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1、第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案第第6章章振動學基礎振動學基礎第三篇第三篇 振動和波動振動和波動第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案6.1 6.1 簡諧振動及其描述簡諧振動及其描述1 1 1 1、簡諧振動、簡諧振動、簡諧振動、簡諧振動(simple harmonic motion)振振 動動(vibration)一個物理量隨時間一個物理量隨時間 t 作作周期性周期性變化變化“周期性周期性”是這種運動形式的典型特征

2、是這種運動形式的典型特征機械振動機械振動機械振動機械振動(mechanical vibration)物體在一定位置附近作來回往復的運動物體在一定位置附近作來回往復的運動物體在一定位置附近作來回往復的運動物體在一定位置附近作來回往復的運動一個物理量隨時間按正弦或余弦函數(shù)的規(guī)律變化。一個物理量隨時間按正弦或余弦函數(shù)的規(guī)律變化。一個物理量隨時間按正弦或余弦函數(shù)的規(guī)律變化。一個物理量隨時間按正弦或余弦函數(shù)的規(guī)律變化。一個復雜的振動可以看成若干簡諧振動的合成。一個復雜的振動可以看成若干簡諧振動的合成。定義定義定義定義:第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物

3、理大學物理大學物理A A教案教案教案教案2 2 2 2、簡諧振動的表達式、簡諧振動的表達式、簡諧振動的表達式、簡諧振動的表達式彈簧振子彈簧振子物體位置隨時間變化的物體位置隨時間變化的函數(shù)關系函數(shù)關系稱為簡諧振動的表達式或稱為簡諧振動的表達式或稱為簡諧振動的表達式或稱為簡諧振動的表達式或簡諧振動的運動學方程簡諧振動的運動學方程簡諧振動的運動學方程簡諧振動的運動學方程式中式中 為常數(shù)，它們的物理意義后述。為常數(shù)，它們的物理意義后述。振動物體的速度和加速度振動物體的速度和加速度振動物體的速度和加速度振動物體的速度和加速度為為速度的最大值速度的最大值 研究簡諧振研究簡諧振動的理想模型動的理想模型O第第

4、第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案（1）振幅振幅振幅振幅 物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。為加速度的最大值為加速度的最大值即：即：物體作諧振動時，它的位移，速度和加速度都隨時間作周物體作諧振動時，它的位移，速度和加速度都隨時間作周期性變化。期性變化。3 3 3 3、簡諧振動的特征量、簡諧振動的特征量、簡諧振動的特征量、簡諧振動的特征量位移振幅用位移振幅用 A 表示，速度振幅為表示，速度振幅為 ，加速度為，加速度為O第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振

5、動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案（2）周期、頻率和圓頻率周期、頻率和圓頻率周期、頻率和圓頻率周期、頻率和圓頻率1 秒內完成全振動的次數(shù)叫頻率秒內完成全振動的次數(shù)叫頻率(frequency)，用，用 表示，則表示，則 物體完成一次全振動所經(jīng)歷的時間叫周期物體完成一次全振動所經(jīng)歷的時間叫周期(period)，用，用T 表示，表示，即即或或頻率的單位是頻率的單位是 Hz；表示表示 秒內物體完成全振動的次數(shù)，秒內物體完成全振動的次數(shù)，稱為諧振動的角頻率稱為諧振動的角頻率(angular frequency)，或圓頻率，單位，或圓頻率，單位是（是（rad/s)。第

6、第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案（3）相位相位相位相位(phase)和初相位和初相位和初相位和初相位*用用“相位相位”來描述物體的運動狀態(tài)；來描述物體的運動狀態(tài)；*用用“相位相位”來比較兩個同頻率簡諧振動的來比較兩個同頻率簡諧振動的“步調步調”。t=0 時刻的相位即時刻的相位即 稱為稱為 初相初相 在振幅和頻率一定的簡諧振動中在振幅和頻率一定的簡諧振動中,任意時刻振體的狀態(tài)由任意時刻振體的狀態(tài)由 決定決定,稱稱 為振動的為振動的 相位相位。例如例如:它們的它們的相位差相位差x1,x2 步調一致步調一致,

