《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 解析幾何初步 第55課 兩條直線的位置關(guān)系 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 解析幾何初步 第55課 兩條直線的位置關(guān)系 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第55課 兩條直線的位置關(guān)系 (本課時對應(yīng)學(xué)生用書第　　頁) 自主學(xué)習(xí)　回歸教材 1.(必修2P79例2改編)經(jīng)過點P(1，2)，且與直線3x+4y-100=0平行的直線的方程是　　　　　　　. 【答案】3x+4y-11=0 2.(必修2P77習(xí)題6改編)經(jīng)過點M(3，-4)，且與直線2x+3y-21=0垂直的直線的方程是　　　　　　　. 【答案】3x-2y-17=0 3.(必修2P87習(xí)題7改編)直線x+ay+3=0與直線ax+4y+6=0平行的充要條件是實數(shù)a=　　　　. 【答案】-2 【解析】由兩條直線平行可知所以a=-2. 4.(必修2P94

2、習(xí)題18改編)已知直線l：y=3x+3，那么： (1)直線l關(guān)于點M(3，2)對稱的直線的方程為　 ；? (2)l關(guān)于直線x+y+2=0對稱的直線的方程為　 . 【答案】(1)y=3x-17　(2)x-3y-1=0 1.兩條直線的位置關(guān)系 斜截式 一般式 方程 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(+≠0)，A2x+B2y+C2=0(+≠0) 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 垂直 k1=-或k1k2=-1

3、 A1A2+B1B2=0 平行 k1=k2且b1≠b2 或 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2(λ≠0) 2.兩條直線公共點的個數(shù) 設(shè)兩條直線的方程分別是l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，聯(lián)立方程，得 (1)若方程組有一組解，則l1與l2的位置關(guān)系為相交. (2)若方程組有無窮多組解，則l1與l2的位置關(guān)系為重合； (3)若方程組無解，則l1與l2的位置關(guān)系為平行. 3.距離 (1)平面上兩點P(x1，y1)與Q(x2，y2)間的距離PQ=； (2)點P(x0，y0)到直線l：ax+by+c=

4、0的距離d=； (3)兩平行直線ax+by+m=0與ax+by+n=0間的距離d=. 【要點導(dǎo)學(xué)】 要點導(dǎo)學(xué)　各個擊破 　兩直線位置關(guān)系的判斷 例1　已知直線l1：mx+8y+n=0和直線l2：2x+my-1=0，試確定m，n的值，使： (1)l1和l2相交于點P(m，-1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為-1. 【思維引導(dǎo)】考查兩直線的位置關(guān)系，掌握運用直線的方程來刻畫不同的位置關(guān)系. 【解答】(1)聯(lián)立解得 所以當m=1，n=7時，l1與l2相交于點P(m，-1). (2)由題意得=，即m2-16=0，得m=±

5、4. 又≠，即n≠-， 所以m=4，n≠-2或m=-4，n≠2時，l1∥l2. (3)當且僅當m×2+8×m=0， 即m=0時，l1⊥l2.又-=-1，所以n=8， 即m=0，n=8時，l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為-1. 【精要點評】運用直線的一般式方程判斷位置關(guān)系時，需準確掌握兩直線位置關(guān)系的判斷方法，本題也可將方程化為斜截式. 變式　若直線l1經(jīng)過不同的兩點A(2a+2，0)，B(2，2)，l2經(jīng)過不同的兩點C(0，1+a)，D(1，1). (1)若l1∥l2，求實數(shù)a的值； (2)若l1⊥l2，求實數(shù)a的值. 【思維引導(dǎo)】利用斜率公式求出斜率，判斷求解.

6、【解答】當a=0時，A(2，0)，B(2，2)，C(0，1)，D(1，1). 此時kAB不存在，而kCD=0，所以l1⊥l2. 當a=-1時，A(0，0)，B(2，2)，C(0，0)，D(1，1)， kAB=kCD=1，又均過原點(0，0)， 所以l1與l2重合. 當a≠0且a≠-1時， kAB==-， kCD==-a. 若l1∥l2，則kAB=kCD，即-=-a， 得a=1或a=-1(舍去)； 若l1⊥l2，則kAB·kCD=-1， 即×(-a)=-1，a不存在. 綜上， 當a=1時，l1∥l2；當a=0時，l1⊥l2. 　對稱問題 例2　已知直線l：x+

