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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第四章 平面向量與復(fù)數(shù) 【知識圖解】 Ⅰ.平面向量知識結(jié)構(gòu)表 向量 向量的概念 向量的運算 向量的運用 向量的加、減法 實數(shù)與向量的積 向量的數(shù)量積 兩個向量平行的充要條件件件 兩個向量垂直的充要條件件件 Ⅱ.復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)表 數(shù)系的擴充與 復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)的運算 數(shù)系的擴充 【方法點撥】 由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系眾多知識內(nèi)容的媒介。所以，向量成為了“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題”的很好載體。從高考新課程卷來看，對向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，在知識交匯點處命題，既是當(dāng)今高考的熱點，又是重點。 復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識，既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識，又要注意平面向量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，站在新的高度來認(rèn)識和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問題時注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 2. 平面向量基本定理是處理向量問題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合. 3. 向量的坐標(biāo)表示實際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法. 第1課　向量的概念及基本運算 【考點導(dǎo)讀】 1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示. 2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義. 3. 了解平面向量基本定理及其意義. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.出下列命題：①若，則；②若A、B、C、D是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若，則；④的充要條件是且；⑤若，，則。其中，正確命題材的序號是②③ 2. 化簡得 3.在四邊形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為梯形O A P Q B a b 第4題 4.如圖，設(shè)點P、Q是線段AB的三等分點， 若＝a，＝b，則＝， ＝ (用a、b表示) 【范例導(dǎo)析】 D C E F A B 例1 .已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F， 求證：. 分析:構(gòu)造三角形,利用向量的三角形法則證明. 證明：如圖，連接EB和EC ， 例1 由和可得， （1） 由和可得， （2） （1）+（2）得， （3） ∵E、F分別為AD和BC的中點，∴，， 代入（3）式得， 點撥:運用向量加減法解決幾何問題時,需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形. 例2.已知不共線，,求證：A,P,B三點共線的充要條件是 分析：證明三點共線可以通過向量共線來證明. 解：先證必要性：若A,P,B三點共線，則存在實數(shù)，使得,即,∴∵,∴，∴ 再證充分性：若則==,∴ 與共線，∴A,P,B三點共線. 點撥:向量共線定理是向量知識中的一個基本定理,通常可以證明三點共線、直線平行等問題. 【反饋練習(xí)】 1．已知向量a和b反向，則下列等式成立的是（C） A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b| C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋|b|=|a+b| 2.設(shè)四邊形ABCD中，有則這個四邊形是（C） A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡： ①， ②， ③。 解析：①原式= ； ②原式= ； ③原式= 。 4.設(shè)為未知向量， 、為已知向量，滿足方程2-(5+3-4)+-3=0， 則=（用、表示） 5.在四面體O-ABC中，為BC的中點，E為AD的中點，則=（用a，b，c表示） 6如圖平行四邊形OADB的對角線OD,AB相交于點C，線段BC上有一點M滿足BC=3BM,線段CD上有一點N滿足CD＝3CN,設(shè) 第6題 解： . 第2課　向量的數(shù)量積 【考點導(dǎo)讀】 1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義. 2. 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律. 3. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式. 4. 能用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)垂直、角度、長度的問題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么 2.在直角坐標(biāo)系中，分別是與軸，軸平行的單位向量，若直角三角形中，，，則的可能值個數(shù)為2個 3. 若,，與的夾角為，若，則的值為 4.若，且，則向量與的夾角為 120 【范例導(dǎo)析】 例1.