《（課標(biāo)專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 專題十二 推理與證明試題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 專題十二 推理與證明試題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題十二　推理與證明 探考情 悟真題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測 熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 合情推理與演繹推理 ①了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用;②了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡單的推理;③了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異 2019課標(biāo)全國Ⅱ,5,5分 合情推理 — ★★☆ 2016課標(biāo)全國Ⅱ,16,5分 合情推理 — 2019課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分 合情推理 — 直接證明與間接證明 ①了解直接證明的兩種基本方法:分析法

2、與綜合法,并了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn);②了解間接證明的一種基本方法:反證法,并了解反證法的思考過程、特點(diǎn) 2018江蘇,20,16分 直接證明 等差、等比數(shù)列 的綜合應(yīng)用 ★★☆ 分析解讀 本專題在高考中主要考查以下幾個方面:1.歸納推理與類比推理以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生的邏輯推理能力,而演繹推理多出現(xiàn)在立體幾何的證明中;2.直接證明與間接證明作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法,常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)為載體,考查綜合法、分析法及反證法.本專題內(nèi)容在高考中的分值分配:①歸納推理與類比推理分值為5分左右,屬于中檔題;②證明問題以解答題形式出現(xiàn),分值為

3、12分左右,屬于中高檔題. 破考點(diǎn) 練考向 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　合情推理與演繹推理 1.(2019安徽六校教育研究會第一次素質(zhì)測試,8)如圖,第1個圖形由正三角形擴(kuò)展而成,共12個頂點(diǎn).第n個圖形由正(n+2)邊形擴(kuò)展而來,其中n∈N*,則第n個圖形的頂點(diǎn)個數(shù)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(2n+1)(2n+2) B.3(2n+2) C.2n(5n+1) D.(n+2)(n+3) 答案　D　 2.(命題標(biāo)準(zhǔn)樣題,14)甲、乙、丙、丁參加一比賽,賽前甲、乙、丙分別作出預(yù)測. 甲說:乙會獲得獎牌; 乙說:丙會獲得金牌; 丙說:丁不會獲得銀牌

4、. 比賽結(jié)果有3人分別獲得金牌、銀牌和銅牌,另外1人沒獲得獎牌.如果甲、乙、丙中有一人獲得了金牌,而且只有獲得金牌的那個人預(yù)測正確,則獲得金牌的是　　　　.? 答案　甲 3.(2019廣東珠海期末,14)某班級的四位學(xué)生A、B、C、D參加了文科綜合知識競賽,在競賽結(jié)果公布前,地理老師預(yù)測得冠軍的是A或B;歷史老師預(yù)測得冠軍的是C;政治老師預(yù)測得冠軍的不可能是A或D;語文老師預(yù)測得冠軍的是B,而班主任老師看了競賽結(jié)果后說以上只有兩位老師都說對了,則得冠軍的是　　　　.? 答案　C 考點(diǎn)二　直接證明與間接證明 1.(2018湖北普通高中聯(lián)考,7)分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證

5、明:設(shè)a0 B.c-a>0 C.(c-b)(c-a)>0 D.(c-b)(c-a)<0 答案　C　 2.(2020屆河南許昌質(zhì)量檢測,7)用反證法證明命題“已知x,y∈N*,如果xy可被7整除,那么x,y至少有一個能被7整除”時,假設(shè)的內(nèi)容是(　　) A.x,y都不能被7整除 B.x,y都能被7整除 C.x,y只有一個能被7整除 D.只有x不能被7整除 答案　A　 煉技法 提能力 【方法集訓(xùn)】 方法　歸納推理與類比推理的應(yīng)用 1.(2019江西吉安教學(xué)質(zhì)量檢測,9)斐波那契數(shù)列

6、又稱黃金分割數(shù)列,指的是這樣一個數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,在數(shù)學(xué)上,斐波那契數(shù)列{an}定義為a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,斐波那契數(shù)列有種看起來很神奇的巧合,如根據(jù)an+2=an+an+1可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+…+an=(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,類比這一方法,可得a12+a22+…+a102=(　　) A.714 B.1870 C.4895 D.4896 答案　C　 2.(2018廣東肇慶一模,14)觀察下列不等式:1+122<32,1+122+

7、132<53,1+122+132+142<74,……,照此規(guī)律,第五個不等式為　　　　　　　　　　　　.? 答案　1+122+132+142+152+162<116 【五年高考】 A組　統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組 1.(2019課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分)古希臘時期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-125-12≈0.618,稱為黃金分割比例,著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5-12.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是(　　) 　　　　　　　　　

