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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第四章《圓與方程》復(fù)習(xí)教案 新人教A版必修2 復(fù)習(xí)知識點(diǎn)： 一：圓的方程。 （1）標(biāo)準(zhǔn)方程（幾何式）： （圓心為A(a,b),半徑為r） （2）圓的一般方程（代數(shù)式）：（） 圓心 半徑 提示：求圓的方程的主要方法有兩種：一是定義法，二是待定系數(shù)法。定義法是指用定義求出圓心坐標(biāo)和半徑長，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；待定系數(shù)法即列出關(guān)于的方程組，求而得到圓的一般方程，一般步驟為：(1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組；(3)解方程組。求出的值，并把它們代人所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的一般方程． 二：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法，，： 若 ，則點(diǎn)P在圓上；若 ,則點(diǎn)P在圓外；若 ,則點(diǎn)P在圓內(nèi)； 三：直線與圓的位置關(guān)系判斷方法： （1）幾何法：由圓心到直線的距離d和圓r的半徑的大小關(guān)系來判斷。 (1) 相交 （2）相切 （3）相離 適用于已知直線和圓的方程判斷二者關(guān)系，也適用于其中有參數(shù)，對參數(shù) 談?wù)摰膯栴}。利用這種方法，可以簡單的算出直線與圓相交時的相交弦的長，以及當(dāng)直線與 圓相離時，圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)、最近距離等。 （2）代數(shù)法：由直線與圓的方程聯(lián)立消元得到 ,然后由判別式△來判斷。 (1) 相交 （2）相切 （3）相離 利用這種方法，可以很簡單的求出直線與圓有交點(diǎn)時的交點(diǎn)坐標(biāo)。 四：圓與圓的位置關(guān)系判斷方法： （1）幾何法：兩圓的連心線長為，圓的半徑與圓的半徑，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)： 1）當(dāng) 時，圓與圓相離；2）當(dāng) 時，圓與圓外切； 3）當(dāng) 時，圓與圓相交；4）當(dāng) 時，圓與圓內(nèi)切； 5）當(dāng) 時，圓與圓內(nèi)含； （2）代數(shù)法：由兩圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x或y的一元二次方程, 然后由判別式△來判斷。 △=0為外切或內(nèi)切，△>0為相交，△<0為相離或內(nèi)含。若兩圓相交，兩圓 方程相減得公共弦所在直線方程。 五：直線與圓的方程的應(yīng)用：利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系。 典型例題與練習(xí)： 類型一：求圓的方程 例1：已知一圓經(jīng)過點(diǎn)A（2，－3）和B（－2，－5），且圓心C在直線l： 上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三種方法求解）。 類型二：軌跡方程與切線方程 例2：已知點(diǎn)P（10，0），Q為圓上一點(diǎn)動點(diǎn)，當(dāng)Q在圓上運(yùn)動時，求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程（參照課本例題求解，答案：）。 例題3：求由下列條件所決定圓的圓的切線方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)，(2)經(jīng)過點(diǎn)，(3)斜率為。（參照成才之路P85頁） 結(jié)論：已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程（答案）。 類型三：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例題4：已知直線，直線以及上一點(diǎn)．求圓心在 上且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程． 例題5：一圓與y軸相切，圓心在直線x－3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程. 例6： 求經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點(diǎn)，且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程. 例7： 已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）. （1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)； （2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程. 類型四：弦長問題 例8：已知圓C：內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過點(diǎn)P作直線l交圓C于A、B兩點(diǎn). (1)當(dāng)l經(jīng)過圓心C時，求直線l的方程；(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時，寫出直線l的方程； (3) 當(dāng)直線l的傾斜角為45時，求弦AB的長. 類型五：對稱問題與距離最值問題 例9：一束光線l自A（－3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上．（1）求反射線通過圓心C時，光線l的方程；（2）求在x軸上，反射點(diǎn)M的范圍． 例題10：已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值. 精選精練： 一、選擇題 1 圓：和圓：交于兩點(diǎn)，則的垂直平分線的方程是（ ） A. B C D 2 方程表示的曲線是（ ） A一個圓 B 兩個半圓 C兩個圓 D 半圓 3已知圓：及直線，當(dāng)直線被截得的弦長為時，則（ ） A B C D 4 圓的圓心到直線的距離是（ ） A　　　　B 　　　C 　　　　 D 5 直線截圓得的劣弧所對的圓心角為（ ） A B C D 6 圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（ ） A 6 B 4 C 5 D 1 7兩圓和的位置關(guān)系是（ ） A 相離 B相交 C 內(nèi)切 D外切 8 直線與圓交于兩點(diǎn)，則（是原點(diǎn)）的面積為（ ） Ａ 　　?。隆　　。? 　　Ｄ 9 直線過點(diǎn)，與圓有兩個交點(diǎn)時，斜率的取值范圍是( ) A 　 B C 　D 10 已知圓C的半徑為，圓心在軸的正半軸上，直線與圓C相切，則 圓C的方程為（ ） A B C D 11 若過定點(diǎn)且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A B C D 12設(shè)直線過點(diǎn)，且與圓相切，則的斜率是（　 ） A B C D 二、填空題 1 若點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 2若曲線與直線始終有交點(diǎn)，則的取值范圍是___________； 若有一個交點(diǎn)，則的取值范圍是________；若有兩個交點(diǎn)，則的取值范圍是_______； 3 已知圓的方程為，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，若使最小，則直線的方程是________________ 4 如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值是________ 5 過圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線的方程為________ 6 直線被曲線所截得的弦長等于 7 圓：的外有一點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引切線的長______ 8． 