已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角的余弦值。 分析:利用及求解. 解：由題意，，且與的夾角為，所以，，，同理可得 而，設(shè)為與的夾角，則 點評：向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。 例2.已知平面上三個向量、、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120， （1）求證：⊥；（2）若，求的取值范圍. 分析:問題（1）通過證明證明,問題（2）可以利用 解：（1）∵ ，且、、之間的夾角均為120， ∴ ∴ （2）∵ ，即 也就是 ∵ ，∴ 所以 或． 解:對于有關(guān)向量的長度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運用平面向量的數(shù)量積解決. 例3.如圖，在直角△ABC中，已知，若長為的線段以點為中點，問的夾角取 何值時的值最大？并求出這個最大值 分析:本題涉及向量較多,可通過向量的加減法則得 ,再結(jié)合直角三 角形和各線段長度特征法解決問題 解： 例3 點撥:運用向量的方法解決幾何問題,充分體現(xiàn)了向量的工具性,對于大量幾何問題,不僅可以用向量語言加以敘述,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解,從而把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的向量運算. 【反饋練習(xí)】 第2題 1.已知向量滿足則與的夾角為 2.如圖，在四邊形ABCD中， ，則的值為4 3.若向量滿足,的夾角為60，則= 4.若向量,則 5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求：① ab ；②(2a－b) (a+3b) 解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2，∴ （2）（2a－b）（a+3b）=2a2+5ab－3b2=2|a|2+5ab－3|b|2=242+5（－10）－352=－93. 6.已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角. 解：∵且a+3b與7a-5b垂直，a－4b與7a－2b垂直， ∴（a+3b）（7a-5b）=0，（a－4b）（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 ab－15 b2=0，7a2－30 ab＋8 b2=0， ∴b2=2 ab，|a|=|b| ∴ ∴ 第3課　向量的坐標(biāo)運算 【考點導(dǎo)讀】 1. 掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示. 2. 會用坐標(biāo)表示平面向量的加減及數(shù)乘、數(shù)量積運算. 3.掌握平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示,并利用它解決向量平行的有關(guān)問題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1若=，=，則= 2平面向量中，若，=1，且，則向量= 3.已知向量，且A、B、C三點共線，則k= 4.已知平面向量，，且，則1 【范例導(dǎo)析】 例1.平面內(nèi)給定三個向量，回答下列問題： （1）求滿足的實數(shù)m,n； （2）若，求實數(shù)k； （3）若滿足，且，求 分析:本題主要考察向量及向量模的坐標(biāo)表示和向量共線的充要條件. 解：（1）由題意得 所以，得 （2） （3）設(shè)，則 由題意得 得或∴ 點撥:根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則及兩個向量平等行的充要條件、模的計算公式，建立方程組求解。 例2.已知△ABC的頂點分別為A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC邊上的高為AD，求及點D的坐標(biāo)、 分析:注意向量坐標(biāo)法的應(yīng)用,及平行、垂直的充要條件. 解：設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y) ∵AD是邊BC上的高， ∴AD⊥BC，∴⊥ 又∵C、B、D三點共線， ∴∥ 又=(x－2,y－1), =(－6,－3) =(x－3,y－2) 例2 ∴ 解方程組，得x=,y= ∴點D的坐標(biāo)為(，)，的坐標(biāo)為(－，) 點撥:在解題中要注意綜合運用向量的各種運算解決問題. 例3．已知向量且 求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。 分析:利用向量的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解. 解：（1） ， 。 （2） （1） 當(dāng)時， （2） 當(dāng)時， （3） 當(dāng)時， 綜上所述：。 點撥:注意運用不同章節(jié)知識綜合處理問題,對于求二次函數(shù)得分最值問題,注意分類討論. 【反饋練習(xí)】 1．已知向量，，則與 （A）23 A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 2.與向量a=b=的夾解相等，且模為1的向量是 3.已知向量且則向量等于 4.已知向量120 5.若，試判斷則△ABC的形狀____直角三角形_____ 6.已知向量，向量，則的最大值是 4 7.若是非零向量且滿足， ，則與的夾角是 8.已知： 、、是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 =（1，2） （1）若||，且，求的坐標(biāo)； （2）若||=且與垂直，求與的夾角. 解：（1）設(shè)，由和可得： ∴ 　或 ∴，或 （2） 即 ∴ ， 所以 ∴ ∵ ∴ . 9.已知點是且試用. 解：以O(shè)為原點，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系. 由OA=2，，所以， 第9題 易求，設(shè) . 第4課　 向量綜合應(yīng)用 【考點導(dǎo)讀】 1. 