7、同相同相x1,x2 步調相反步調相反,反相反相x2 振動振動超前超前x1振動振動x2 振動振動落后落后x1振動振動 的值一般限的值一般限制在制在0 0 之間之間.第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案簡諧振動中位移、速度和加速度變化的步調簡諧振動中位移、速度和加速度變化的步調即：速度的相位超前位移即：速度的相位超前位移 ，加速度的相位又超前速度，加速度的相位又超前速度加速度與位移反相。加速度與位移反相。第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A

8、 A教案教案教案教案4 4 4 4、初始條件、初始條件、初始條件、初始條件 前面解釋了簡諧振動特征量前面解釋了簡諧振動特征量前面解釋了簡諧振動特征量前面解釋了簡諧振動特征量 A 和和 的物理意義，那么，什的物理意義，那么，什的物理意義，那么，什的物理意義，那么，什么因素決定它們的值呢？么因素決定它們的值呢？么因素決定它們的值呢？么因素決定它們的值呢？時時,振體的初位置振體的初位置 和初速度和初速度 稱為稱為初始條件初始條件。設設 時時,振體的初位置和初速度分別為振體的初位置和初速度分別為 和和 則由運動方程和速度方程可得則由運動方程和速度方程可得上兩式平方后相加得到上兩式平方后相加得到簡諧振動

9、的振幅簡諧振動的振幅簡諧振動的振幅簡諧振動的振幅 A 和初相和初相 的值由初始條件決定。的值由初始條件決定。的值由初始條件決定。的值由初始條件決定。第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案5 5、簡諧振動的簡諧振動的旋轉矢量旋轉矢量旋轉矢量旋轉矢量(rotating vector)表示法表示法表示法表示法 任意時刻任意時刻 t 矢量端點在矢量端點在 x 軸上的投影點軸上的投影點 P 的坐標為的坐標為:上式包含了諧振動的三個特征量上式包含了諧振動的三個特征量.長度或模為長度或模為A的矢量的矢量 以勻以勻角速度角

10、速度 逆時針方向旋轉逆時針方向旋轉.t=0 時，矢量時，矢量 與與 x 軸軸的夾角為的夾角為 .可見可見,矢量矢量 以以 逆時針方逆時針方向勻速旋轉向勻速旋轉,它的端點在它的端點在 x 軸上軸上的投影點的投影點 P 在在 x 軸上作簡諧振軸上作簡諧振動動。這樣，可以借助圓周運動來研究簡諧振動這樣，可以借助圓周運動來研究簡諧振動,這種方法稱為這種方法稱為簡簡諧振動的諧振動的旋轉矢量表示法旋轉矢量表示法旋轉矢量表示法旋轉矢量表示法。t=0第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案 t=0 時時,矢量矢量 與與 x

11、軸軸的夾的夾角角 為諧振動的為諧振動的初相初相;的長度為簡諧振動的的長度為簡諧振動的振幅振幅振幅振幅;轉動的角速度轉動的角速度 為諧振動為諧振動的的圓頻率圓頻率。圓周運動的速度圓周運動的速度 在在x 軸軸上的投影上的投影是是P點作諧振動的速度方程。點作諧振動的速度方程。圓周運動的加速度圓周運動的加速度 在在 x 軸軸上的投影上的投影是是P點作諧振動的加速度方程。點作諧振動的加速度方程。第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案例例例例1 1 質點沿質點沿 x 軸作簡諧振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為 12 cm

12、，周期為周期為 2 s。當當 t=0時時,位移為位移為 6 cm，且向且向 x 軸正方向運動。求：軸正方向運動。求：(1)振動表振動表達式達式;(2)t=0.5 s 時質點的位移、速度和加速度時質點的位移、速度和加速度;(3)質點從質點從 x=-6 cm 向向 x 軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需要的軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需要的時間。時間。解：解：(1)設振動表達式為設振動表達式為已知已知 A=0.12 m,T=2 s 初始條件初始條件t=0 時，時，x0=0.06 m,v0 0m由初始條件由初始條件用用解析法解析法求初相求初相 第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學