對于任意實(shí)數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系是 9 動圓的圓心的軌跡方程是　　　 10 為圓上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為_______ 必修② 第四章 圓與方程復(fù)習(xí)提綱答案 例題1：解：因為A（2，－3），B（－2，－5）， 所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，－4）， 又 ，所以線段AB的垂直 平分線的方程是． 聯(lián)立方程組，解得． 所以，圓心坐標(biāo)為C（－1，－2），半徑， 所以，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是． 例題4：解：設(shè)圓心為，半徑為，依題意，.設(shè)直線的斜率，過兩點(diǎn)的直線斜率，因，故，∴，解得. .所求圓的方程為. 例題5：解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x－3y=0上，故設(shè)圓方程為（x－3b）2+（y－b）2=9b2. 又因為直線y=x截圓得弦長為2，則有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圓方程為（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9. 評述：在解決求圓的方程這類問題時，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：（1）確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長等）建立方程求得a、b、r或D、E、F（3）待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個數(shù). 例題6：剖析：根據(jù)已知，可通過解方程組 得圓上兩點(diǎn)， （x+3）2+y2=13， x2+（y+3）2=37 由圓心在直線x－y－4=0上，三個獨(dú)立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程； 也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0，再由圓心在直線x－y－4=0上，定出參數(shù)λ，得圓方程. 解：因為所求的圓經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點(diǎn)， 所以設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0. 展開、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+. 圓心為（－，－），代入方程x－y－4=0，得λ=－7. 故所求圓的方程為（x+）2+（y+）2= . 評述：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圓C1、C2相交，那么過兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）.它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過兩圓C1、C2公共點(diǎn)的圓. 特別提示 在過兩圓公共點(diǎn)的圖象方程中，若λ=－1，可得兩圓公共弦所在的直線方程. 例題7：剖析：直線過定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得. （1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. 得 ∵m∈R，∴ 2x+y－7=0， x=3， x+y－4=0， y=1， 即l恒過定點(diǎn)A（3，1）.∵圓心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半徑）， ∴點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn). （2）解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－， ∴l(xiāng)的方程為2x－y－5=0.評述：若定點(diǎn)A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？ 例題8：解：(1)已知圓C：的圓心為C（1，0），因直線過點(diǎn)P、C，所以直線l的斜率為2， 直線l的方程為y=2(x-1),即 2x-y-20. (2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時，l⊥PC, 直線l的方程為, 即 x+2y-6=0 (3)當(dāng)直線l的傾斜角為45時，斜率為1，直線l的方程為y-2=x-2 ,即 x-y=0圓心C到直線l的距離為，圓的半徑為3，弦AB的長為 例題9：解： ⊙C：(x－2)2＋(y－2)2＝1 （Ⅰ）C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′(2，－2)，過A，C′的方程：x＋y＝0為光線l的方程． （Ⅱ）A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(－3，－3)，設(shè)過A′的直線為y＋3＝k(x＋3)，當(dāng)該直線與⊙C相切時， 有或 ∴過A′，⊙C的兩條切線為 令y＝0，得 ∴反射點(diǎn)M在x軸上的活動范圍是 例題10：解：（1）如圖，方程x2+y2－4x+1=0表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以為半徑的圓. 設(shè)=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3.所以kmax=，kmin=－.（也可由平面幾何知識，有OC=2，OP=，∠POC=60，直線OP的傾斜角為60，直線OP′的傾斜角為120解之） （2）設(shè)y－x=b，則y=x+b，僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值.由點(diǎn)到直線的距離公式，得=，即b=－2，故（y－x）min=－2－. （3）x2+y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連結(jié)OC，與圓交于B點(diǎn)，并延長交圓于C′，則（x2+y2）max=｜OC′｜=2+，（x2+y2）min=｜OB｜=2－. 精選精練 一、選擇題 1 C 由平面幾何知識知的垂直平分線就是連心線 2B 對分類討論得兩種情況 3 C 4A 5 C 直線的傾斜角為，得等邊三角形 6B 7 B 8 D 弦長為， 9 C ，相切時的斜率為 10D 設(shè)圓心為 11 A 圓與軸的正半軸交于 12 D 得三角形的三邊，得的角 二、填空題 1 設(shè)則 2 ；； 曲線代表半圓 3 當(dāng)時，最小， 4 設(shè)， 另可考慮斜率的幾何意義來做 5 設(shè)切點(diǎn)為，則的方程為 的方程為，則 6 ， 7 8 相切或相交 ；另法：直線恒過，而在圓上 9 圓心為，令 10