0)，左焦點F(－c,0) 當(dāng)PQ⊥x軸時，|FP|＝|FQ|＝b2/a，由OP⊥OQ知|FO|＝|FQ|，即c＝b2/a, ∴ac＝a2－c2，即e2＋e－1＝0，解得， 這與條件不符，∴PQ不垂直x軸 設(shè)PQ：y＝k(x＋c)，P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵，∴設(shè)a＝2t,，則b＝t ∴橢圓方程可化為x2＋4y2＝4t2(t＞0)，將直線PQ的方程代入橢圓方程得 ，則x1、x2為方程的根 ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，即 整理得： ，整理得k2＝4/11， 此時 ∵|PQ|＝20/9， 即 所以所求橢圓方程為x2/4＋y2＝1 4、歸納總結(jié) 數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程 知識點：直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式、中點弦問題、對稱問題 作業(yè)： 1、直線l與橢圓方程為4x2＋9y2＝36交于A、B兩點，并且AB的中點M(1,1)，求直線l的方程。 2、求焦點，截直線l：y＝2x－1所得弦中點的橫坐標(biāo)為2/7的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 答案：4x＋9y－13＝0； x2/75＋y2/25＝1