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1、 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁2.4 正 態(tài) 分 布 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 X 0 1P 1-p p 1 1 1nnC p q 0n nnC p q0 0 nnC p q k k n knC p q X 0 1 k nP 0 nM N MnNC CC 1 1nM N MnNC CC k n kM N MnNC CC 0nM N MnNC CC X 0 1 k nP 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 復 習 與 思 考1.由 函 數(shù) 及 直 線 圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 S=_； ( )ba f x dx xyO a

2、b( ) , , 0y f x x a x b y 2. 在 我 班 同 學 身 高 頻 率 分 布 直 方 圖 中 區(qū) 間 （ a,b） 對 應 的 圖 形 的 面 積 表 示_， 在 頻 率 分 布 直 方 圖 中 ，所 有 小 矩 形 的 面 積 的 和為 _1 身 高 在 區(qū) 間 (a,b) 內 取 值 的 頻 率 a b 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.4225.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.4325.46 25.40 25.

3、51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.3625.38 25.31 25.43 25.40 25.38 25.37 25.4425.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.3725.35 25.32 25.45 25.40 25.43 25.54 25.3925.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.3725.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.4625.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.

4、3225.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.3525.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.4025.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.3925.42 25.47 25.38 25.39 某 鋼 鐵 加 工 廠 生 產(chǎn) 內 徑 為 25.40mm的 鋼 管 ,為 了檢 驗 產(chǎn) 品 的 質 量 ,從 一 批 產(chǎn) 品 中 任 取 100件 檢 測 ,測得 它 們 的 實 際 尺 寸 如 下 :(一 )創(chuàng) 設 情 境 1 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2

5、-3) 主 頁 列 出 頻 率 分 布 表 分 組 頻 數(shù) 頻 率 累 積 頻 率 頻 率 /組 距25.23525.265 1 0.01 0.01 0.000925.26525.295 2 0.02 0.03 0.001825.29525.325 5 0.05 0.08 0.004525. 32525.355 12 0.12 0.20 0.010925.35525.385 18 0.18 0.38 0.016425.38525.415 25 0.25 0.63 0.022725.41525.445 16 0.16 0.79 0.014525.44525.475 13 0.13 0.92 0.

6、011825.47525.505 4 0.04 0.96 0.003625.50525.535 2 0.02 0.98 0.0018 25.53525.565 2 0.02 1.00 0.0018合 計 100 1.00 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁100件 產(chǎn) 品 尺 寸 的 頻 率 分 布 直 方 圖25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 產(chǎn) 品 內 徑 尺 寸 /mm頻 率組 距 25.265 25.325 25.385 25.445 25.505 25.565o2468 頻 率 分 布 直 方 圖 2.4正 態(tài) 分 布 (

7、選 修 2-3) 主 頁 xy0 頻 數(shù)組 距 200件 產(chǎn) 品 尺 寸 的 頻 率 分 布 直 方 圖 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 產(chǎn) 品 內 徑 尺 寸 /mm頻 率組 距o2468 樣 本 容 量 增 大 時 頻 率 分 布 直 方 圖正態(tài)曲線 可 以 看 出 ,當 樣 本 容 量 無 限 大 ,分 組 的 組 距無 限 縮 小 時 ,這 個 頻 率 直 方 圖 上 面 的 折 線 就 會 無限 接 近 于 一 條 光 滑 曲 線 -正 態(tài) 曲 線 . 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 引 入 正 態(tài) 分 布 在 統(tǒng) 計 學 中 是 很 重 要 的

8、分 布 。 我 們 知道 ， 離 散 型 隨 機 變 量 最 多 取 可 列 個 不 同 值 ， 它 等 于某 一 特 定 實 數(shù) 的 概 率 可 能 大 于 0， 人 們 感 興 趣 的 是它 取 某 些 特 定 值 的 概 率 ， 即 感 興 趣 的 是 其 分 布 列 ；連 續(xù) 型 隨 機 變 量 可 能 取 某 個 區(qū) 間 上 的 任 何 值 ， 它 等于 任 何 一 個 實 數(shù) 的 概 率 都 為 0， 所 以 通 常 感 興 趣 的是 它 落 在 某 個 區(qū) 間 的 概 率 。 離 散 型 隨 機 變 量 的 概 率分 布 規(guī) 律 用 分 布 列 描 述 ， 而 連 續(xù) 型 隨 機

