7、為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n≥2時(shí)，有＝1成立，則S2019＝________.
答案
解析 當(dāng)n≥2時(shí)，由＝1，
得2(Sn－Sn－1)＝anSn－S＝－SnSn－1，
所以－＝1，又＝＝2，
所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以＝n＋1，故Sn＝，則S2019＝.
考點(diǎn)三 數(shù)列的綜合應(yīng)用
方法技巧 (1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題、可以利用函數(shù)的性質(zhì)等確定數(shù)列的通項(xiàng)an、前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系.
(2)和不等式有關(guān)的數(shù)列問題，可以利用不等式的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等求最值來解決.
9.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0))處的切線l與直線
8、2x－y＋2＝0平行，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S20的值為________.
答案
解析 因?yàn)閒(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，又函數(shù)f(x)＝x2＋ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0))處的切線l與直線2x－y＋2＝0平行，所以f′(0)＝a＝2，所以f(x)＝x2＋2x，所以＝＝，
所以S20＝
＝×＝.
10.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋bn＋c，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝3n＋d，則向量a＝(c，d)的模為________.
答案 1
解析 由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模為1.
11.設(shè)
9、等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________.
答案 64
解析 由已知a1＋a3＝10，a2＋a4＝a1q＋a3q＝5，
兩式相除得＝，解得q＝，a1＝8，
所以a1a2…an＝8n·1＋2＋…＋(n－1)＝，
拋物線f(n)＝－＋的對(duì)稱軸為n＝＝，
又n∈N*，所以當(dāng)n＝3或4時(shí)，a1a2…an取最大值為＝26＝64.
12.已知函數(shù)f(x)＝3|x＋5|－2|x＋2|，數(shù)列{an}滿足a1<－2，an＋1＝f(an)，n∈N*.若要使數(shù)列{an}成等差數(shù)列，則a1的取值集合為______________.
答案
解析
10、 因?yàn)閒(x)＝
所以若數(shù)列{an}成等差數(shù)列，則當(dāng)a1為直線y＝x＋11與直線y＝－x－11的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即a1＝－11時(shí)，數(shù)列{an}是以－11為首項(xiàng)，11為公差的等差數(shù)列；當(dāng)f(a1)＝a1，即5a1＋19＝a1或－a1－11＝a1，即a1＝－或a1＝－時(shí)，數(shù)列{an}是以0為公差的等差數(shù)列，因此a1的取值集合為.
1.在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，當(dāng)整數(shù)n＞1時(shí)，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，則S15＝________.
答案 211
解析 當(dāng)n＞1時(shí)，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，
∴an＋1＝an＋2，n≥2，
∴an＋1－an＝2，n
11、≥2.
∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始組成公差為2的等差數(shù)列，
∴S15＝a1＋(a2＋…＋a15)＝1＋×14＝211.
2.已知數(shù)列{an}滿足：an＋1＝an(1－2an＋1)，a1＝1，數(shù)列{bn}滿足：bn＝an·an＋1，則數(shù)列{bn}的前2019項(xiàng)的和S2019＝________.
答案
解析 由an＋1＝an(1－2an＋1)，
可得－＝2，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
故＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝.
又bn＝an·an＋1＝
＝，
所以S2019＝
＝×＝.
3.已知數(shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則的最
12、小值為________.
答案
解析 由題意，得a2－a1＝2，
a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝33也滿足，
∴＝n＋－1(n∈N*).
由函數(shù)f(x)＝x＋－1(x＞0)的單調(diào)性可知，
的最小值為f(5)，f(6)中較小的一個(gè).
又f(6)＝，f(5)＝，
∴min＝.
解題秘籍 (1)利用an＝Sn－Sn－1尋找數(shù)列的關(guān)系，一定要注意n≥2這個(gè)條件.
(2)數(shù)列的最值問題可以利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求解，但要考慮最值取到的條件.
1.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差
13、不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}的前6項(xiàng)的和為________.
答案?。?4
解析 由已知條件可得a1＝1，d≠0，
由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，
解得d＝－2.
所以S6＝6×1＋＝－24.
2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6＝6，且1－為a1，a3的等差中項(xiàng)，則a7＋a8＋a9＝________.
