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1、飛 行 器 結(jié) 構(gòu) 力 學(xué) 基 礎(chǔ)電 子 教 學(xué) 教 案 第 三 章 靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 與 變 形 計(jì) 算Internal Forces and Deformations ofStatically Determinate Structures第三講靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 一 、 結(jié) 構(gòu) 位 移 計(jì) 算 概 述 結(jié)構(gòu)在外界因素（諸如載荷、溫度改變、支座移動(dòng)、制造誤差等）作用下幾何形狀發(fā)生的變化，稱為結(jié)構(gòu)變形。1、 結(jié) 構(gòu) 的 變 形 結(jié)構(gòu)變形可通過不同的結(jié)構(gòu)位移形式來表征，并通過計(jì)算位移值來定量描述。 2、 結(jié) 構(gòu) 位 移 的 形 式線位移，角位移，相對(duì)線位移，相對(duì)角位移等統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)位移線

2、 位 移 ： 參 考 點(diǎn) 沿 某 一 方 向 上 的 變 形 量 。角 位 移 ： 參 考 截 面 或 元 件 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 變 形 量 ， 轉(zhuǎn) 角 、 扭 轉(zhuǎn)角 等 。相 對(duì) 線 位 移 ： 兩 個(gè) 參 考 點(diǎn) 沿 某 一 方 向 上 的 相 對(duì) 變 形 量 。相 對(duì) 角 位 移 ： 兩 個(gè) 參 考 面 或 元 件 間 的 相 對(duì) 轉(zhuǎn) 動(dòng) 變 形 量 。 計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，一方面為研究結(jié)構(gòu)的剛度提供數(shù)據(jù)，另一方面為靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算奠定基礎(chǔ)。實(shí)質(zhì)：分析結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系的變化。3、 計(jì) 算 結(jié) 構(gòu) 位 移 的 目 的 二 、 回 顧 ： 外 力 功 和 變 形 能 0

3、 dPW 2.1 應(yīng) 變 能 和 余 應(yīng) 變 能對(duì) 于 圖 (a)的 桿 件 為 完 全 彈 性 體 ， 其 橫 截面 積 為 A， 長(zhǎng) 度 為 L。 在 載 荷 P 作 用 下 桿件 的 軸 向 力 N 由 零 逐 漸 增 加 到 最 終 值 P，桿 件 的 變 形 也 由 零 逐 漸 增 加 到 。 力 與變 形 之 間 的 關(guān) 系 按 圖 (b)曲 線 變 化 。 這 時(shí)外 力 所 作 的 功 W 等 于 按 照 能 量 守 恒 原 理 ， 外 載 荷 所 作 的 功 就 以能 量 的 形 式 貯 存 于 桿 件 中 。 彈 性 體 變 形 后具 有 的 作 功 能 力 ， 稱 為 變

4、形 能 或 應(yīng) 變 能 ，用 U 表 示 應(yīng) 變 能 。 二 、 回 顧 ： 外 力 功 和 變 形 能UW 2.1 應(yīng) 變 能 和 余 應(yīng) 變 能對(duì) 于 完 全 彈 性 體 ， 顯 然 應(yīng) 變 能 就 等 于 外力 所 作 的 功 ， 即 圖 示 桿 件 的 應(yīng) 變 能 為 VUALPU V ddd 00 0 dU式 中稱 為 應(yīng) 變 能 密 度 (單 位 體 積 的 應(yīng) 變 能 )。圖 (b)中 曲 線 下 面 的 那 部 分 面 積 就 代 表 了 外力 所 作 的 功 W 或 應(yīng) 變 能 U 的 大 小 。 二 、 回 顧 ： 外 力 功 和 變 形 能 * UW 2.1 應(yīng) 變 能

5、和 余 應(yīng) 變 能圖 (b)曲 線 上 面 的 那 部 分 面 積 所 代 表 的 功量 記 為 W* 或 U*， 并 稱 W* 為 外 力 余 功 ，稱 U* 為 余 應(yīng) 變 能 。 對(duì) 完 全 彈 性 體 來 說 ， 圖 示 桿 件 的 外 力 余 功 W*和 余 應(yīng) 變 能 U*為 * 00* d dd UVU ALPW VP 0* dU式 中稱 為 余 應(yīng) 變 能 密 度 (單 位 體 積 的 余 應(yīng) 變 能 )。 二 、 回 顧 ： 外 力 功 和 變 形 能2.1 應(yīng) 變 能 和 余 應(yīng) 變 能外 力 余 功 W* 或 余 應(yīng) 變 能 U* 并 無 任 何物 理 意 義 ， 純 粹