9、 變 量 的 概 率分 布 規(guī) 律 用 密 度 函 數(shù) （ 曲 線 ） 描 述 。 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 14.2 圖., .,. 14.2? 的 某 一 球 槽 內最 后 掉 入 高 爾 頓 板 下 方與 層 層 小 木 塊 碰 撞 程 中小 球 在 下 落 過通 道 口 落 下 上 方 的讓 一 個 小 球 從 高 爾 頓 板前 面 擋 有 一 塊 玻 璃隙 作 為 通 道 空小 木 塊 之 間 留 有 適 當 的木 塊 形 小柱互 平 行 但 相 互 錯 開 的 圓 排 相在 一 塊 木 板 上 釘 上 若 干圖 板 示 意所 示 的 就 是 一 塊 高 爾

10、頓圖你 見 過 高 爾 頓 板 嗎 ?. , ,. ,球 槽 的 個 數(shù) 多 少 球 掉 入 各槽 的 堆 積 高 度 反 映 了 小各 個 球會 越 來 越 高 堆 積 的 高 度 也越 來 越 多數(shù) 就各 個 球 槽 內 的 小 球 的 個 掉 入隨 著 試 驗 次 數(shù) 的 增 加重 復 進 行 高 爾 頓 板 試 驗中 第 幾 號 球 槽就 可 以 考 察 到 底 是 落 在如 果 把 球 槽 編 號 演 示 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修

11、 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 .34.2, 圖線會 越 來 越 像 一 條 鐘 形 曲 這 個 頻 率 直 方 圖 的 形 狀隨 著 重 復 次 數(shù) 的 增 加 :)(下列函數(shù)的圖象或近似地這條曲線就是 ,x,e21x 222 x, ., x.0 ,簡稱圖象為的我們稱為參數(shù)和其中實數(shù)正態(tài)分布密度曲線正態(tài)曲線34.2 圖O x y 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 x yo 44.2 圖 dxxbXaP b,aX. X,1 X, , ba ,

12、 的 概 率 為落 在 區(qū) 間個 隨 機 變 量 是 一則接 觸 時 的 坐 標次 與 高 爾 頓 板 底 部球 第 表 示 落 下 的 小用寬 度 其 刻 度 單 位 為 球 槽 的軸 底 部 建 立 一 個 水 平 坐 標并 沿 其中 最 下 邊 的 球 槽如 果 去 掉 高 爾 頓 板 試 驗 .b,aX), 44.2(x ,x0,b0,a, 的 概 率 的 近 似 值落 在 區(qū) 間就 是分 的 面 積 中 陰 影 部圖面 積軸 所 圍 成 的 平 面 圖 形 的及 軸 的 垂 線的 兩 條和 點過 點即 由 正 態(tài) 曲 線 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 .,NX ,

13、X.,N , ).ondistributinormal(X ,dxxbXaP X,ba, 22 ba ,為則記服從正態(tài)分布如果隨機變量記作因此正態(tài)分布常確定和態(tài)分布完全由參數(shù)正的分布為則稱滿足隨機變量如果對于任何實數(shù)一般地 正態(tài)分布 ., ; ,計可以用樣本標準差去估小的特征數(shù)動大是衡量隨機變量總體波用樣本均值去估計可以平的特征數(shù)是反映隨機變量取值水參數(shù) 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁221(1) ( ) , ( , )2 xx e x 2( 1)81(2) ( ) , ( , )2 2 xx e x 例 1 給 出 下 列 兩 個 正 態(tài) 總 體 的 函 數(shù) 表 達 式 ，

