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1.3 二項式定理 1.3.1 二項式定理,二項式定理,右邊的式子,1.判一判 (正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)(a+b)n展開式中共有n項.( ) (2)二項式(a+b)n與(b+a)n展開式中第r+1項相同.( ) (3) 是(a+b)n展開式中的第k項.( ),【解析】(1)錯誤.(a+b)n展開式中共有n+1項. (2)錯誤.(a+b)n展開式中第r+1項為 ，而(b+a)n展開式 中第r+1項為 (3)錯誤. 是(a+b)n展開式中的第k+1項. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1) 的二項展開式中第4項是________. (2)展開 為__________. (3)(1+x)7的展開式中x2項的系數(shù)是_________.,【解析】(1)展開式的通項公式為 所以第4項為 答案： 答案：,(3)(1+x)7展開式中 令k=2，得x2項的系數(shù)是 =21. 答案：21,【要點探究】 知識點 二項式定理及其通項公式 1.二項展開式的特點 (1)展開式共有n+1項. (2)各項的次數(shù)和都等于二項式的冪指數(shù)n. (3)字母a的冪指數(shù)按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到為0，字母b的冪指數(shù)按升冪排列，從第一項開始，次數(shù)由0逐項加1直到為n.,2.對通項公式的四點說明 (1)通項 是(a+b)n的展開式的第r+1項，這里r=0,1, …,n. (2)二項式(a+b)n的第r+1項 和(b+a)n的展開式的第r+1 項 是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的a和b是不 能隨便交換的. (3)注意二項式系數(shù) 與展開式中對應(yīng)項的系數(shù)不一定相等， 二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)有時可為負(fù).,(4)通項公式是在(a+b)n這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a-b)n的 二項展開式的通項公式是 (只需把-b看成b代 入二項式定理)，這與 是不同的，在這里對應(yīng)項的 二項式系數(shù)是相等的，都是 ，但項的系數(shù)一個是 ,一 個是 ,可看出二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念.,【知識拓展】二項式定理的證明 (a+b)n是n個(a+b)相乘，每個(a+b)在相乘時有兩種選擇，選a或b.而且每個(a+b)中的a或b選定后才能得到展開式的一項.由分步計數(shù)原理可知展開式共有2n項(包括同類項)，其中每一項都是an-kbk的形式，k=0，1，…，n； 對于每一項an-kbk，它是由n-k個(a+b)選了a，k個(a+b)選了b得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(a+b)中取k個b的組合數(shù)，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理.,【微思考】 (1)(a+b)n展開式中各項前的系數(shù)代表著什么？ 提示：各項前的系數(shù)依次為組合數(shù) 代表著這 些項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù). (2)二項展開式中一定含有常數(shù)項嗎？ 提示：不一定.由 可知，也可能無常數(shù)項.,【即時練】 1.在 的二項展開式中，x5的系數(shù)為_____________. 【解析】因為 由題意知15-5r=5，解得r=2. 所以 即為所求x5的系數(shù). 答案：40,2.(1+2x)5的展開式的第3項的系數(shù)為__________，第三項的二 項式系數(shù)為__________. 【解析】(1+2x)5的展開式的第3項的系數(shù)為 =40,第三項的 二項式系數(shù)為 =10. 答案：40 10,【題型示范】 類型一 二項式定理的正用和逆用 【典例1】 (1)計算： (2)用二項式定理展開,【解題探究】1.題(1)中式子有什么結(jié)構(gòu)特征？如何與二項式 定理聯(lián)系？ 2.題(2)中運用二項式定理展開二項式的關(guān)鍵是什么? 【探究提示】1.式子是按x-1的降冪排列的，但與二項式定理 比較可知式子中缺少(x-1)0項，進而可構(gòu)造［(x-1)+1］5. 2.關(guān)鍵是記準(zhǔn)展開式,根據(jù)二項式的結(jié)構(gòu)特征進行必要的變形, 可使展開二項式的過程得到簡化.,【自主解答】(1)原式= 答案：x5-1,(2)方法一： 方法二：,【方法技巧】運用二項式定理的解題策略 (1)正用：求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開，展開時注意二項展開式的特點：前一個字母是降冪，后一個字母是升冪.形如(a－b)n的展開式中會出現(xiàn)正負(fù)間隔的情況.對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開. (2)逆用：逆用二項式定理可將多項式化簡，對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點、項數(shù)、各項冪指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù).,【變式訓(xùn)練】求二項式(a－2b)4的展開式. 【解析】根據(jù)二項式定理得,【誤區(qū)警示】運用二項式定理時要注意對號入座，本題易誤把－2b中的負(fù)號忽略.,【補償訓(xùn)練】計算： 【解析】設(shè) 則 所以 答案：,類型二 求二項展開式的特定項 【典例2】 (1)(2014湖南高考) 的展開式中x2y3的系數(shù)是( ) A.