6、 是 為 了 使 用 上 的 方 便 而定 義 的 一 個(gè) 數(shù) 學(xué) 量 而 已 。但 可 以 證 明 ， 余 應(yīng) 變 能 同 樣 服 從 工 程 結(jié)構(gòu) 中 的 能 量 守 恒 原 理 ， 因 而 ， 通 過 它 所建 立 的 一 種 能 量 方 法 同 樣 可 用 于 實(shí) 際 結(jié) 構(gòu) 分 析 。在 線 彈 性 情 況 下 ， 載 荷 -位 移 曲 線 退 化 為直 線 ， 應(yīng) 變 能 U 與 余 應(yīng) 變 能 U*相 等 ， 從而 應(yīng) 變 能 和 余 應(yīng) 變 能 可 以 互 換 。 二 、 回 顧 ： 外 力 功 和 變 形 能2.1 應(yīng) 變 能 和 余 應(yīng) 變 能將 應(yīng) 變 能 U 和 余 應(yīng)

7、 變 能 U* 分 別 對(duì) 和 P 微 分 ， 可 得 到 PU PU *分 別 表 示 應(yīng) 變 能 對(duì) 位 移 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 等 于 外 力 ， 而 余 應(yīng) 變 能 對(duì) 外力 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 等 于 位 移 ， 可 適 用 于 線 彈 性 或 非 線 彈 性 情 況 。 在 線 彈 性 情 況 下 ， PU 著 名 的 卡 氏 第二 定 理 ,只 適 用于 線 彈 性 情 況 。 二 、 回 顧 ： 外 力 功 和 變 形 能2.2 線 彈 性 結(jié) 構(gòu) 元 件 的 應(yīng) 變 能 和 余 應(yīng) 變 能 的 表 達(dá) 式U EAL 2 2 U P LEA* 12 2 22 LGJU p pT

8、GJ LMU 2* 2122 LEJU EJLMU 2* 21 等 軸 力 桿等 彎 矩 梁等 扭 轉(zhuǎn) 桿 三 、 廣 義 力 與 廣 義 位 移 在 結(jié) 構(gòu) 力 學(xué) 中 ， 經(jīng) 常 用 到 各 種 不 同 類 型 的 力 和 與 這 些 力相 對(duì) 應(yīng) 的 位 移 。 如 圖 所 示 的 三 種 線 彈 性 元 件 上 ， 分 別 作 用 有集 中 力 、 彎 矩 、 扭 矩 ， 對(duì) 應(yīng) 于 這 些 力 的 位 移 分 別 為 線位 移 、 彎 曲 轉(zhuǎn) 角 和 扭 轉(zhuǎn) 角 。 外 力 所 作 的 功 分 別 為 ：P M MT 拉 伸彎 曲扭 轉(zhuǎn) W P 12 W M 1 2 W M T 12

9、 三 、 廣 義 力 與 廣 義 位 移 上 述 三 種 作 用 力 及 對(duì) 應(yīng) 的 三 種 變 形 均 不 相 同 ， 但 它 們 有 共同 點(diǎn) ， 就 是 都 能 使 物 體 發(fā) 生 變 形 ， 從 而 對(duì) 物 體 作 了 功 ， 所 作 之實(shí) 功 均 等 于 系 數(shù) “ 1/2”乘 “ 力 ” 乘 “ 位 移 ” 。 若 把 這 三 種 不 同型 式 的 “ 力 ” 均 稱 為 廣 義 力 ， 與 此 廣 義 力 相 對(duì) 應(yīng) 的 位 移 稱 為 廣義 位 移 的 話 ， 則 廣 義 力 所 作 的 功 可 表 達(dá) 為W 12（ 廣 義 力 ） （ 廣 義 位 移 ） 廣 義 力 與 廣

10、義 位 移 的 定 義 ： 一 般 而 論 ， 任 何 一 個(gè) 力 或 一 組 相 互有 關(guān) 且 又 彼 此 獨(dú) 立 的 力 系 ， 如 果 可 以 用 一 個(gè) 代 數(shù) 量 來 表 示 它 ， 則稱 它 為 一 個(gè) 廣 義 力 ， 與 此 廣 義 力 相 對(duì) 應(yīng) 的 位 移 稱 為 廣 義 位 移 。 廣 義 力 與 相 應(yīng) 的 廣 義 位 移 乘 積 的 一 半 等 于 該 廣 義 力 所 作 的 功 。 三 、 廣 義 力 與 廣 義 位 移如 果 桿 件 同 時(shí) 承 受 有 集 中 力 、 彎 矩 、 扭 矩 作 用 ， 則 廣義 外 力 與 廣 義 位 移 分 別 為 P M MT P

11、 P M MT , , , , 于 是 ， 廣 義 力 所 作 的 功 等 于 PMMPW T 21212121 一 般 地 ： 0 d TPW （ 非 線 性 ）21 TPW （ 線 性 ） 三 、 廣 義 力 與 廣 義 位 移一 些 典 型 結(jié) 構(gòu) 元 件 的 廣 義 力 和 廣 義 位 移 ：EANLN ,等 軸 力 桿 ： EJMLM ,等 彎 曲 桿 ： PTT GJ LMM ,等 扭 轉(zhuǎn) 桿 ：等 剪 力 桿 ： GAQLQ , 四 、 彈 性 體 的 虛 功 原 理1、 概 述彈 性 體 在 外 力 作 用 下 處 于平 衡 ， 存 在 兩 個(gè) 力 學(xué) 狀 態(tài) 平 衡 的 力