能綜合運用所學(xué)向量知識及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法解決向量知識內(nèi)部綜合問題和與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等知識的綜合問題. 2. 能從實際問題中提煉概括數(shù)學(xué)模型,了解向量知識的實際應(yīng)用. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），則與2a－3b平行的單位向量為 2.已知＝1，＝1，a與b的夾角為60，x＝2a－b,y＝3b－a，則x與y的夾角的余弦值為 【范例導(dǎo)析】 例1.已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ). (1) 若存在實數(shù)k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函數(shù)的關(guān)系式k＝f（t）； (2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k＝f(t)的單調(diào)區(qū)間。 分析:利用向量知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解. 解:（1）法一：由題意知x＝(,), y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y 故x y＝（t－k）＋(t＋k)＝0。 整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t. 法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b ∵x⊥y，∴x y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t (2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴k＝f(t) ＝t2－, 令k＜0得－1＜t＜1；令k＞0得t＜－1或t＞1. 故k＝f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 點撥:第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運算分別求得兩個向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數(shù)的極值運用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用。 例2.已知兩個力（單位：牛）與的夾角為，其中，某質(zhì)點在這兩個力的共同作用下，由點移動到點（單位：米） （1） 求； （2） 求與的合力對質(zhì)點所做的功 分析:理解向量及向量數(shù)量積的物理意義,將物理中的求力和功的問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決. 點撥:學(xué)習(xí)向量要了解向量的實際背景,并能用向量的知識解決方一些簡單的實際問題. 【反饋練習(xí)】 1.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A(3, 1)，B(－1, 3)， 若點C滿足，其中，∈R且+=1，則點C的軌跡方程為x＋2y－5=0 2.已知a,b是非零向量且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是 第5題 3. 已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且|+|=|-|,其中O為原點,則實數(shù)a的值為2或-2 4.已知向量a=()，向量b=()，則|2a－b|的最大值是 4 5．如圖， ， （1）若∥，求x與y間的關(guān)系； （2）在（1）的條件下，若有，求x,y的值及四邊形ABCD的面積. 解（1）又∥ ① （2）由⊥，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)(y＋1)＝0,② 即x2＋y2＋4x－2y－15＝0由①，②得或 第5課　復(fù)數(shù)的概念和運算 【考點導(dǎo)讀】 1.了解數(shù)系的擴充的基本思想,了解引入復(fù)數(shù)的必要性. 2.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.設(shè)、、、，若為實數(shù)，則 2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＋(1＋i)2對應(yīng)的點位于第二象限 4.若復(fù)數(shù)滿足方程，則 【范例導(dǎo)析】 例 .m取何實數(shù)時，復(fù)數(shù)（1）是實數(shù)？（2）是虛數(shù)？（3）是純虛數(shù)？ 分析：本題是判斷復(fù)數(shù)在何種情況下為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)．由于所給復(fù)數(shù)z已寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即，所以只需按題目要求，對實部和虛部分別進(jìn)行處理，就極易解決此題． 解：（1）當(dāng)即 ∴時，z是實數(shù)． （2）當(dāng)即 ∴當(dāng)且時，z是虛數(shù)． （3）當(dāng)即∴當(dāng)或時，z是純虛數(shù)． 點撥：研究一個復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時，首先要保證這個復(fù)數(shù)的實部、虛部是有意義的，這是一個前提條件，學(xué)生易忽略這一點．如本題易忽略分母不能為0的條件，丟掉，導(dǎo)致解答出錯． 【反饋練習(xí)】 1.如果復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù) 2.已知復(fù)數(shù)z滿足（＋3i）z＝3i，則z＝ 3.若復(fù)數(shù)Z=，則Z+Z+1+i的值為0 4.設(shè)、為實數(shù)，且，則+=4.