13、基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案振動表達式為振動表達式為 m由初始條件由初始條件用用旋轉矢量法旋轉矢量法求初相求初相 當當 t=0 時時,位移為位移為 6 cm，且向且向 x 軸正方向運動軸正方向運動OxAA/2第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案(2)t=0.5 s 時質點的位移、速度和加速度時質點的位移、速度和加速度第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案yx(3)質點從

14、質點從 x=-6 cm 向向 x 軸負方向運動，第一次回到平軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需要的時間。衡位置所需要的時間。先畫出質點在先畫出質點在x=-6 cm，向向 x 軸軸負方向運動對應旋轉矢量的位置。負方向運動對應旋轉矢量的位置。再畫出第一次回到平衡位置對應再畫出第一次回到平衡位置對應旋轉矢量的位置。旋轉矢量的位置。旋轉矢量轉過的角度為旋轉矢量轉過的角度為所需要的時間所需要的時間第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案例例例例2 2 兩質點作兩質點作同方向、同頻率同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。

15、當質的簡諧振動，振幅相等。當質點點 1 在在 x1=A/2 處，處，向向 x 軸負方向運動時，另一個質點軸負方向運動時，另一個質點 2 在在 x2=0 處，向處，向x 軸正方向運動。求這兩質點振動的相位差。軸正方向運動。求這兩質點振動的相位差。解解解解Ox質點質點 1 的振動超前質點的振動超前質點 2 的振動的振動 第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案6.2 6.2 簡諧振動的動力學特征簡諧振動的動力學特征1 1 1 1、簡諧振動的動力學定義、簡諧振動的動力學定義、簡諧振動的動力學定義、簡諧振動的動力學定

16、義m,為為常常數(shù)數(shù).因此因此諧振動物體的受力特征諧振動物體的受力特征為為:諧振動物體的加速度與位移有關系諧振動物體的加速度與位移有關系根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律,振體任意時刻的受力應為振體任意時刻的受力應為力的大小與位移成正比力的大小與位移成正比,而方向與位移相反而方向與位移相反。這樣這樣的力稱為的力稱為 回復力回復力。第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案若用若用 k 表示此常數(shù)表示此常數(shù),則則即即:質點在與對平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用質點在與對平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用下的

17、運動就是簡諧振動下的運動就是簡諧振動 簡諧振動的動力學定義簡諧振動的動力學定義。2 2 2 2、簡諧振動的動力學方程、簡諧振動的動力學方程、簡諧振動的動力學方程、簡諧振動的動力學方程根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律或或令令第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案這就是這就是諧振動的動力學方程諧振動的動力學方程方程的解方程的解3 3 3 3、振動系統(tǒng)的固有周期和固有頻率、振動系統(tǒng)的固有周期和固有頻率、振動系統(tǒng)的固有周期和固有頻率、振動系統(tǒng)的固有周期和固有頻率由由彈簧振子的固有周期和固有頻率彈簧振子的固有周期和固

18、有頻率彈簧振子的固有周期和固有頻率彈簧振子的固有周期和固有頻率諧振動的運動學方程諧振動的運動學方程(運動學特征運動學特征)第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案稱為振動系統(tǒng)的稱為振動系統(tǒng)的固有角頻率固有角頻率,固有周期和固有頻率。固有周期和固有頻率。判別簡諧振動的依據(jù)：判別簡諧振動的依據(jù)：(1)運動學方程有運動學方程有 的形式，其中的形式，其中A、和和 是常數(shù)。是常數(shù)。(2)物體受到的合外力滿足物體受到的合外力滿足 ，k 為常數(shù)。為常數(shù)。(3)動力學方程可寫成動力學方程可寫成 的形式的形式，為常數(shù)，為常數(shù)，