－20 B.－5 C.5 D.20 (2)二項式 的展開式中的常數(shù)項為______________.,【解題探究】 1.題(1)中x2y3是二項式 的展開式中的第幾項？ 2.題(2)中二項展開式中的常數(shù)項有什么特征？ 【探究提示】1.由通項公式可知，x2y3是二項式 展開式中的第4項. 2.對于常數(shù)項,隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項).,【自主解答】(1)選A.因為 所以x2y3的 系數(shù)是－20. 令6－2r=0，得r=3， 所以 答案：-20,【延伸探究】題(2)中第3項的系數(shù)為________，第3項的二項 式系數(shù)為________. 【解析】因為 所以二項展開式中第3項的系數(shù)為60，第3項的二項式系數(shù)為 答案：60 15,【方法技巧】1.求二項展開式特定項的步驟,2.求二項展開式的特定項常見題型及處理措施 (1)求第k項. (2)求常數(shù)項.對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項). (3)求有理項.對于有理項，一般是根據(jù)通項公式所得到的項，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.,(4)求整式項.求二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項一致． 提醒：在實際求解時，若通項中含有根式，宜把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以減少計算中的錯誤.,3.正確區(qū)分二項式系數(shù)與指定某一項的系數(shù) 二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念，前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關(guān)，與二項式無關(guān)，后者與二項式、二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關(guān).,【變式訓(xùn)練】求二項式 展開式中的有理項. 【解題指南】寫出展開式的通項，令通項公式中x的指數(shù)是整 數(shù). 【解析】 令 ∈Z(0≤r≤9),得r=3或r=9， 所以當(dāng)r=3時， 當(dāng)r=9時， 綜上：展開式中的有理項為-84x4與-x3.,【補償訓(xùn)練】若 展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值 為________. 【解析】由二項式定理可知 令6-3r=0，得r=2，所以 所以15a=60，所以a=4. 答案：4,【拓展類型】二項式定理的應(yīng)用(整除問題) 【備選例題】(1)8011被9除的余數(shù)為______. (2)證明：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.,【解析】(1)因為 =81k-1(k∈Z), 因為k∈Z,所以81k-1∈Z，所以81k-1被9除余8,即8011被9除的 余數(shù)為8. 答案：8,由于各項均能被64整除，所以32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.,【方法技巧】整除性問題或求余數(shù)問題的處理方法 (1)解決這類問題,必須構(gòu)造一個與題目條件有關(guān)的二項式. (2)用二項式定理解決an+b整除(或余數(shù))問題時，一般需要將底數(shù)寫成除數(shù)m的整數(shù)倍加上或減去r(1≤r＜m)的形式，利用二項展開式求解. (3)要注意余數(shù)的范圍,a=cr+b式子中b為余數(shù),b∈［0,r),r是除數(shù),利用二項式定理展開式變形后,若剩余部分是負(fù)數(shù)要注意轉(zhuǎn)換.,(4)利用二項式定量證明有關(guān)多項式(數(shù)值)的整除問題時，關(guān)鍵是將所給多項式通過恒等變形變?yōu)槎検叫问剑蛊湔归_后的各項均含有除式.,【易錯誤區(qū)】混淆二項式系數(shù)與項的系數(shù)而致誤 【典例】(2014日照高二檢測)若(x- )n的展開式中第二項 與第四項的系數(shù)之比為1∶2,則展開式中第三項的二項式系數(shù) 為________.,【解析】(x- )n的展開式中第二項與第四項分別為 由題意得 ①， 即n2-3n-4=0， 解得n=4或n=-1(舍去). 所以 ② 所以第三項的二項式系數(shù)為 =6. 答案：6,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.注意概念的區(qū)分 對概念的把握和區(qū)分在解題中往往起到關(guān)鍵的作用.如本例易將“二項展開式中的二項式系數(shù)”與“二項展開式中項的系數(shù)”混為一談.,2.審題細(xì)致看清條件 在解決二項式問題時，一定注意分析問題具體是哪一項,到底是什么樣的系數(shù).熟練把握二項式定理及通項公式.同時要養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.如本例條件是“第二項與第四項的系數(shù)”，一是指明第二項和第四項,二是指明是系數(shù)而不是二項式系數(shù).,【類題試解】(1)(2014臨沂高二檢測)若 的二項展 開式中x3的系數(shù)為 ，則a=____________(用數(shù)字作答). 【解析】因為 ，當(dāng)12-3r=3時，r=3， 所以 ，即a=2. 答案：2,(2)已知 的展開式中第5項的二項式系數(shù)與第3項的二 項式系數(shù)的比為14∶3，則展開式中的常數(shù)項為________. 【解析】由已知條件得： =14∶3,整理得：n2-5n-50=0, 所以n=10, 所以展開式的通項為： 令 ，得k=2, 所以常數(shù)項為第三項 答案：180,