14、 請 找 出其 均 值 m和 標 準 差 s 說 明 ： 當 m0 , s 1時 ， X 服 從 標 準 正 態(tài) 分 布記 為 XN (0 , 1) m0 , s 1m1 , s 2變 式 訓 練 1若 一 個 正 態(tài) 分 布 的 密 度 函 數(shù) 是 一 個 偶 函 數(shù) 且 該 函 數(shù) 與 y軸 交 于 點 ， 求 該 函 數(shù) 的 解 析 式 。 1(0, )4 2 2321( ) , ( , )4 2 xx e x 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 例 2、 下 列 函 數(shù) 是 正 態(tài) 密 度 函 數(shù) 的 是 （ ） A. B. C. D. 22( )21( ) , , (

15、0)2 xf x e ms m s ss 都 是 實 數(shù)222( ) 2 xf x e 2( 1)41( ) 2 2 xf x e 221( ) 2 xf x e B 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 ., X 1, , ., , 布所 以 它 近 似 服 從 正 態(tài) 分果 撞 的 結是 眾 多 隨 機 碰底 部 接 觸 時 的 坐 標 次 與 高 爾 頓 板因 此 小 球 第向 左 或 向 右 下 落 球 隨 機 地每 次 碰 撞 的 結 果 使 得 小木 板 碰 撞 多 小小 球 下 落 過 程 中 要 與 眾驗 中爾 頓 板 試 例 如 高態(tài) 分 布它 就 服 從 或 近

16、 似 服 從 正之 和 然 因 素 作 用 結 果次 的 偶不 相 干 的 、 不 分 主 多 的 、 互一 個 隨 機 變 量 如 果 是 眾經(jīng) 驗 表 明 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 在 實 際 遇 到 的 許 多 隨 機 現(xiàn) 象 都 服 從 或 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 ：在生產(chǎn)中， 在 正 常 生 產(chǎn) 條 件 下 各 種 產(chǎn) 品 的 質 量 指 標 ； 在測量中， 測 量 結 果 ； 在生物學中， 同 一 群 體 的 某 一 特 征 ； ； 在氣象中， 某 地 每 年 七 月 份 的 平 均 氣 溫 、 平 均 濕 度 以 及 降 雨 量 等 ， 水 文 中

17、 的 水 位 ； 總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及科學技術的許多領域中。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位。 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 正 態(tài) 曲 線 的 特 點 正 態(tài) 曲 線 .gsp xyO（ 1） 曲 線 在 x軸 的 上 方 ， 與 x軸 不 相 交 .（ 2） 曲 線 是 單 峰 的 ,它 關 于 直 線 x=m對 稱 .（ 4） 曲 線 與 x軸 之 間 的 面 積 為 1（ 3） 曲 線 在 x=處 達 到 峰 值 (最 高 點 ) 1 2 x=m曲 線 的 位 置 、 對 稱 性 、 最 高 點 、 與 x軸 圍 成 的 面 積 2.4正 態(tài) 分

18、 布 (選 修 2-3) 主 頁 0.5 1 2O =-1 0 1O 正 態(tài) 曲 線 的 特 點（ 6） 當 一 定 時 ， 曲 線 的 形 狀 由 確 定 .越 大 ， 曲 線 越 “ 矮 胖 ” ， 表 示 總 體 的 分 布 越 分 散 ；越 小 ， 曲 線 越 “ 瘦 高 ” ， 表 示 總 體 的 分 布 越 集 中 . 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁例 3 關 于 正 態(tài) 曲 線 性 質 的 敘 述 ：(1)曲 線 關 于 直 線 x =m 對 稱 ， 整 條 曲 線 在 x軸 的 上 方 ；(2)曲 線 對 應 的 正 態(tài) 總 體 概 率 密 度 函 數(shù) 是 偶

19、 函 數(shù) ；(3)曲 線 在 x 處 處 于 最 高 點 ， 由 這 一 點 向 左 右 兩 側 延伸 時 ， 曲 線 逐 漸 降 低 ；(4)曲 線 的 對 稱 位 置 由 確 定 ， 曲 線 的 形 狀 由 確 定 ， 越 大 ， 曲 線 越 “ 矮 胖 ” ， 反 之 ， 曲 線 越 “ 瘦 高 ” . 上 述 敘 述 中 ， 正 確 的 有 . 例 題 探 究(1) (3) (4) 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 課 堂 練 習 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 正 態(tài) 總 體 的 函 數(shù) 表 示 式當 = 0， =1時 2 22 )(21)( sms