7、2y-2=0. (1)求直線l1：y=x-2關(guān)于直線l對稱的直線l2的方程； (2)求直線l關(guān)于點(1，1)對稱的直線方程. 【思維引導(dǎo)】求對稱點或直線，都可以通過構(gòu)造方程(組)來求解相應(yīng)量.比如解決點與點關(guān)于直線對稱的問題時，常利用中點公式和垂直關(guān)系列方程組來解決.特別地，當對稱軸的斜率為±1時，可用替換法.而關(guān)于點成中心對稱問題，則可利用中點公式. 【解答】(1)因為直線l1：y=x-2關(guān)于直線l對稱的直線為l2，所以l2上任一點P(x，y)關(guān)于l的對稱點P'(x'，y')一定在直線l1上，反之也成立. 由得 把(x，y)代入方程y=x-2并整理，得7x'-y'-14=0.

8、 即直線l2的方程為7x-y-14=0. (2)設(shè)直線l關(guān)于點A(1，1)的對稱直線為l'，則直線l上任一點P(x1，y1)關(guān)于點A的對稱點P'(x，y)一定在直線l'上，反之也成立. 由得 將(x1，y1)代入直線l的方程，得x+2y-4=0，所以直線l'的方程為x+2y-4=0. 【精要點評】關(guān)于點與直線之間的對稱問題有若干種，但每一個對稱問題都有相應(yīng)且具體的解決方案.比如解決點關(guān)于直線對稱的問題時就要把握兩點：若點M與點N關(guān)于直線l對稱，則線段MN的中點在直線l上，且直線l與直線MN垂直.若是直線或點關(guān)于點成中心對稱的問題，那么只需運用中點公式就可解決.若直線l1，l2關(guān)于直線l

9、對稱，則可結(jié)合如下性質(zhì)：①若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；②若點B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對稱點B'在直線l2上. 變式　(1)點P(4，0)關(guān)于直線5x+4y+21=0的對稱點的坐標是　　　　　. (2)直線l：2x-3y+1=0關(guān)于點A(-1，-2)對稱的直線l'的方程是　　　　　. (3)直線l1：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對稱的直線l2的方程是　　　　　. 【答案】(1)(-6，-8)　(2)2x-3y-9=0 (3)2x+11y+16=0 【解析】(1)設(shè)點P(4，0)關(guān)于直線5x+4y+21=0的對稱點為P1(x1，y1)，由題意知

10、PP1的中點M在對稱軸5x+4y+21=0上，且PP1與對稱軸垂直， 則有解得x1=-6，y1=-8， 所以P1(-6，-8). (2)設(shè)點Q'(a，b)是直線l上任意一點，點Q'(a，b)關(guān)于點A(-1，-2)的對稱點為Q(x，y)， 則解得 因為點Q'(a，b)在直線l上， 所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，即2x-3y-9=0. (3)在直線l1上取一點A(2，0)， 又設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點為B(x0，y0)， 則 解得B. 又l1與l的交點為M(3，-2)， 故由兩點式可求得直線l2的方程為2x+11y+16=0. 　距離問題 例3　已

11、知點P(2，-1). (1)求過點P且與原點距離為2的直線l的方程； (2)求過點P且與原點距離最大的直線l的方程，并求此最大距離. 【思維引導(dǎo)】已知直線過定點求方程，首先想到的是求斜率或設(shè)方程的斜截式，但不要忘記斜率不存在的直線是否滿足題意.若滿足，可先把它求出，然后再考慮斜率存在的一般情況.圖形中量的最值問題往往可由幾何原理作依據(jù)解決. 【解答】(1)當直線l的斜率不存在時，其方程為x=2，滿足條件. 當直線l的斜率存在時，設(shè)方程為y+1=k(x-2)， 即kx-y-2k-1=0， 由已知，得=2，解得k=， 此時l的方程為3x-4y-10=0. 綜上，直線l的方程為x=

12、2或3x-4y-10=0. (2)由題可知過點P與原點O距離最大的直線與PO垂直，即l⊥OP，klkOP=-1，所以kl=-=2. 所以直線l的方程為y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0， 此時最大距離為=. 【精要點評】若動直線l過定點A，直線外一點B到直線l的距離滿足BH≤BA，即最大值為AB(當且僅當l與直線AB垂直時成立). 變式1　到直線l：3x-4y+3=0距離為1的直線的方程為　　　　　　. 【答案】3x-4y+8=0或3x-4y-2=0 【解析】設(shè)所求直線l的方程為3x-4y+m=0， 由兩直線間距離為1，知=1，得m=8或-2， 所以所求直線方程為3