12、狀 態(tài)協(xié) 調(diào) 的 位 移 狀 態(tài)特 別 注 意 ： 這 兩 個(gè) 狀 態(tài) 屬 同 一 個(gè) 體 系 ， 是 同 一 個(gè) 力 學(xué)問 題 的 兩 種 表 現(xiàn) 形 式 ， 相 互 關(guān) 聯(lián) ， 不 可 分 割 。平 衡 關(guān) 系 、 協(xié) 調(diào) 關(guān) 系 、 物 理 關(guān) 系力 學(xué) 問 題 的 3個(gè) 基 本 關(guān) 系 W 12（ 廣 義 力 ） （ 廣 義 位 移 ） 實(shí) 功 ： 研 究 彈 性 體 力 學(xué) 問 題 的兩 種 能 量 方 法當(dāng) 協(xié) 調(diào) 的 位 移 狀 態(tài)發(fā) 生 微 小 變 化 時(shí) ，結(jié) 構(gòu) 系 統(tǒng) 的 能 量 有什 么 變 化 ？ 當(dāng) 平 衡 的 力 狀 態(tài) 發(fā)生 微 小 變 化 時(shí) ， 結(jié)構(gòu) 系 統(tǒng)

13、 的 能 量 有 什么 變 化 ？虛 位 移 原 理 虛 力 原 理統(tǒng) 稱 為 ： 虛 功 原 理 重 要 定 義 1虛 位 移 一 種 假 想 的 、 滿 足 位 移 約 束 條 件 的 、 任 意的 、 微 小 的 連 續(xù) 位 移 。假 象 的 ： 是 指 虛 位 移 僅 僅 是 想 象 中 發(fā) 生 但 實(shí) 際 并 不 一定 發(fā) 生 的 一 種 可 能 位 移 。滿 足 位 移 約 束 的 ： 是 指 虛 位 移 應(yīng) 當(dāng) 滿 足 變 形 體 的 變 形協(xié) 調(diào) 條 件 和 位 移 邊 界 條 件 。任 意 的 ： 是 指 虛 位 移 與 變 形 體 是 否 受 力 無 關(guān) 。微 小 的 ：

14、是 指 虛 位 移 并 不 影 響 變 形 體 的 幾 何 關(guān) 系 ， 即不 影 響 力 的 平 衡 關(guān) 系 。因 此 ， 在 發(fā) 生 虛 位 移 的 過 程 中 ， 外 力 與 內(nèi) 力 均 保 持 不變 ， 即 保 持 原 有 的 平 衡 狀 態(tài) 。 虛 位 移 的 例 子 位 移 邊 界 條 件 為 ： 0 , 00 Lxx www 為 梁 的 真 實(shí) 撓 度 曲 線 。幾 種 虛 位 移 的 形 式 ： LxLxAw )1( 11 ),.2,1( sin22n LxnA變形體的真實(shí)位移是否可作為虛位移呢？完 全 可 以 重 要 定 義 2虛 功 實(shí) 力 在 虛 位 移 上 所 作 的 功

15、 ， 或 廣 義 力 在 與其 無 關(guān) 的 虛 廣 義 位 移 上 所 作 的 功 。因 為 ， 在 發(fā) 生 虛 位 移 的 過 程 中 ， 外 力 和 內(nèi) 力 保 持 不 變 ,因 此 ， 在 虛 功 的 表 達(dá) 式 中 無 系 數(shù) “ 1/2”。為 了 與 實(shí) 功 W區(qū) 別 ， 記 虛 功 為 W， 虛 位 移 ， 則 虛 功為 PW 虛 功 的 例 子 2211 TPAPAPW真 實(shí) 外 力 虛 位 移虛 功 為 ： 重 要 定 義 3虛 力 一 種 假 想 的 、 滿 足 平 衡 條 件 的 任 意 力 系 。假 象 的 ： 是 指 虛 力 僅 僅 是 想 象 中 一 種 可 能 力

16、系 。滿 足 平 衡 條 件 的 ： 是 指 虛 力 應(yīng) 當(dāng) 滿 足 力 的 平 衡 方 程（ 內(nèi) 部 ） 和 力 的 邊 界 條 件 （ 外 部 ） 。任 意 的 ： 是 指 虛 力 與 變 形 體 的 變 形 無 關(guān) 。因 此 ， 在 發(fā) 生 虛 力 的 過 程 中 ， 變 形 體 的 位 移 均 保 持 不變 ， 即 保 持 原 有 的 協(xié) 調(diào) 狀 態(tài) 。 虛 力 的 例 子 yx PPN 2212221 N Py1 3 2 2 yx PPN 2212241真 實(shí) 受 力 和 變 形 狀 態(tài) ：)(2212 yx PPN )(22 14 yx PPN 013 N虛 力 狀 態(tài) 1： 雖