8、　　　　　　　　　 A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 答案　B　 2.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,16,5分)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是　　　　.? 答案　1和3 B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一　合情推理與演繹推理 1.(2015陜西,16,5分)觀察下列等式 1-12=12 1-12+13-14=13+14 1-12

9、+13-14+15-16=14+15+16 …… 據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為　.? 答案　1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n 2.(2016山東,12,5分)觀察下列等式: sinπ3-2+sin2π3-2=43×1×2; sinπ5-2+sin2π5-2+sin3π5-2+sin4π5-2=43×2×3; sinπ7-2+sin2π7-2+sin3π7-2+…+sin6π7-2=43×3×4; sinπ9-2+sin2π9-2+sin3π9-2+…+sin8π9-2=43×4×5; …… 照此規(guī)律, sinπ2n+1-2+sin2

10、π2n+1-2+sin3π2n+1-2+…+sin2nπ2n+1-2=　　　　　　.? 答案　4n(n+1)3 3.(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件: (i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù); (ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù); (iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù). ①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為　　　　;? ②該小組人數(shù)的最小值為　　　　.? 答案?、??、?2 考點(diǎn)二　直接證明與間接證明 　(2018江蘇,20,16分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,{bn}是首項(xiàng)為b1,公比為q的等比數(shù)列. (

11、1)設(shè)a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1對n=1,2,3,4均成立,求d的取值范圍; (2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m2],證明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1對n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范圍(用b1,m,q表示). 答案　(1)由條件知an=(n-1)d,bn=2n-1. 因?yàn)閨an-bn|≤b1對n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1|≤1對n=1,2,3,4均成立. 即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得73≤d≤52. 因此,d的取值范圍為73,52. (2)由條件知:an=b1+(n-1)

12、d,bn=b1qn-1. 若存在d∈R,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立, 即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1). 即當(dāng)n=2,3,…,m+1時,d滿足qn-1-2n-1b1≤d≤qn-1n-1b1. 因?yàn)閝∈(1,m2], 所以10,對n=2,3,…,m+1均成立. 因此,取d=0時,|an-bn|≤b1對n=2,3,…,m+1均成立. 下面討論數(shù)列qn-1-2n-1的最大值和數(shù)列qn-1n-1的最小值(n=2,3,…,m+1). ①當(dāng)2≤n

13、≤m時,qn-2n-qn-1-2n-1=nqn-qn-nqn-1+2n(n-1)=n(qn-qn-1)-qn+2n(n-1), 當(dāng)10. 因此,當(dāng)2≤n≤m+1時,數(shù)列qn-1-2n-1單調(diào)遞增, 故數(shù)列qn-1-2n-1的最大值為qm-2m. ②設(shè)f(x)=2x(1-x),當(dāng)x>0時,f'(x)=(ln2-1-xln2)2x<0. 所以f(x)單調(diào)遞減, 從而f(x)

14、1n-1單調(diào)遞減, 故數(shù)列qn-1n-1的最小值為qmm. 因此,d的取值范圍為b1(qm-2)m,b1qmm. C組　教師專用題組 考點(diǎn)一　合情推理與演繹推理 1.(2016北京,8,5分)某學(xué)校運(yùn)動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績,其中有三個數(shù)據(jù)模糊. 學(xué)生序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠(yuǎn)(單位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳繩(單位:次) 63 a 75 60

15、 63 72 70 a-1 b 65 在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則(　　) A.2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 B.5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 C.8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 D.9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 答案　B　 2.(2014課標(biāo)Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時, 甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市; 乙說:我沒去過C城市; 丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為　　　　.? 答案　A 3.(2014福建,16,4分)已知集合{a

16、,b,c}={0,1,2},且下列三個關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一個正確,則100a+10b+c等于　　　　.? 答案　201 4.(2014江西,21,14分)將連續(xù)正整數(shù)1,2,…,n(n∈N*)從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)123…n,F(n)為這個數(shù)的位數(shù)(如n=12時,此數(shù)為123456789101112,共有15個數(shù)字,F(12)=15),現(xiàn)從這個數(shù)中隨機(jī)取一個數(shù)字,p(n)為恰好取到0的概率. (1)求p(100); (2)當(dāng)n≤2014時,求F(n)的表達(dá)式; (3)令g(n)為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù),f(n)為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù),h(n)=f(n)-g(

