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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2《弧度制》三維目標(biāo)教案 蘇教版必修4 【三維目標(biāo)】： 一、知識(shí)與技能 1.使學(xué)生理解弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù) 2.了解角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 3.掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式，會(huì)利用弧度制解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題； 二、過程與方法 1.通過單位圓中的圓心角引入弧度的概念，比較兩種度量角的方法探究角度制與弧度制之間的互化；應(yīng)用在特殊角的角度制與弧度制的互化，幫助學(xué)生理解掌握； 2.以針對(duì)性的例題和習(xí)題使學(xué)生掌握弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式；以具體的實(shí)例學(xué)習(xí)角度制與弧度制的互化，能正確使用計(jì)算器. 3.通過自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，樹立學(xué)生正確的學(xué)習(xí)態(tài)度。 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 1. 通過弧度制的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解并認(rèn)識(shí)到角度制與弧度制都是度量角制度，二者雖單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解； 2.在弧度制下，角的加、減運(yùn)算可以像十進(jìn)制一樣進(jìn)行，而不需要進(jìn)行角度制與十進(jìn)制之間的互化，化簡(jiǎn)了六十進(jìn)制給角的加、減運(yùn)算帶來(lái)的諸多不便，體現(xiàn)了弧度制的簡(jiǎn)捷美； 3.通過弧度制與角度制的比較，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到引入弧度制的優(yōu)越性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。 4.教師可以向?qū)W生介紹或讓學(xué)生查閱弧度制的歷史和有關(guān)歐拉的資料，這有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。歐拉的有關(guān)事跡有助于陶冶學(xué)生情操，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔的意志、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和勇于創(chuàng)新精神。 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】： 重點(diǎn)：理解弧度制的意義，正確進(jìn)行弧度與角度的換算；弧長(zhǎng)和面積公式及應(yīng)用。 難點(diǎn)：弧度的概念 關(guān)鍵：弄清1弧度的角的含義是建立弧度概念的關(guān)鍵 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1. 學(xué)法：在我們所掌握的知識(shí)中，知道角的度量是用角度制，但是為了以后的學(xué)習(xí)，我們引入了弧度制的概念，我們一定要準(zhǔn)確理解弧度制的定義，在理解定義的基礎(chǔ)上熟練掌握角度制與弧度制的互化. 在學(xué)習(xí)中，通過自主學(xué)習(xí)的形式，讓學(xué)生感受弧度制的優(yōu)越性，在類比中理解掌握弧度制。 在初中，我們非常熟悉角度制表示角，但在進(jìn)行角的運(yùn)算時(shí)，運(yùn)用六十進(jìn)制出現(xiàn)了很不習(xí)慣的問題，與我們常用的十進(jìn)制不一樣，正因?yàn)檫@樣，所以有必要引入弧度制； 2. 教學(xué)用具：計(jì)算器、多媒體、實(shí)物投影儀、三角板. 【教學(xué)方法】： 通過幾何畫板多媒體課件的演示，給學(xué)生以直觀的形象，使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性和可行性。從特殊到一般，是人類認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，讓學(xué)生從某一個(gè)簡(jiǎn)單的、特殊的情況開始著手，更利于教學(xué)的開展和學(xué)生思維的拓展，共同找出弧度與角度換算的方法。通過設(shè)置問題啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納，使學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上更好地進(jìn)行合作交流。 【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過角的度量，1的角是怎樣定義的呢?（周角的為1的角） 這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制，但在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中我們還經(jīng)常用到另一種度量角的單位制——弧度制。下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)弧度制的有關(guān)概念．(板書課題)弧度制的單位是rad，讀作弧度． 二、研探新知 長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角，記作1 。用弧度作為角的單位來(lái)度量角的單位制稱為弧度制（radian measure）。 正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為0。若圓的半徑為，圓心角所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為，則其弧度數(shù)就是；若半徑為，圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)為，則其弧度數(shù)就是，故有 度 【探究】：如圖,半徑為的圓的圓心與原點(diǎn)重合,角的終邊與軸的正半軸重合,交圓于點(diǎn),終邊與圓交于點(diǎn).請(qǐng)完成表格. 弧的長(zhǎng) 旋轉(zhuǎn)的方向 的弧度數(shù) 的度數(shù) 逆時(shí)針方向 逆時(shí)針方向 【注意】：（1）用弧度表示角的大小時(shí)，只要不引起誤解，可以省略單位。