17、然 力 狀 態(tài) 是 平衡 的 ， 但 力 狀 態(tài)與 實(shí) 際 變 形 無 關(guān)系 。不 是 真 實(shí) 的 受 力 狀態(tài) ， 而 僅 是 滿 足 平衡 條 件 的 力 狀 態(tài) 。 虛 力 的 例 子 yx PPN 2212221 N Py1 3 2 2 yx PPN 2212241真 實(shí) 受 力 和 變 形 狀 態(tài) ：xPN 212 014 N yx PPN 13虛 力 狀 態(tài) 2： 012 N xPN 214 yx PPN 13虛 力 狀 態(tài) 3：變形體的真實(shí)受力狀態(tài)是否可作為虛力呢？完 全 可 以 重 要 定 義 4余 虛 功 虛 力 在 真 實(shí) 位 移 上 所 作 的 功 ， 或 虛 廣 義力

18、在 與 其 無 關(guān) 的 廣 義 位 移 上 所 作 的 功 。因 為 ， 在 發(fā) 生 虛 力 的 過 程 中 ， 位 移 保 持 不 變 ， 在 余 虛功 的 表 達(dá) 式 中 也 無 系 數(shù) “ 1/2”。為 了 與 余 功 W*區(qū) 別 ， 記 余 虛 功 為 W*， 虛 力 P， 則 余虛 功 為 PW * 余 虛 功 的 例 子 2211* TPwPwPW 余 虛 功 為 ：真 實(shí) 位 移 虛 力 2、 虛 功 原 理2.1 質(zhì) 點(diǎn) 的 虛 位 移 原 理一 質(zhì) 點(diǎn) 在 諸 力 作 用 下 處 于 平 衡 的 充 分 必 要 條 件 是 ： 所有 力 在 質(zhì) 點(diǎn) 虛 位 移 上 所 作 的

19、 虛 功 總 和 為 零 。 0 wZvYuXW 0,0,0 ZYX必 要 條 件 充 分 條 件平 衡 方 程 ：虛 功 方 程 ： 2、 虛 功 原 理2.2 質(zhì) 點(diǎn) 系 的 虛 位 移 原 理一 質(zhì) 點(diǎn) 系 在 諸 力 作 用 下 處 于 平 衡 的 充 分 必 要 條 件 是 ：對(duì) 于 任 意 的 虛 位 移 ， 作 用 于 質(zhì) 點(diǎn) 系 的 主 動(dòng) 力 所 做 虛 功之 和 為 零 。 0 iiiiiii wZvYuXW 0,0,0 iii ZYX必 要 條 件 充 分 條 件平 衡 方 程 ：虛 功 方 程 ：1X2Y1Y2X 1m2m 2、 虛 功 原 理2.2 剛 體 (或 剛

20、體 系 )的 虛 位 移 原 理一 剛 體 (系 )處 于 平 衡 的 充 分 必 要 條 件 是 ： 對(duì) 于 任 何 可能 的 虛 位 移 (剛 體 虛 位 移 )， 作 用 于 剛 體 (系 )的 所 有 外力 所 做 虛 功 之 和 為 零 。 對(duì) 于 一 剛 體 (系 )， 去 掉 約 束 而代 之 以 相 應(yīng) 的 反 力 ， 該 反 力 便可 看 成 外 力 。-F P P +FB B=0假 設(shè) 一 種 剛 體 虛 位 移 ， 則 有相 當(dāng) 于 MA=0 2、 虛 功 原 理2.4 彈 性 系 統(tǒng) 的 虛 位 移 原 理平 衡 的 力 狀 態(tài) 協(xié) 調(diào) 的 虛 位 移 狀 態(tài)彈 性 系

21、 統(tǒng) 在 外 力 作 用 下 處 于 平 衡 狀 態(tài) ， 對(duì) 任 意 的 虛 位 移 ， 系 統(tǒng)中 所 有 外 力 在 虛 位 移 上 所 作 的 虛 功 總 和 等 于 所 有 內(nèi) 力 在 虛 位 移上 所 作 的 虛 功 總 和 。外 力 虛 功內(nèi) 力 虛 功 iie PW iii VSW ie WW 符 號(hào) 標(biāo) 記 ：Si、 Vi 分 別 表 示 在 真 實(shí) 外 力 作用 下 ， 彈 性 體 內(nèi) 部 第 i個(gè) 元 件的 內(nèi) 力 和 位 移 ；Si 表 示 第 i個(gè) 元 件 的 虛 內(nèi) 力 ；Vi 表 示 第 i個(gè) 元 件 的 虛 位 移 。 2、 虛 功 原 理協(xié) 調(diào) 的 位 移 狀 態(tài)

