《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第35練 與拋物線相關(guān)的熱點(diǎn)問題 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第35練 與拋物線相關(guān)的熱點(diǎn)問題 理（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第35練　與拋物線相關(guān)的熱點(diǎn)問題 題型一　拋物線的定義及其應(yīng)用 例1　設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一動點(diǎn)， (1)求點(diǎn)P到A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值； (2)若B(3,2)，拋物線的焦點(diǎn)為F，求PB＋PF的最小值． 破題切入點(diǎn)　畫出圖形，結(jié)合拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為共線問題． 解　(1)由于A(－1,1)，F(xiàn)(1,0)，P是拋物線上的任意一點(diǎn)，則AP＋PF≥AF＝＝，從而知點(diǎn)P到A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點(diǎn)P到A(－1,1)的距離與P到直線x＝－1的距離之和的最小值也為. (2) 如圖所示，自點(diǎn)B作BQ垂

2、直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，此時P1Q＝P1F，那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值為4. 題型二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 例2　(1)設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、FM為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是________． (2)如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________ m. 破題切入點(diǎn)　準(zhǔn)確求出拋物線方程并結(jié)合其簡單幾何性質(zhì)作答． 答案　(1)(2，＋∞)　(2)2 解析　(1)∵x2＝8y，∴焦點(diǎn)F的

3、坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y＝－2.由拋物線的定義知FM＝y(tǒng)0＋2. 以F為圓心、FM為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2. 由于以F為圓心、FM為半徑的圓與準(zhǔn)線相交， 又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4，故42. (2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 則A(2，－2)，將其坐標(biāo)代入x2＝－2py得p＝1. ∴x2＝－2y. 水位下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)， 將其坐標(biāo)代入x2＝－2y，得x＝6， ∴x0＝.∴水面寬CD＝2 m. 題型三　直線和拋物線的位置關(guān)系 例3　已知拋

4、物線C：y2＝2px(p>0)過點(diǎn)A(1，－2)． (1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程； (2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由． 破題切入點(diǎn)　(1)將點(diǎn)代入易求方程． (2)假設(shè)存在，根據(jù)條件求出，注意驗(yàn)證． 解　(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1， 所以p＝2. 故所求的拋物線C的方程為y2＝4x， 其準(zhǔn)線方程為x＝－1. (2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t. 由得y2＋2y－2t＝0. 因?yàn)橹本€l與拋物線C

5、有公共點(diǎn)， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 由直線OA到l的距離d＝， 可得＝， 解得t＝±1. 又因?yàn)椋??[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)， 所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0. 總結(jié)提高　(1)拋物線沒有中心，只有一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸且離心率為e＝1，所以與橢圓、雙曲線相比，它有許多特殊性質(zhì)，可以借助幾何知識來解決． (2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應(yīng)關(guān)系，將拋物線y2＝2px關(guān)于y軸、直線x＋y＝0與x－y＝0對稱變換可以得到拋物線的其他三種形式；或者將拋物線y2＝2px繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)±90°或180°也可

6、以得到拋物線的其他三種形式，這是它們的內(nèi)在聯(lián)系． (3)拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②若直線AB的傾斜角為θ，則AB＝； ③若F為拋物線焦點(diǎn)，則有＋＝. 1．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為________． 答案　4或－4 解析　設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)， 由定義知P到準(zhǔn)線的距離為4，故＋2＝4，所以p＝4， 則方程為x2＝－8y，代入P點(diǎn)坐標(biāo)得m＝±4. 2．若拋物線y2＝8x的

7、焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過點(diǎn)F，M(3,3)且與l相切的圓共有________個． 答案　1 解析　由題意得F(2,0)，l：x＝－2， 線段MF的垂直平分線方程為y－＝－(x－)， 即x＋3y－7＝0，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)， 則圓心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b， 由題意得|a－(－2)|＝， 即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0. 又b>0，故此方程只有一個根，于是滿足題意的圓只有一個． 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P、Q是拋物線上的兩個點(diǎn)，若△PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是________．

8、答案　2± 解析　依題意得F(，0)，設(shè)P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2)．由拋物線定義及PF＝QF，得＋＝＋，∴y＝y(tǒng)，∴y1＝－y2.又PQ＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，點(diǎn)P(，y1)．又點(diǎn)P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得PF＝＋＝2，由此解得p＝2±. 4．(2014·課標(biāo)全國Ⅱ改編)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為________． 答案　 解析　由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(，0)， 因此直線AB的方程為y＝(x－)， 即4x－4y－3＝0. 方法一　聯(lián)立拋物線方程化簡得4y2－12y