答案 8
解析 依題意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，即數(shù)列2,4，S9－S6成等比數(shù)列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8.
3.已知數(shù)列{an}滿
14、足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.
答案 18
解析 由an＋1－an＝2可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
4.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是________.
答案 5
解析 ＝＝＝
＝＝
＝7＋，
驗(yàn)證知，當(dāng)n＝1,2,3,5,11時(shí)為整數(shù).
5.在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an＋1}也是等
15、比數(shù)列，則Sn＝________.
答案 2n
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由于{an＋1}也是等比數(shù)列，所以(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，即a＋2a2＋1＝a1a3＋a1＋a3＋1，即2a2＝a1＋a3，即2q＝1＋q2，解得q＝1，所以數(shù)列{an}是常數(shù)列，所以Sn＝2n.
6.設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝3，則＝________.
答案
解析 設(shè)S2＝k，則S4＝3k，
由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，
又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，
∴S6＝7k，
16、∴＝＝.
7.設(shè){an}是任意等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和與前4n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是________.
①2X＋Z＝3Y；
②4X＋Z＝4Y；
③2X＋3Z＝7Y；
④8X＋Z＝6Y.
答案?、?
解析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)X，Y－X，S3n－Y，Z－S3n成等差數(shù)列，∵2(Y－X)＝X＋S3n－Y，∴S3n＝3Y－3X，
又2(S3n－Y)＝(Y－X)＋(Z－S3n)，
∴4Y－6X＝Y(jié)－X＋Z－3Y＋3X，
∴8X＋Z＝6Y.
8.若數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對(duì)于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則＋＋…＋＝________.
17、答案
解析 由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，
則a2－a1＝1＋1，
a3－a2＝2＋1，
a4－a3＝3＋1，
…，
an－an－1＝(n－1)＋1，n≥2.
以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，n≥2，把a(bǔ)1＝1代入上式得，
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，n≥2，
＝＝2，n≥2，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也滿足，∴＝2，n∈N*，
則＋＋…＋
＝2
＝2＝.
9.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng)，，，…構(gòu)成等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝________.
答案 22
解析 根據(jù)
18、題意可知，等差數(shù)列的a1，a2，a6項(xiàng)成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1，所以＝a1＋(k4－1)·(3a1)＝64a1，解得k4＝22.
10.若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且2Sn＝an＋1an，a1＝4，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.
答案
解析 因?yàn)?Sn＝an＋1an，a1＝4，
所以n＝1時(shí)，2×4＝4a2，解得a2＝2.
n≥2時(shí)，2Sn－1＝anan－1，
可得2an＝an＋1an－anan－1，
所以an＝0(舍去)或an＋1－an－1＝2.
n≥2時(shí)
19、，an＋1－an－1＝2，可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列.
所以a2k－1＝4＋2(k－1)＝2k＋2，k∈N*，
a2k＝2＋2(k－1)＝2k，k∈N*.
所以an＝
11.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這個(gè)女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為________.
答案
解析 設(shè)這個(gè)女子每天分別織布an尺，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q＝2.則＝5，解得a1＝.
所以a3＝×22＝.
1
20、2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝n2＋2n，bn＝anan＋1cos[(n＋1)π]，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.
答案 (－∞，－5]
解析 n＝1時(shí)，a1＝S1＝3.n≥2，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.n＝1時(shí)也成立，
所以an＝2n＋1.
所以bn＝anan＋1cos[(n＋1)π]
＝(2n＋1)(2n＋3)cos[(n＋1)π]，
n為奇數(shù)時(shí)，cos[(n＋1)π]＝1，
n為偶數(shù)時(shí)，cos[(n＋1)π]＝－1.
因此當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…＋(2n＋1)(2n＋3)＝3×5＋4×(7＋11＋…＋2n＋1)＝15＋4×＝2n2＋6n＋7.
因?yàn)門n≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，
所以2n2＋6n＋7≥tn2，t≤＋＋2＝72＋，
所以t≤2.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…－(2n＋1)(2n＋3)
＝－4×(5＋9＋13＋…＋2n＋1)＝－2n2－6n.
因?yàn)門n≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，
所以－2n2－6n≥tn2，t≤－2－，所以t≤－5.
綜上可得t≤－5.
（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第24練 數(shù)列試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題