22、 平 衡 的 虛 力 狀 態(tài)彈 性 系 統(tǒng) 在 外 力 作 用 下 處 于 變 形 協(xié) 調(diào) 狀 態(tài) ， 對(duì) 任 意 的 虛 力 狀 態(tài) ,系 統(tǒng) 中 所 有 虛 外 力 在 位 移 上 所 作 的 余 虛 功 總 和 等 于 所 有 虛 內(nèi) 力在 位 移 上 所 作 的 虛 余 功 總 和 。2.4 彈 性 系 統(tǒng) 的 虛 力 原 理外 力 余 虛 功內(nèi) 力 余 虛 功 iie PW * iii VSW * * ie WW 待 分 析 平 衡 的 力 狀 態(tài)3、 彈 性 系 統(tǒng) 虛 功 原 理 的 應(yīng) 用n 關(guān) 于 虛 位 移 原 理【 例 1】 建 立 圖 示 桁 架 1點(diǎn) 的 平 衡 方

23、程 。解 ：（ 1） 設(shè) 三 根 桿 的 內(nèi) 力 分 別 為 N1、 N2、 N3，在 1點(diǎn) 處 與 外 載 荷 應(yīng) 滿 足 平 衡 條 件 。 N1 N2 N3（ 2） 假 設(shè) 1處 的 水 平 位 移 為 u， 垂 直 位移 為 v。 根 據(jù) 桁 架 的 幾 何 參 數(shù) ， 可 以 得出 各 桿 與 結(jié) 點(diǎn) 1的 位 移 相 協(xié) 調(diào) 的 變 形 ， 如表 所 示 。 桿 號(hào) 桿 長(zhǎng) 伸 長(zhǎng) 量1-2桿 ：1-3桿 ：1-4桿 ： L2L2L )(22 vuv )(22 vu協(xié) 調(diào) 的 虛 位 移 狀 態(tài) 【 例 1】 建 立 圖 示 桁 架 1點(diǎn) 的 平 衡 方 程 。解 ：（ 3） 外

24、力 虛 功 、 內(nèi) 力 虛 功 分 別 為 N1 N2 N3)(22)()(22 321 vuNvNvuNWi )( vPuPW yxe （ 4） 根 據(jù) 虛 位 移 原 理 ， ， 有 ie WW 0)2222()2222( 32131 vNNNPuNNP yx由 于 虛 位 移 u、 v為 任 意 值 ， 有02222 31 NNPx 02222 321 NNNPy 1點(diǎn) 的 X向 平 衡 方 程1點(diǎn) 的 Y向 平 衡 方 程 出導(dǎo)3、 彈 性 系 統(tǒng) 虛 功 原 理 的 應(yīng) 用待 分 析 的 平 衡 系 統(tǒng) 的力 狀 態(tài) 虛 設(shè) 的協(xié) 調(diào) 位 移 狀 態(tài)n 關(guān) 于 虛 位 移 原 理 i

25、e WW 實(shí) 際 受 力 狀 態(tài) 的 平 衡 方 程實(shí) 質(zhì) ： 用 幾何 法 解 靜 力平 衡 問 題 。 待 分 析 協(xié) 調(diào) 的 位 移 狀 態(tài)n 關(guān) 于 虛 力 原 理【 例 2】 圖 示 桁 架 在 外 力 作 用 下 處 于 變 形 協(xié)調(diào) 狀 態(tài) 。 已 知 桿 子 12、 13、 14的 伸 長(zhǎng) 量 分 別為 L12、 L13、 L14， 求 1點(diǎn) 的 水 平 位 移 u和 垂 直 位 移 v。解 ：（ 1） 內(nèi) 位 移 L12、 L13 和 L14， 與 1點(diǎn)的 水 平 位 移 u和 垂 直 位 移 v應(yīng) 滿 足 協(xié) 調(diào) 條 件 。（ 2） 假 設(shè) 1點(diǎn) 處 的 水 平 力 為 P

26、x， 垂 直 力為 Py。 根 據(jù) 虛 力 的 定 義 ， 可 以 求 與 虛 外力 平 衡 的 一 種 內(nèi) 力 狀 態(tài) ， 如 圖 所 示 。 滿 足 平 衡 條 件 的 虛 力 狀 態(tài) )(22 yx PP )(22 yx PP 0 【 例 2】 解 ：（ 3） 外 力 余 虛 功 、 內(nèi) 力 余 虛 功 分 別 為 1412* )(22)(22 LPPLPPW yxyxi vPuPW yxe * （ 4） 根 據(jù) 虛 位 移 原 理 ， ， 有* ie WW 0)(22)(22 14121412 xx PLLvPLLu由 于 虛 力 Px、 Py為 任 意 值 ， 有)(22 1412