9、－9＝0， 故|yA－yB|＝＝6. 因此S△OAB＝OF·|yA－yB|＝××6＝. 方法二　聯(lián)立方程得x2－x＋＝0， 故xA＋xB＝. 根據(jù)拋物線的定義有AB＝xA＋xB＋p＝＋ ＝12， 同時原點(diǎn)到直線AB的距離為h＝＝， 因此S△OAB＝AB·h＝. 5．已知拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d＋PQ的最小值為________． 答案　3 解析　 如圖所示，由題意，知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2,0)，連結(jié)PF，則d＝PF. 圓C的方程配方，得(x＋1)2＋(y－4)2

10、＝4，圓心為C(－1,4)，半徑r＝2. d＋PQ＝PF＋PQ，顯然，PF＋PQ≥FQ(當(dāng)且僅當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時取等號)． 而FQ為圓C上的動點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離， 顯然當(dāng)F，Q，C三點(diǎn)共線時取得最小值， 最小值為CF－r＝－2＝5－2＝3. 6．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若AF＝3，則△AOB的面積為______． 答案　 解析　如圖所示，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)， 又AF＝3， 由拋物線定義知：點(diǎn)A到準(zhǔn)線x＝－1的距離為3， ∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2. 將x＝2代入y2＝4x得y2＝8， 由圖知點(diǎn)A的

11、縱坐標(biāo)y＝2， ∴A(2,2)， ∴直線AF的方程為y＝2(x－1)． 聯(lián)立直線與拋物線的方程 解之得或由圖知B， ∴S△AOB＝OF·|yA－yB|＝×1×|2＋| ＝. 7．過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AB＝，AF

12、，y1)，B(x2，y2)， 則直線l為y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x聯(lián)立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 則有x1x2＝1，x1＋x2＝－2， 因此可得Q(－1，)， 因F(1,0)，由FQ＝2， 則有(－2)2＋()2＝4， 解得k2＝1，所以k＝±1. 9．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60°.則△OAF的面積為________． 答案　 解析　由題意，得直線AB方程為y＝(x－1)，與拋物線方程y2＝4x聯(lián)立，求得交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，利用三角形面積公式即

13、可求得S△OAF＝×1×2＝. 10．(2013·江西)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線－＝1相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________. 答案　6 解析　因?yàn)椤鰽BF為等邊三角形， 所以由題意知B， 代入方程－＝1得p＝6. 11．(2014·大綱全國)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y＝4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且QF＝PQ. (1)求C的方程； (2)過F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點(diǎn)，且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程． 解　(1)設(shè)Q(x0,4

14、)，代入y2＝2px得x0＝. 所以PQ＝，QF＝＋x0＝＋. 由題設(shè)得＋＝×， 解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以C的方程為y2＝4x. (2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直， 故可設(shè)l的方程為x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故設(shè)AB的中點(diǎn)為D(2m2＋1,2m)， AB＝|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又l′的斜率為－m， 所以l′的方程為x＝－y＋2m2＋3. 將上式代入y2＝4x， 并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0. 設(shè)M(x3，y3)，N(

15、x4，y4)， 則y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)． 故設(shè)MN的中點(diǎn)為E(＋2m2＋3，－)， MN＝ |y3－y4|＝， 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上等價于AE＝BE＝MN， 從而AB2＋DE2＝MN2， 即4(m2＋1)2＋(＋2)2＋(2m＋)2＝， 化簡得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1. 所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 12．(2014·湖北)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程； (2)設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P(－2,1)，

16、求直線l與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn)、兩個公共點(diǎn)、三個公共點(diǎn)時k的相應(yīng)取值范圍． 解　(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，依題意得MF＝|x|＋1， 即＝|x|＋1， 化簡整理得y2＝2(|x|＋x)． 故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2＝ (2)在點(diǎn)M的軌跡C中， 記C1：y2＝4x(x>0)，C2：y＝0(x≤0)． 依題意，可設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x＋2)． 由方程組 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.(*1) ①當(dāng)k＝0時，此時y＝1. 把y＝1代入軌跡C的方程，得x＝. 故此時直線l：y＝1與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn)(，1)． ②當(dāng)k≠0時，方程(*1)根的判別式為Δ＝－1

17、6(2k2＋k－1)．(*2) 設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0)，則 由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.(*3) (ⅰ)若由(*2)(*3)解得k<－1或k>. 即當(dāng)k∈(－∞，－1)∪(，＋∞)時，直線l與C1沒有公共點(diǎn)，與C2有一個公共點(diǎn)，故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn)． (ⅱ)若或由(*2)(*3)解得k∈{－1，}，或－≤k<0. 即當(dāng)k∈{－1，}時，直線l與C1只有一個公共點(diǎn)，與C2有一個公共點(diǎn)． 當(dāng)k∈[－，0)時，直線l與C1有兩個公共點(diǎn)，與C2沒有公共點(diǎn)． 故當(dāng)k∈[－，0)∪{－1，}時，直線l與軌跡C恰好有兩個公共點(diǎn)． (ⅲ)若由(*1)(*2)解得－1