17、n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求當(dāng)n∈S時p(n)的最大值. 答案　(1)當(dāng)n=100時,這個數(shù)中總共有192個數(shù)字,其中數(shù)字0的個數(shù)為11,所以恰好取到0的概率為p(100)=11192. (2)F(n)=n,　　　　1≤n≤9,2n-9,10≤n≤99,3n-108,100≤n≤999,4n-1107,1000≤n≤2014. (3)當(dāng)n=b(1≤b≤9,b∈N*)時,g(n)=0; 當(dāng)n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)時,g(n)=k; 當(dāng)n=100時,g(n)=11, 即g(n)=0,　1≤n≤9,k,n=10k+b,1≤k≤

18、9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,11,n=100. 同理有f(n) =0,　　　1≤n≤8,k,n=10k+b-1,n-80,89≤n≤98,20,n=99,100.1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N*,b∈N, 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90. 所以當(dāng)n≤100時,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 當(dāng)n=9時,p(9)=0; 當(dāng)n=90時,p(90)=g(90)F(90)=9171=119; 當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時,p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k

19、20k+9,由于y=k20k+9關(guān)于k單調(diào)遞增,故當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時,p(n)的最大值為p(89)=8169. 又8169<119,所以當(dāng)n∈S時,p(n)的最大值為119. 5.(2014天津,20,14分)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)當(dāng)q=2,n=3時,用列舉法表示集合A; (2)設(shè)s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.證明:若an

20、則s

21、　直接證明與間接證明 1.(2016浙江,20,15分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+11+x,x∈[0,1].證明: (1)f(x)≥1-x+x2; (2)34

22、-122+34≥34, 又因?yàn)閒12=1924>34, 所以f(x)>34. 綜上,34

23、,D?U,SC≥SD,求證:SC+SC∩D≥2SD. 答案　(1)由已知得an=a1·3n-1,n∈N*. 于是當(dāng)T={2,4}時,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1. 又ST=30,故30a1=30,即a1=1. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1,n∈N*. (2)因?yàn)門?{1,2,…,k},an=3n-1>0,n∈N*, 所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k. 因此,ST

24、∩D=SC+SC=2SC≥2SD. ③若D不是C的子集,且C不是D的子集. 令E=C∩?UD,F=D∩?UC, 則E≠?,F≠?,E∩F=?. 于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,進(jìn)而由SC≥SD得SE≥SF. 設(shè)k為E中的最大數(shù),l為F中的最大數(shù),則k≥1,l≥1,k≠l. 由(2)知,SE

25、SC∩D)+1,即SC+SC∩D≥2SD+1. 綜合①②③得,SC+SC∩D≥2SD. 【三年模擬】 時間:45分鐘　分值:60分 一、選擇題(每小題5分,共45分) 1.(命題標(biāo)準(zhǔn)樣題,3)2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個弱化形式.孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一,可以這樣描述:存在無窮多個素?cái)?shù)p,使得p+2是素?cái)?shù),素?cái)?shù)對(p,p+2)稱為孿生素?cái)?shù).則由不超過20的素?cái)?shù)組成的孿生素?cái)?shù)共有(　　) A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 答案　C　 2.(2018廣東六校第三次聯(lián)考,10)自主招生聯(lián)盟成形于2009年清華大學(xué)等五校聯(lián)考,主

26、要包括“北約”聯(lián)盟,“華約”聯(lián)盟,“卓越”聯(lián)盟和“京派”聯(lián)盟.調(diào)查某高中學(xué)校學(xué)生自主招生報(bào)考的情況,得到如下結(jié)果: ①報(bào)考“北約”聯(lián)盟的學(xué)生,都沒報(bào)考“華約”聯(lián)盟;②報(bào)考“華約”聯(lián)盟的學(xué)生,也報(bào)考了“京派”聯(lián)盟;③報(bào)考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生,都沒報(bào)考“京派”聯(lián)盟;④不報(bào)考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生,就報(bào)考“華約”聯(lián)盟. 根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,下列結(jié)論錯誤的是(　　) A.沒有同時報(bào)考“華約”和“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生 B.報(bào)考“華約”和“京派”聯(lián)盟的考生一樣 C.報(bào)考“北約”聯(lián)盟的考生也報(bào)考了“卓越”聯(lián)盟 D.報(bào)考“京派”聯(lián)盟的考生也報(bào)考了“北約”聯(lián)盟 答案　D　 3.(2019河北衡水第十三中學(xué)質(zhì)