20、 xexf ),( x 2221)( xexf 標 準 正 態(tài) 總 體 的 函 數(shù) 表 示 式 ),( x 0 1 2-1-2 x y-3 3=0 =1標 準 正 態(tài) 曲 線 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 21,0( s（ ， （ ， +）（ 1） 當 = 時 ,函 數(shù) 值 為 最 大 .(3) 的 圖 象 關 于 對 稱 .（ 2） 的 值 域 為 （ 4） 當 時 為 增 函 數(shù) .當 時 為 減 函 數(shù) .)(xf )(xf xxx )(xf )(xf 0 1 2-1-2 xy-3 3=0 =1標 準 正 態(tài) 曲 線 正 態(tài) 總 體 的 函 數(shù) 表 示 式 2 22

21、)(21)( sms xexf ),( x=x 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 例 3、 標 準 正 態(tài) 總 體 的 函 數(shù) 為（ 1） 證 明 f(x)是 偶 函 數(shù) ；（ 2） 求 f(x)的 最 大 值 ；（ 3） 利 用 指 數(shù) 函 數(shù) 的 性 質 說 明 f(x)的 增 減 性 。221( ) , ( , ).2 xf x e x 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁特別有周圍概率越大集中在即的概率越大落在區(qū)間越小這說明的減少而變大該面積隨著 而言和對于固定的中陰影部分的面積為圖.X,a,a( X,. ,a,64.2 ,6826.0XP ,9544.02

22、X2P ,9974.03X3P a a64.2 圖表示上述結果可用圖74.2 2 4 674.2 圖%26.68 %44.95 %74.99 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 .,0026.0 .3,3 , 可 能 發(fā) 生況 在 一 次 試 驗 中 幾 乎 不 通 常 認 為 這 種 情值 的 概 率 只 有 而 在 此 區(qū) 間 以 外 取之 內 區(qū) 間正 態(tài) 總 體 幾 乎 總 取 值 于可 以 看 到 .3,)3 ,3(X,N ,2 原 則并 簡 稱 之 為之 間 的 值 只 取的 隨 機 變 量布 通 常 認 為 服 從 于 正 態(tài) 分在 實 際 應 用 中 2.4正 態(tài)

23、 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 例 4.在 某 次 數(shù) 學 考 試 中 ,考 生 的 成 績 X服 從 正 態(tài)分 布 X N(90,100).(1)求 考 試 成 績 X位 于 區(qū) 間(70,110)上 的 概 率 是 多 少 ?(2)若 此 次 考 試 共 有2000名 考 生 ,試 估 計 考 試 成 績 在 (80,100)間 的考 生 大 約 有 多 少 人 ?解 :依 題 意 ,X N(90,100), 90, 10.m s (70 110)P X ( 2 2 ) 0.9544.P Xm s m s (80 100)P X ( ) 0.6826.P Xm s m s 即 考 試

24、 成 績 在 (80,100)間 的 概 率 為 0.6826.考 試 成 績 在 (80,100)間 的 考 生 大 約 有 2000 0.6826 1365. 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁2、 已 知 XN (0,1)， 則 X在 區(qū) 間 內 取 值 的 概 率等 于 （ ）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228( , 2) D 0.50.95443、 若 已 知 正 態(tài) 總 體 落 在 區(qū) 間 的 概 率 為 0.5， 則相 應 的 正 態(tài) 曲 線 在 x= 時 達 到 最 高 點 。(0.3, )0.34、 已 知 正 態(tài) 總 體 的

25、 數(shù) 據(jù) 落 在 （ -3,-1） 里 的 概 率 和 落在 （ 3,5） 里 的 概 率 相 等 ， 那 么 這 個 正 態(tài) 總 體 的 數(shù) 學期 望 是 。1練 習1、 設 離 散 型 隨 機 變 量 XN(0,1),則 = , = .( 0)P X ( 2 2)P X 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁5、 如 圖 ， 為 某 地 成 年 男 性體 重 的 正 態(tài) 曲 線 圖 ， 請 寫 出其 正 態(tài) 分 布 密 度 函 數(shù) ， 并 求P（ |X-72|20） . ( , )x xy110 2 72(kg) 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 6. 已 知 一