13、x-4y+8=0或3x-4y-2=0. 變式2　已知點P(-1，3)，那么過點P與原點距離最大的直線l的方程是　　　　　　　. 【答案】x-3y+10=0 【解析】過點P且與原點距離最大的直線l垂直于直線OP，所以直線l的斜率為， 所以直線l的方程為y-3=(x+1)， 即x-3y+10=0. 1.經(jīng)過直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點，且垂直于直線3x+4y-7=0的直線方程為　　　　　　. 【答案】4x-3y+9=0 【解析】聯(lián)立直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0，解得交點為，由已知垂直關(guān)系可求得所求直線的斜率為，進而得所求直線方程為4x-

14、3y+9=0. 2.點P(-1，3)到直線l：y=k(x-2)的距離的最大值等于　　　　. 【答案】3 【解析】方法一：將直線l：y=k(x-2)的方程化為kx-y-2k=0，所以點P(-1，3)到直線l的距離d==3，由于≤1，所以d≤3. 方法二：直線l：y=k(x-2)過定點Q(2，0)， 所以所求距離的最大值即為PQ=3. 3.已知直線l經(jīng)過點P(3，1)，且被兩平行直線l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的線段之長為5，則直線l的方程為　　　　. 【答案】x=3或y=1 【解析】由題意得，直線l1，l2之間的距離為d==，且直線l被平行直線l1，l2

15、所截得的線段AB的長為5(如圖). (第3題) 設(shè)直線l與直線l1的夾角為θ， 則sin θ==，故θ=45°. 由直線l1：x+y+1=0的傾斜角為135°，知直線l的傾斜角為0°或90°.又直線l過點P(3，1)，故直線l的方程為x=3或y=1. 4.(2015·宿遷一模)已知光線通過點M(-3，4)，被直線l：x-y+3=0反射，反射光線通過點N(2，6)，則反射光線所在直線的方程是　　　　. 【答案】y=6x-6 【解析】由題意得反射光線經(jīng)過點M(-3，4)關(guān)于直線l的 對稱點Q(x，y)與點N(2，6).由解得所以Q(1，0)，所以反射光線所在直線的方程為=，

16、即y=6x-6. 趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)第109~110頁. 【檢測與評估】 第55課　兩條直線的位置關(guān)系 一、 填空題 1.兩平行直線x+3y-4=0與2x+6y-9=0的距離為　　　　. 2.若直線l過點(-1，2)且與直線2x-3y+4=0垂直，則直線l的方程為　　　　　　. 3.若直線x+ay=2a+2與直線ax+y=a+1平行，則實數(shù)a的值為　　　　. 4.若直線l經(jīng)過直線2x-y+3=0和3x-y+2=0的交點，且與直線y=2x-1垂直，則直線l的方程為　　　　　　. 5.已知直線

17、l：x+2y-2=0，那么點P(-2，-1)關(guān)于直線l的對稱點的坐標為　　　　. 6.已知直線l到直線l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0的距離相等，那么直線l的方程為　　　　. 7.已知直線l：y=3x+3，那么直線x-y-2=0關(guān)于直線l對稱的直線方程為　　　　. 8.已知點P(-2，-2)，Q(0，-1)，取一點R(2，m)，使PR+RQ最小，那么實數(shù)m的值為　　　　. 二、 解答題 9.已知直線l1：(m+3)x+2y=5-3m，l2：4x+(5+m)y=16，求分別滿足下列條件的m的值. (1)l1與l2相交； (2)l1與l2平行；

18、(3)l1與l2重合； (4)l1與l2垂直. 10.已知直線l1：ax-by+4=0，直線l2：(a-1)x+y+b=0，求分別滿足下列條件的a，b的值： (1)直線l1過點(-3，-1)，且直線l1與l2垂直； (2)直線l1與直線l2平行，且坐標原點到l1，l2的距離相等. 11.若直線y=2x是△ABC中角C的平分線所在的直線，且A，B的坐標分別為A(-4，2)，B(3，1)，求頂點C的坐標，并判斷△ABC的形狀. 三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果) 12.若動點A，B分別在直線l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移動，則AB