27、檢(四),6)平面內(nèi)的一條直線將平面分成2部分,兩條相交直線將平面分成4部分,三條兩兩相交且不共點(diǎn)的直線將平面分成7部分,……,則平面內(nèi)六條兩兩相交且任意三條不共點(diǎn)的直線將平面分成的部分?jǐn)?shù)為(　　) A.16 B.20 C.21 D.22 答案　D　 4.(2020屆寧夏大武口質(zhì)量檢測,4)大前提:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,小前提:f(x)=1x是奇函數(shù),結(jié)論:f(x)=1x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則推理過程(　　) A.正確 B.因大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 C.因小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 D.因推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 答案　A　 5.(2020屆河南南陽質(zhì)量檢測,8)我國南宋數(shù)學(xué)

28、家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表,即楊輝三角,這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中,已知第n行的所有數(shù)字之和為2n-1,若去除所有為1的項(xiàng),依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為(　　) A.2060 B.2038 C.4084 D.4108 答案　C　 6.(2019安徽合肥一中、馬鞍山二中等六校教育研究會第二次聯(lián)考,12)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,則下列命題正確的是(　　) (1)若a2+b2π2;(2)若ab>c2,則C>π3; (3)若a3+b3=c

29、3,則C<π2;(4)若2ab>(a+b)c,則C>π2; (5)若(a2+b2)c2<2a2b2,則C<π3. A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(5) C.(1)(3)(4) D.(1)(3)(5) 答案　D　 7.(2020屆河南新鄉(xiāng)質(zhì)量檢測,7)從A地到B地有三條路線:1號路線,2號路線,3號路線.小王想自駕從A地到B地,因擔(dān)心堵車,于是向三位司機(jī)咨詢,司機(jī)甲說:“2號路線不堵車,3號路線不堵車.”司機(jī)乙說:“1號路線不堵車,2號路線不堵車.”司機(jī)丙說:“1號路線堵車,2號路線不堵車.”如果三位司機(jī)中只有一位的說法是完全正確的,那么小王最應(yīng)該選擇的路線是(　　) A.

30、1號路線 B.2號路線 C.3號路線 D.2號路線或3號路線 答案　B　 8.(2020屆江西臨川質(zhì)量檢測,8)已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,再接下來的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推,若該數(shù)列前n項(xiàng)和N滿足:①N>80;②N是2的整數(shù)次冪,則滿足條件的最小的n為(　　) A.21 B.91 C.95 D.101 答案　C　 9.(2020屆河南安陽質(zhì)量檢測,6)中國古代用算籌來進(jìn)行記數(shù),算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式(如圖所示),表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯記數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列

31、,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,其中個位、百位、萬位、……用縱式表示,十位、千位、十萬位、……用橫式表示,則56846可用算籌表示為(　　) 答案　B　 二、填空題(每小題5分,共15分) 10.(2019廣東惠州模擬,15)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中,用圖①的數(shù)表列出了一些正整數(shù)在三角形中的一種幾何排列,俗稱“楊輝三角形”,該數(shù)表的規(guī)律是每行首尾數(shù)字均為1,從第三行開始,其余的數(shù)字是它“上方”左右兩個數(shù)字之和.現(xiàn)將楊輝三角形中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到圖②所示的由數(shù)字0和1組成的三角形數(shù)表,由上往下數(shù),記第n行各數(shù)字的和為Sn,如S1=1,S2=2,

32、S3=2,S4=4,S5=2,……,則S33=　　　　.? 答案　2 11.(2018河北衡水中學(xué)模擬,16)數(shù)列{an}滿足an+1=12an,an是正偶數(shù),3an+1,an是正奇數(shù),已知a7=2,{an}的前7項(xiàng)和的最大值為S,把a(bǔ)1的所有可能取值從小到大排成一個新數(shù)列{bn},{bn}所有項(xiàng)的和為T,則S-T=　　　　.? 答案　64 12.(命題標(biāo)準(zhǔn)樣題,15)兩位同學(xué)在研究三角形時,分別用三角形的周長和面積刻畫三角形三個頂點(diǎn)的“集中程度”,你認(rèn)為這兩位同學(xué)的刻畫方式更合理的是　　　　　　　　　　;請你再給出一種刻畫三角形三個頂點(diǎn)的“集中程度”的方式:? 　.? 答案　三角形的周長;三角形最長邊的長度、三角形三條中線的長度和、三角形三個頂點(diǎn)到內(nèi)心的距離之和(其他合理答案均可)