例如1 ，2 ，，可以分別寫成1，2，，sinp表示p 角的正弦； （2）一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記?。? 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210 225 240 270 300 315 330 360 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π （3）應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣以后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:即每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)應(yīng). 正角 零角 負(fù)角 正實(shí)數(shù) 零 負(fù)實(shí)數(shù) 任意角的集合 實(shí)數(shù)集R 弧長(zhǎng)公式： 由公式： （比公式簡(jiǎn)單） 弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積 扇形面積公式： 其中是扇形弧長(zhǎng)，是圓的半徑。 （．這比扇形面積公式 要簡(jiǎn)單） 說明：①弧度制下的公式要顯得簡(jiǎn)潔的多了；②以上公式中的必須為弧度單位． 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1（教材例1）把下列各角從弧度化為度：（1） （2） 解：（1） （2） 【舉一反三】 1.將化為角度制是_____，5是第____象限角。 2.若為第四象限角，則為第____象限角 3.有以下四組角：①；②；③；④,，其中終邊相同的是（ ） .①和② .①、②和③ .①、②和④ .①、②、③和④ 例2（教材例1）把下列各角從度化為弧度：（1）；（2） 【舉一反三】 1.將化為弧度制是____ 2.比較大小：3_____, _____ 3.集合，，則（ ） . . . . 【觸類旁通】 1. 在同一直角坐標(biāo)系中用陰影畫出集合：， ,并寫出和 2.已知集合，，試求 例3 （教材例3）已知扇形的周長(zhǎng)為8，圓心角為2，求該扇形的面積。 A B 解：設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則有，解得，故扇形的面積為 【舉一反三】 1．地球的赤道半徑為6370千米，則赤道上1度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_____，1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_____ 2．若1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為2，則此圓心角所夾的扇形的面積等于_____ 3．一個(gè)半徑為的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的長(zhǎng)，那么扇形的圓心角是多少弧度？扇形的面積是多少？ 例4 已知一扇形的周長(zhǎng)為c(c＞0)，當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)為何值時(shí)，它有最大面積？并求出面積的最大值. 【舉一反三】 現(xiàn)有一根長(zhǎng)為的鐵絲，學(xué)生甲用它圍成一個(gè)面積最大的矩形，學(xué)生乙用它圍成一個(gè)面積最大的扇形，則兩人圍成的圖形中，哪個(gè)面積較大？試說明理由。 四、鞏固深化，反饋矯正 1．把45化成弧度。解：45＝45rad＝rad. 2．把rad化成度。解：rad＝180＝108. 3.將下列各角化成2k+（k的形式。（1）； （2） 4.寫出陰影部分的角的集合： 5．圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的，而弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)的圓心角是原來(lái)的　　　倍。 6．已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。 7．若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，則這個(gè)圓心角所在的扇形面積是　 ?。? 五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí) 1.本節(jié)主要學(xué)習(xí)了弧度制的定義；弧度制與角度制的區(qū)別，角度與弧度的換算公式，使角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；特殊角的弧度數(shù)；弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式 2.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向老師提出。 六、承上啟下，留下懸念 1．時(shí)鐘的分針經(jīng)過40分鐘時(shí)間旋轉(zhuǎn)的角度是______ 2．把化成的形式是______ 3．集合和關(guān)系是（ ） （A） （B） （C） （D） 4．集合的關(guān)系是（ ） （A） （B） （C） （D）以上都不對(duì)。 5．已知集合，則等于（ ） （A） （B） （C） （D）或 6．下列各對(duì)角中終邊相同的角是（ ） A.（ｋ∈Ｚ） B. －和π C.－和 D. 7．設(shè)，則的取值范圍是_______ 8．將下列各角化成的形式，并確定其所在的象限 （1）；（2） 9．已知集合，試求，,試求 10．一個(gè)扇形周長(zhǎng)等于它的弧所在圓的周長(zhǎng)的一半，若圓的半徑為，求扇形的面積。 11．2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，求這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，及圓心角所夾扇形面積（要求作圖）。 12．已知扇形的周長(zhǎng)為30，當(dāng)它的半徑和圓心角各取多少值時(shí)，扇形面積最大，最大值為多少？ 13．（1）已知扇形的圓心角為，半徑，求弧長(zhǎng)及扇形面積。 （2）已知扇形周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的中心角為多大時(shí)它有最大面積，最大面積是多少？ 預(yù)習(xí)提綱：銳角三角函數(shù)是用邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是怎樣定義的? 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：