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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案2 蘇教版必修4 【三維目標(biāo)】： 一、知識與技能 1. 會用角的正弦線、余弦線、正切線分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值 2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義； 3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題（利用三角函數(shù)線比較兩個同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍）。 二、過程與方法 1.借助幾何畫板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實驗探索的能力； 2.在論壇上開展研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生借助所學(xué)知識自己去發(fā)現(xiàn)新問題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力. 三、情感、態(tài)度與價值觀 1. 激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境. 2.通過三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)一步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，拓展思維空間 【教學(xué)重點、難點與關(guān)鍵】： 重點：三角函數(shù)線的作法及其簡單應(yīng)用（利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來）. 難點：正確地用三角函數(shù)線表示任意角的三角函數(shù)值 關(guān)鍵：掌握有向線段及其數(shù)量的概念是克服難點的關(guān)鍵 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1．教法選擇：“設(shè)置問題，探索辨析，歸納應(yīng)用，延伸拓展”——科研式教學(xué). 2．學(xué)法指導(dǎo)：類比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識遷移；觀察、實驗，體驗知識的形成過程；猜想、求證，達(dá)到知識的延展. 3．教學(xué)手段：本節(jié)課教學(xué)地點選在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，學(xué)生利用幾何畫板軟件探討數(shù)學(xué)問題，做數(shù)學(xué)實驗；借助網(wǎng)絡(luò)論壇交流各自的觀點,展示自己的才能. 4. 教學(xué)用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1. 前面我們學(xué)習(xí)了角的弧度制，角弧度數(shù)的絕對值，其中是以角作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑。特別地, 當(dāng)r =1時，,此時的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數(shù)的絕對值，那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問題. 二、研探新知 1．基本概念 （1）單位圓：圓心在圓點，半徑等于單位長的圓叫做單位圓。 （2）有向線段：帶有方向的線段. 坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。 方向：按書寫順序，前者為起點，后者為終點，由起點指向終點. 如：有向線段，為起點，為終點，由點指向點. O M （動態(tài)演示） 數(shù)值：（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線段） 絕對值等于線段的長度，若方向與坐標(biāo)軸同向，取正值；與坐標(biāo)軸反向，取負(fù)值.如： = 1, = -1, = 當(dāng)角的終邊上一點的坐標(biāo)滿足時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。 2．三角函數(shù)線的定義： 設(shè)任意角的頂點在原點，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點P，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點. （Ⅳ） （Ⅲ） （Ⅱ） （Ⅰ） 由四個圖看出： 當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段，于是有 ，，． 我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. 請大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法,并用幾何畫板演示(一學(xué)生描述,同時用電腦演示)： 第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點； 第二步：過點作軸的垂線，設(shè)垂足為，得正弦線、余弦線； 第三步：過點(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線的交點設(shè)為，得角的正切線. 特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意它們的方向，分清起點和終點，書寫順序不能顛倒.余弦線以原點為起點，正弦線和正切線以此線段與坐標(biāo)軸的公共點為起點，其中點為定點（1，0）. 【說明】： ①三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。 ②三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與的終邊的交點。 ③三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負(fù)值。 ④三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1.利用幾何畫板畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線： （1）； （2）； （3）； （4）． 學(xué)生先做,然后投影展示一學(xué)生的作品,并強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)線的位置和方向. 例2.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。? （1）與 （2）tan與tan （3）cot與cot A B o T2 T1 S2 S1 P2 P1 M2 M1 S1 解： 如圖可知： tan tan，cot cot 例3 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合： （1） ; （2）≤- . x y o P1 P2 分析：先作出滿足，的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.（幾何畫板動態(tài)演示） 答案：（1）{}. （2）{} 【延伸】：通過（1）、（2）兩圖形的復(fù)合又可以得出不等式組的解集： {}. 觀察角的終邊在各位置的情形,結(jié)合三角函數(shù)線和已學(xué)知識，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,得出哪些結(jié)論？請說明你的觀點和理由，并發(fā)表于教育論壇。 學(xué)生得出的結(jié)論有以下幾種： (1) sin2 + cos2 = 1； (2)│sin│ + │cos │≥1； (3) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1, tan∈R； (4) 若兩角終邊互為反向延長線，則兩角的正切值相等,正弦、余弦值互為相反數(shù); (5) 當(dāng)角的終邊在第一象限逆時針旋轉(zhuǎn)時，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小; (6) 當(dāng)角的終邊在直線的右下方時, sin＜cos；當(dāng)角的終邊在直線的左上方時, sin＞cos。 【觸類旁通】：利用三角函數(shù)線寫符合下列條件的角的集合：（1） （2） 四、鞏固深化，反饋矯正 1.利用三角函數(shù)線作出符合下列條件的角的終邊，并寫出這些角的集合： （1） （2） （3） 2.利用三角函數(shù)線作出符合下列條件的角的終邊，并寫出這些角的集合： （1） （2） 五、歸納整理，整體認(rèn)識 1．三角函數(shù)線的定義；會畫任意角的三角函數(shù)線 2．利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。 3.三角函數(shù)線的應(yīng)用 六、承上啟下，留下懸念 1．作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）－45 2．利用單位圓寫出符合下列條件的角的范圍。 （1）； （2）； （3）tana （3）； （4）且； （5）且． 答案：（1）；（2）； （3）； （4）； （5）． 3．類比正切線的作法，你能作出余切線嗎？ 4．結(jié)合三角函數(shù)線我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些很有價值的結(jié)論,你還能得出哪些結(jié)論？請大家繼續(xù)在論壇上交流. 5.查閱數(shù)學(xué)家歐拉的生平事跡,了解他在數(shù)學(xué)方面的突出貢獻(xiàn),談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)感受,并發(fā)表于論壇交流. 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： gkxx