27、LLu )(22 1412 LLv 1點(diǎn) 的 X向 幾 何 方 程1點(diǎn) 的 Y向 幾 何 方 程 出導(dǎo)3、 彈 性 系 統(tǒng) 虛 功 原 理 的 應(yīng) 用待 分 析 的 協(xié) 調(diào) 系 統(tǒng) 的位 移 狀 態(tài) 虛 設(shè) 的平 衡 力 狀 態(tài)n 關(guān) 于 虛 力 原 理 * ie WW 實(shí) 際 變 形 狀 態(tài) 的 幾 何 (協(xié) 調(diào) )方 程實(shí) 質(zhì) ： 用 靜力 平 衡 法 解幾 何 問 題 。 五 、 單 位 載 荷 法 求 位 移 的 Mohr公 式1、 單 位 載 荷 法 的 一 般 表 達(dá) 式利 用 虛 功 原 理 (虛 力 原 理 )， 可 以 求 出 變 形 結(jié) 構(gòu) 中 任 意 一 點(diǎn) 由 于變 形

28、 而 產(chǎn) 生 的 位 移 。真 實(shí) 的 位 移 狀 態(tài) 平 衡 的 虛 力 狀 態(tài) ipimpm dVSP 令 ， 則 有 ipimp dVS 11 mP 虛 功 原 理 五 、 單 位 載 荷 法 求 位 移 的 Mohr公 式1、 單 位 載 荷 法 的 一 般 表 達(dá) 式 ipimp dVS 1式 中 ： 即 為 所 求 m點(diǎn) 處 的 結(jié) 構(gòu) 位 移 值 ； 表 示 外 力 作 用 下 結(jié) 構(gòu) 元 件 i 的 真 實(shí) 位 移 ； 表 示 單 位 廣 義 力 作 用 下 的 結(jié) 構(gòu) 內(nèi) 力 。 mp 1iS ipdV這 就 是 單 位 載 荷 法 (Dummy-Unit Load Meth

29、od)，它 是 Maxwell(1864)和 Mohr(1874)提 出 的 ， 故 也 稱 為Maxwell-Mohr Method。 上 式 可 寫 成 ：五 、 單 位 載 荷 法 求 位 移 的 Mohr公 式1、 單 位 載 荷 法 的 一 般 表 達(dá) 式 ipimp dVS 1如 何 求 ？ iipip KdsSdV ipdV ： 外 力 作 用 下 第 i 個(gè) 結(jié) 構(gòu) 元 件 的 廣 義 力 ；ipS ： 第 i 個(gè) 結(jié) 構(gòu) 元 件 的 剛 度 系 數(shù)iK 桁 架 ：剛 架 ： 等ii EAK )( ii EJK )( iipimp K dsSS 1 五 、 單 位 載 荷 法

30、求 位 移 的 Mohr公 式1、 單 位 載 荷 法 的 一 般 表 達(dá) 式根 據(jù) 不 同 類 型 元 件 的 廣 義 力 與 廣 義 位 移 ， 可 得 到 不 同 類 型 結(jié)構(gòu) 的 位 移 計(jì) 算 公 式 。 EA LNNEA LNN pi iipimp 11 )(n 平 面 或 空 間 桁 架n 平 面 剛 架 GA dLQQkEJ dLMMEA dLNN pppmp 111 截 面 形 狀 系 數(shù) 。 如 ：（ 1） 對(duì) 矩 形 截 面 k=6/5；（ 2） 對(duì) 圓 形 截 面 k=10/9。 軸 力 彎 矩 剪 力 五 、 單 位 載 荷 法 求 位 移 的 Mohr公 式2、 用

31、 單 位 載 荷 法 求 結(jié) 構(gòu) 位 移 的 一 般 步 驟 求 在 外 載 荷 作 用 下 的 結(jié) 構(gòu) 真 實(shí) 內(nèi) 力 ； 施 加 與 所 求 位 移 相 對(duì) 應(yīng) 的 單 位 廣 義 力 ， 并 求 在 單 位 廣 義 力作 用 下 的 結(jié) 構(gòu) 內(nèi) 力 ； 代 入 單 位 載 荷 法 的 一 般 表 達(dá) 式 中 ， 求 廣 義 位 移 ； 若 ， 表 示 所 求 位 移 的 方 向 與 單 位 力 方 向 相 同 ； ， 表 示 所 求 位 移 的 方 向 與 單 位 力 方 向 相 反 。ipS1iS mp0mp 0mp著 重 指 出 ： 單 位 力 的 位 置 、 類 型 和 方 位 必

32、 須 與 所 求 位 移 相 對(duì) 應(yīng) 。施 加 單 位 廣 義 力 的 原 則 ： 單 位 廣 義 力 位 移 所 求 位 移 值 如 何 施 加 與 所 求 位 移 對(duì) 應(yīng) 的 單 位 廣 義 力求 5點(diǎn) 的 豎 向 位 移 1求 1點(diǎn) 和 6點(diǎn) 的 水 平相 對(duì) 位 移 1 1 如 何 施 加 與 所 求 位 移 對(duì) 應(yīng) 的 單 位 廣 義 力求 1 5桿 的 轉(zhuǎn) 角求 1點(diǎn) 和 6點(diǎn) 在 1、 6連 線 上 的 相 對(duì) 位 移 1 1 151L 15 1L 如 何 施 加 與 所 求 位 移 對(duì) 應(yīng) 的 單 位 廣 義 力求 1 5桿 、 3 6桿的 相 對(duì) 轉(zhuǎn) 角 151L 15 1L

