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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《曲線與方程》教案2 新人教選修2-1 ●教學(xué)目標(biāo) 1．了解解析幾何的基本思想； 2．了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的初步知識和觀點； 3．初步掌握求曲線的方程的方法. ●教學(xué)重點 求曲線的方程 ●教學(xué)難點 求曲線方程一般步驟的掌握. ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧： 師：上一節(jié)，我們已經(jīng)建立了曲線的方程.方程的曲線的概念.利用這兩個重要概念，就可以借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標(biāo)（x,y）所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這一節(jié)，我們就來學(xué)習(xí)這一方法. Ⅱ.講授新課 1．解析幾何與坐標(biāo)法： 我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法. 在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識形成了一門叫解析幾何的學(xué)科.因此，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科. 2．平面解析幾何研究的主要問題： （1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程； （2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì). 說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟. 例2 設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)是（－1，－1），（3，7），求線段AB的垂直平分線的方程. 解：設(shè)M（x,y）是線段AB的垂直平分線上任意一點（圖7—29），也就是點M屬于集合 . 由兩點間的距離公式，點M所適合條件可表示為： 將上式兩邊平方，整理得： x+2y－7=0 ① 我們證明方程①是線段AB的垂直平分線的方程. （1）由求方程的過程可知，垂直平分線上每一點的坐標(biāo)都是方程①解； （2）設(shè)點M1的坐標(biāo)（x1,y1）是方程①的解，即 x+2y1－7=0 x1=7－2y1 點M1到A、B的距離分別是 即點M1在線段AB的垂直平分線上. 由（1）、（2）可知方程①是線段AB的垂直平分線的方程. 師：由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個步驟： （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)； （2）寫出適合條件P的點M的集合P={M|P（M）}； （3）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程f(x,y)=0; （4）化方程f(x,y)=0為最簡形式； （5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點. 說明：一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（2），直接列出曲線方程. 師：下面我們通過例子來進一步熟悉求曲線軌跡的一般步驟. 例3 已知一條曲線在x軸的上方，它上面的每一點到點A（0，2）的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程. 解：如圖所示，設(shè)點M（x,y）是曲線上任意一點，MB⊥x軸，垂足是B（圖7—31），那么點M屬于集合 由距離公式，點M適合的條件可表示為： ① 將①式移項后再兩邊平方，得 x2+(y－2)2=(y+2)2,化簡得： 因為曲線在x軸的上方，所以y＞0,雖然原點O的坐標(biāo)（0，0）是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程是 (x≠0)。 師：上述兩個例題讓學(xué)生了解坐標(biāo)法的解題方法，明確建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求解曲線方程的基礎(chǔ)；同時，根據(jù)曲線上的點所要適合的條件列出等式，是求曲線方程的重要環(huán)節(jié)，在這里常用到一些基本公式，如兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線的斜率公式等，因此先要了解上述知識，必要時作適當(dāng)復(fù)習(xí). Ⅱ.課堂練習(xí) 課本P39練習(xí)3 ●課堂小結(jié) 師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家初步認(rèn)識坐標(biāo)法研究幾何問題的知識與觀點，進而逐步掌握求曲線的方程的一般步驟. ● 課后作業(yè) P40習(xí)題A組 3，4 B組 2