19、的中點M到原點的距離的最小值為　　　　. 13.若△ABC的頂點為A(3，-1)，AB邊上的中線所在的直線方程為6x+10y-59=0，角B的平分線所在的直線方程為x-4y+10=0，則BC邊所在的直線方程為　　　　. 【檢測與評估答案】 第55課　兩條直線的位置關(guān)系 1. 2. 3x+2y-1=0　【解析】由題意知直線l的斜率為-，因此直線l的方程為y-2=-(x+1)，即3x+2y-1=0. 3.1　【解析】由平行直線斜率相等得=a，解得a=±1，由于當a=-1時兩直線重合，所以a=1. 4.x+2y-11=0　【解析】由 得即交點(1，5

20、)，直線y=2x-1的斜率k=2，與其垂直的直線斜率為-=-，所以所求直線方程為y-5=-(x-1)，即x+2y-11=0. 5.　【解析】設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P'(x0，y0)，則線段PP'的中點M在對稱軸l上，且PP'⊥l，所以解得即點P'的坐標為. 6.2x-y+1=0　【解析】因為直線l到兩直線的距離相等，所以直線l一定與兩直線平行.設(shè)直線l為2x-y+m=0，則由兩條平行線之間的距離公式有=，解得m=1，所以直線l的方程為2x-y+1=0. 7.7x+y+22=0　【解析】由 得交點坐標P.又直線x-y-2=0上的點Q(2，0)關(guān)于直線l的對稱點為Q'，故所求

21、直線(即PQ')的方程為=，即7x+y+22=0. 8. -　【解析】因為R(2，m)在直線x=2上，又P(-2，-2)，Q(0，-1)在直線x=2的同側(cè)，所以可求得P(-2，-2)關(guān)于直線x=2的對稱點P'(6，-2)，所以(PR+RQ)min=P'Q，于是所求的R(2，m)為直線P'Q與直線x=2的交點.由P'，R，Q三點共線，得=，解得m=-. 9. 可先從平行的條件=(化為a1b2=a2b1)著手.由=，得m2+8m+7=0，解得m1=-1，m2=-7. 由=，得m=-1. (1) 當m≠-1且m≠-7時，≠，l1與l2相交. (2) 當m=-7時，=≠.l1∥l2.

22、 (3) 當m=-1時，==，l1與l2重合. (4) 當a1a2+b1b2=0，即(m+3)·4+2·(5+m)=0，m=-時，l1⊥l2. 10. (1) 因為l1⊥l2，所以a(a-1)+(-b)·1=0，即a2-a-b=0.?、? 又點(-3，-1)在l1上， 所以-3a+b+4=0.?、? 由①②解得a=2，b=2. (2) 因為l1∥l2，所以=1-a，所以b=，故l1和l2的方程可分別表示為(a-1)x+y+=0，(a-1)x+y+=0.又原點到l1，l2的距離相等，所以4=，所以a=2或，所以a=2，b=-2或a=，b=2. 11. 由題意畫出大致圖象如圖所

23、示，設(shè)點A(-4，2)關(guān)于直線l：y=2x的對稱點為A'(a，b)，則點A'必在直線BC上. 由對稱性可得 解得所以A'(4，-2). 所以直線BC的方程為=， 即3x+y-10=0. 由得C(2，4). 所以kAC=，kBC=-3，所以AC⊥BC. 所以△ABC是直角三角形. (第11題) 12.3　【解析】依題意知AB的中點M的集合為與直線l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0距離都相等的直線，則點M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離，設(shè)點M所在直線的方程為l：x+y+m=0，根據(jù)平行線間的距離公式得=，|m+7|=|m+5|，解得m=-6，所以l的方程為x+y-6=0，根據(jù)點到直線的距離公式，得點M到原點的距離的最小值為=3. 13.2x+9y-65=0.　【解析】設(shè)B(4y1-10，y1)，由線段AB的中點在直線6x+10y-59=0上，可得6·+10·-59=0，解得y1=5，所以B(10，5). 設(shè)點A關(guān)于x-4y+10=0的對稱點為A'(x'，y')，則有 即A'(1，7).故BC邊所在的直線方程為2x+9y-65=0.