33、 361L 361L 如 何 施 加 與 所 求 位 移 對(duì) 應(yīng) 的 單 位 廣 義 力求 A點(diǎn) 的 豎 向 位 移 1求 A截 面 的 轉(zhuǎn) 角 1 如 何 施 加 與 所 求 位 移 對(duì) 應(yīng) 的 單 位 廣 義 力求 A、 B兩 點(diǎn) 的 豎 向相 對(duì) 位 移 1求 A、 B兩 截 面 的 相對(duì) 轉(zhuǎn) 角 11 1 例 1： 求 桁 架 4點(diǎn) 的 豎 向 位 移 4V， 設(shè) 各 桿 EA均 相 同 。解 ：1、 幾 何 特 性 分 析該 桁 架 為 無 多 余 約 束 的 幾 何 不變 體 ， 故 為 靜 定 的 。3、 為 求 4點(diǎn) 的 豎 向 位 移 ， 在 4點(diǎn)豎 向 方 向 上 施 加

34、單 位 廣 義 力 ，并 求 單 位 廣 義 力 作 用 下 的 結(jié) 構(gòu)內(nèi) 力 ， 即 求 。 1iS4、 由 單 位 載 荷 法 求 4V EALNNK dsSS Piipimp 112、 求 桁 架 在 外 載 荷 作 用 下 的內(nèi) 力 ， 即 求 。ipSiPS 例 1： 求 桁 架 4點(diǎn) 的 豎 向 位 移 4V， 設(shè) 各 桿 EA均 相 同 。EAPa aPaPEA EA LNN PV )21(2 2)2)(2(211 14 4V0， 與 單 位 力 的 方 向 一 致 。 例 2： 求 剛 架 A點(diǎn) 的 豎 向 位 移 AV。 設(shè) E、 J、 G、 A均 相 同 。解 ：1、 幾

35、何 特 性 分 析該 剛 架 為 無 多 余 約 束 的 幾 何 不 變 體 ，故 為 靜 定 的 。 ipS2、 求 剛 架 在 外 載 荷 作 用 下 的 內(nèi) 力 ，即 求 。 iPS 例 2： 求 剛 架 A點(diǎn) 的 豎 向 位 移 AV。 設(shè) E、 J、 G、 A均 相 同 。3、 為 求 A點(diǎn) 的 豎 向 位 移 ， 在 A點(diǎn) 豎 向 方向 上 施 加 單 位 廣 義 力 ， 并 求 單 位 廣 義 力作 用 下 的 結(jié) 構(gòu) 內(nèi) 力 ， 即 求 。1iS 例 2： 求 剛 架 A點(diǎn) 的 豎 向 位 移 AV。 設(shè) E、 J、 G、 A均 相 同 。4、 由 單 位 載 荷 法 求 AV

36、。 )1836183101(2183 218335 223 3 111 GAakEJAaJEJPa EJPaGAkPaEAPa GA dLQQkEJ dLMMEA dLNN pppAV 彎 曲 軸 向 剪 切對(duì) 于 細(xì) 長(zhǎng) 桿 件 ， 相 比 彎 矩 來 說 ， 軸 力 和 剪 力 對(duì) 變 形 的 影 響 很 小 ,可 略 去 軸 力 項(xiàng) 和 剪 力 項(xiàng) 的 影 響 ， 只 計(jì) 及 彎 矩 項(xiàng) 。 例 3： 求 半 徑 為 R的 半 園 環(huán) A點(diǎn) 的 位 移 A。 設(shè) 抗 彎 剛 度 為 EJ。解 ：1、 幾 何 特 性 分 析該 剛 架 為 靜 定 的 。2、 求 剛 架 在 外 載 荷 作

37、 用 下 的 內(nèi) 力 ， 即求 。iPS )0( sin PRM P外 側(cè) 受 壓 例 3： 求 半 徑 為 R的 半 園 環(huán) A點(diǎn) 的 位 移 A。 設(shè) 抗 彎 剛 度 為 EJ。3、 為 求 A點(diǎn) 的 位 移 ， 在 A點(diǎn) 豎 向 和 水 平 方 向 上 分 別 施 加 單 位 廣義 力 ， 并 求 單 位 廣 義 力 作 用 下 的 結(jié) 構(gòu) 內(nèi) 力 ， 即 求 。1iS )2/( )sin1(1 RM內(nèi) 側(cè) 受 壓 )2/( cos )2sin(2 RRM外 側(cè) 受 壓 例 3： 求 半 徑 為 R的 半 園 環(huán) A點(diǎn) 的 位 移 A。 設(shè) 抗 彎 剛 度 為 EJ。4、 由 單 位 載