26、 次 考 試 共 有 60名 同 學 參 加 ， 考 生 的成 績 X ， 據(jù) 此 估 計 ， 大 約 應 有 57人 的 分數(shù) 在 下 列 哪 個 區(qū) 間 內 ？ （ ）A. (90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,1152(100,5 ) A 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 例 5、 已 知 ， 且 ， 則 等 于 ( ) A.0.1 B. 0.2 C. 0.3 D.0.42 (0, )n s ( 2 0) 0.4P ( 2)P A例 6、 某 年 級 的 一 次 信 息 技 術 測 驗 成 績 近 似 的 服 從 正態(tài) 分 布 ， 如

27、 果 規(guī) 定 低 于 60分 為 不 及 格 ，求 ：（ 1） 成 績 不 及 格 的 人 數(shù) 占 多 少 ？（ 2） 成 績 在 8090內 的 學 生 占 多 少 ？ 2(70,10 )N 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁例 7.若 X N(5,1),求 P(6X7).(課 本 P75 B： 2)解 :因 為 X N(5,1), 5, 1.m s 又 因 為 正 態(tài) 密 度 曲 線 關 于 直 線 x=5 對 稱 ,1(5 7) (3 7)2P x P x 1 0.9544 0.4772,2 1(5 6) (4 6)2P x P x 1 0.6826 0.3413,2 (6

28、 7) (5 7) (5 6)P x P x P x 0.4772 0.3413 0.1359. 1 (5 2 1 5 2 1)2 P x 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 【 1】 某 校 高 三 男 生 共 1000人 ， 他 們 的 身高 X(cm)近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 ,則身 高 在 180cm以 上 的 男 生 人 數(shù) 大 約 是 （ B ）A.683 B.159 C.46 D.317 (176,16)N xyo 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主

29、頁【 3】 某 年 級 的 一 次 信 息 技 術 測 驗 成 績 近 似 的 服 從 正態(tài) 分 布 ， 如 果 規(guī) 定 低 于 60分 為 不 及 格 ，求 ：（ 1） 成 績 不 及 格 的 人 數(shù) 占 多 少 ？（ 2） 成 績 在 8090內 的 學 生 占 多 少 ？2(70,10 )N 15.87%13.59% 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 xyo 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁請 同 學 們 想 一 想 ， 實 際 生 活 中 具 有 這種 特

30、 點 的 隨 機 變 量 還 有 那 些 呢 ？ 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 人 的 身 高 高 低 不 等 ， 但 中 等 身 材 的 占 大多 數(shù) ， 特 高 和 特 矮 的 只 是 少 數(shù) ， 而 且 較高 和 較 矮 的 人 數(shù) 大 致 相 近 ， 這 從 一 個 方面 反 映 了 服 從 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 變 量 的 特點 。 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 除 了 我 們 在 前 面 遇 到 過 的 年 降 雨 量 和身 高 外 ,在 正 常 條 件 下 各 種 產(chǎn) 品 的 質 量 指 標 ，如 零 件 的 尺 寸 ； 纖 維 的

31、強 度 和 張 力 ； 農 作物 的 產(chǎn) 量 ， 小 麥 的 穗 長 、 株 高 ； 測 量 誤 差 ，射 擊 目 標 的 水 平 或 垂 直 偏 差 ； 信 號 噪 聲 等等 ， 都 服 從 或 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 . 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁 正 態(tài) 分 布 在 十 九 世 紀 前葉 由 高 斯 加 以 推 廣 ,所 以 通 常稱 為 高 斯 分 布 . 正 態(tài) 分 布 是 應 用 最 廣 泛的 一 種 連 續(xù) 型 分 布 . 德 莫 佛 最早 發(fā) 現(xiàn) 了 二 項 概 率 的 一 個 近似 公 式 ,這 一 公 式 被 認 為 是 正態(tài) 分 布 的 首 次 露 面 . 2.4正 態(tài) 分 布 (選 修 2-3) 主 頁