19、其平方根即為角頻率。其平方根即為角頻率?？梢娍梢?,T,決定于振動系統(tǒng)本身的動力學性質。決定于振動系統(tǒng)本身的動力學性質。彈簧振子、單擺彈簧振子、單擺(simple pendulum)的小幅振動是簡諧的小幅振動是簡諧振動振動在穩(wěn)定平衡點附近的小幅振動是簡諧振動在穩(wěn)定平衡點附近的小幅振動是簡諧振動第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案Ol 證明證明證明證明:單擺的小幅振動是簡諧振動單擺的小幅振動是簡諧振動單擺的小幅振動是簡諧振動單擺的小幅振動是簡諧振動小幅小幅振動，振動，令令這是諧振動方程這是諧振動方程,故故單

20、擺的小幅振單擺的小幅振單擺的小幅振單擺的小幅振動是諧振動動是諧振動動是諧振動動是諧振動,振動的周期為振動的周期為振動的周期為振動的周期為由轉動定律：由轉動定律：第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案作業(yè)作業(yè)P188191頁頁1,2,11,13 計計 19 第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案6.3 6.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量任意位置振動系統(tǒng)的動能和勢能分別為任意位置振動系統(tǒng)的動能和勢能分別為:系統(tǒng)的總能系統(tǒng)的

21、總能即即:彈簧振子的動能和勢能都隨時間作周期性變化彈簧振子的動能和勢能都隨時間作周期性變化,其周其周期為簡諧振動周期的一半期為簡諧振動周期的一半,但系統(tǒng)的總能與時間無關。但系統(tǒng)的總能與時間無關。第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案EpEktxtE*孤立諧振子的機械能守恒孤立諧振子的機械能守恒*E Ek k,E EP P 變化的頻率為振動頻率的變化的頻率為振動頻率的2 2倍倍.位移位移x,動能動能 ,勢能勢能 隨時間變化的關系曲線如圖所示：隨時間變化的關系曲線如圖所示：第第第第6 6 6 6章章章章 振動學

22、基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案例例例例3 3 質量為質量為 m 的比重計，放在密度為的比重計，放在密度為 的液體中。已知比重的液體中。已知比重計圓管的直徑為計圓管的直徑為 d。試證明在豎直方向的振動為簡諧振動，并試證明在豎直方向的振動為簡諧振動，并計算周期計算周期。解解解解取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點平衡點平衡點 V 為為平衡時平衡時比重計的排水體積比重計的排水體積mgFOx第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案Ox第第第第6 6 6 6

23、章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案例例例例4 4 當簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總當簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總能量的多少？能量的多少？物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半？半？解解解解當當 時，時，動能和勢能各占總能量的一半。動能和勢能各占總能量的一半。第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案坐標原點的選取與振動方程的關系坐標原點的選取與振動方程的關系

24、坐標原點的選取與振動方程的關系坐標原點的選取與振動方程的關系(1)(1)(1)(1)取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點 自由端自由端平衡位置平衡位置o oy第第第第6 6 6 6章章章章 振動學基礎振動學基礎振動學基礎振動學基礎大學物理大學物理大學物理大學物理A A教案教案教案教案(2)(2)(2)(2)取彈簧的自由端為坐標原點取彈簧的自由端為坐標原點取彈簧的自由端為坐標原點取彈簧的自由端為坐標原點yy 自由端自由端o結論結論：(1)振振動動方方程程的的形形式式隨隨坐坐標標原原點點選選取取的的不不同同而而不不同同(相相差差一一個個常數(shù)常數(shù))，一般把坐標原點取在平衡位置，其方程形式最簡單。，一般把坐標原點取在平衡位置，其方程形式最簡單。(2)彈彈簧簧振振子子的的振振動動頻頻率率與與振振子子的的放放置置位位置置無無關關。角角頻頻率率又又稱稱“固有頻率固有頻率固有頻率固有頻率(natural frequency(natural frequency)”)”。