38、 荷 法 ， 分 別 求 AV、 AH 。 )41()sin(sin 32/ 231 EJPRdEJPREJ dLMM pAV EJPRdEJPREJ dLMM pAH 2cossin 32/32 由 此 計(jì) 算 得 到 A點(diǎn) 的 位 移 A為 AHAV AHAVAtg 22 1、 概 述六 、 圖 乘 法 及 其 應(yīng) 用 積 分 的 計(jì) 算L PdsNN0 1 在 用 單 位 載 荷 法 計(jì) 算 結(jié) 構(gòu) 位 移 時(shí) ， 經(jīng) 常 遇 到 類 似 形 式 的 積 分 。 其 中 、 都 是 積 分 變 量 的 函 數(shù) ， 并 且 或 兩 者 之 一 是 線 性 變 化 的 。 在 這種 情 形

39、下 ， 可 以 導(dǎo) 出 一 種 較 為 簡(jiǎn) 便 的 計(jì) 算 方 法 ， 稱 為圖 形 互 乘 法 。 L PdsNN0 1 1N PN1N PN s 2、 圖 乘 法 的 公 式 推 導(dǎo)六 、 圖 乘 法 及 其 應(yīng) 用 積 分 的 計(jì) 算L PdsNN0 1設(shè) 在 區(qū) 間 上 定 義 兩 個(gè) 函 數(shù) 和 ， 其 中 是 的 線 性 函 數(shù) ， 求 積 分 的 值 。,0 L )(1 xN )(2 xN )(2 xNx L dxxNxN0 21 )()( 021 10 11 12 210 21 212121 21 )( )()( )()(Nxtg xdtg dxtg dxN dxxNxN dx

40、xNxN L LLLLL LLL 延 長(zhǎng) 至 o 點(diǎn) ， 建 立 oy 軸 ， 有2N N1的 圖 形 對(duì) y軸 的 靜 矩圖 乘 法 是 維 利 沙 金 (Vereshagin)于 1925年 提 出的 ， 值 得 一 提 的 是 ， 他 當(dāng) 時(shí) 為 莫 斯 科 鐵 路 運(yùn) 輸學(xué) 院 的 學(xué) 生 。 2、 圖 乘 法 的 公 式 推 導(dǎo)六 、 圖 乘 法 及 其 應(yīng) 用 積 分 的 計(jì) 算L PdsNN0 1一 般 地 ， cL ydxxNxN 0 21 )()( 為 曲 線 圖 形 的 面 積 ； cy 為 曲 線 圖 面 積 的 形 心 對(duì) 應(yīng) 于 直 線 圖 形 的 高 度 。注 意

41、圖 乘 法 的 應(yīng) 用 條 件 ：（ 1） 等 截 面 直 桿 ， EA 或 EI 等 應(yīng) 為 常 數(shù) ；（ 2） 兩 個(gè) 圖 中 應(yīng) 有 一 個(gè) 是 直 線 ；（ 3） 應(yīng) 取 自 直 線 圖 中 。cy 3、 討 論 幾 種 情 況六 、 圖 乘 法 及 其 應(yīng) 用 積 分 的 計(jì) 算L PdsNN0 1abL31 abL 61 3、 討 論 幾 種 情 況六 、 圖 乘 法 及 其 應(yīng) 用 積 分 的 計(jì) 算L PdsNN0 1abL )2()2( 6 dcbdcaL 例 4： 求 剛 架 A點(diǎn) 的 豎 向 位 移 AV。 設(shè) EJ 均 相 同 。解 ：1、 幾 何 特 性 分 析該 剛

42、 架 為 無 多 余 約 束 的 幾 何 不 變 體 ，故 為 靜 定 的 。2、 求 剛 架 在 外 載 荷 作 用 下 的內(nèi) 力 ， 即 求 。ipS iPS3、 為 求 A點(diǎn) 的 豎 向 位移 ， 在 A點(diǎn) 豎 向 方 向 上施 加 單 位 廣 義 力 ， 并求 單 位 廣 義 力 作 用 下的 結(jié) 構(gòu) 內(nèi) 力 ， 即求 。1iS 例 4： 求 剛 架 A點(diǎn) 的 豎 向 位 移 AV。 設(shè) EJ 均 相 同 。4、 利 用 圖 乘 法 求 AV。EJPa PaPaEJ aaPaPaaaPaEJ EJ dLMM pAV 3 3315.91 5.8291 32 5)83(333311 例 5： 求 x=?時(shí) ， A點(diǎn) 的 垂 直 位 移 AV等 于 零 ， 設(shè) EJ 均 相 同 。解 ：1、 幾 何 特 性 分 析該 剛 架 為 無 多 余 約 束 的 幾 何不 變 體 ， 故 為 靜 定 的 。2、 求 。 ipSiPS3、 求 。 1iS 例 5： 求 x=?時(shí) ， A點(diǎn) 的 垂 直 位 移 AV等 于 零 ， 設(shè) EJ 均 相 同 。4、 利 用 圖 乘 法 求 AV。36 )(2(61 2 1 xLEJPL xLPPxLLEJ EJ dLMM pAV 因 此 ， 時(shí) ， A點(diǎn) 的 垂 直位 移 為 零 。 3Lx