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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1《數(shù)學(xué)歸納法》教案 新人教版選修4-5 教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫. 教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 分析：多米諾骨牌游戲. 成功的兩個(gè)條件：（1）第一張牌被推倒；（2）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒. 回顧：數(shù)學(xué)歸納法兩大步：（i）歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；（ii）歸納遞推：假設(shè)n=k（k≥n0， k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 2. 練習(xí)：已知，猜想的表達(dá)式，并給出證明？ 過程：試值，，…，→ 猜想 → 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 3. 練習(xí)：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立，試證明你的結(jié)論. 二、講授新課： 1. 教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用： ① 出示例1：求證 分析：第1步如何寫？n=k的假設(shè)如何寫？ 待證的目標(biāo)式是什么？如何從假設(shè)出發(fā)？ 關(guān)鍵：在假設(shè)n=k的式子上，如何同補(bǔ)？ 小結(jié)：證n=k+1時(shí)，需從假設(shè)出發(fā)，對(duì)比目標(biāo)，分析等式兩邊同增的項(xiàng)，朝目標(biāo)進(jìn)行變形. ② 出示例2：求證：n為奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除. 分析要點(diǎn)：（湊配）xk+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2yk－x2yk =x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(y－x). ③ 出示例3：平面內(nèi)有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任何三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2－n+2個(gè)部分. 分析要點(diǎn)：n=k+1時(shí)，在k+1個(gè)圓中任取一個(gè)圓C，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓C與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)將圓C分成2k段弧，每段弧將它所在的平面部分一分為二，故共增加了2k個(gè)平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2. 2. 練習(xí)： ① 求證: （n∈N*）. ② 用數(shù)學(xué)歸納法證明： （Ⅰ）能被264整除； （Ⅱ）能被整除（其中n，a為正整數(shù)） ③ 是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）3n+9對(duì)任意正整數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由. 3. 小結(jié)：兩個(gè)步驟與一個(gè)結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”；從n=k到n=k+1時(shí)，變形方法有乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等. 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)：教材50 1、2、5題 2. 作業(yè)：教材50 3、4、6題. 第二課時(shí) 4.2 數(shù)學(xué)歸納法 教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫. 教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明幾個(gè)經(jīng)典不等式. 教學(xué)難點(diǎn)：理解經(jīng)典不等式的證明思路. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 求證：. 2. 求證：. 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題： ① 出示例1：比較與的大小，試證明你的結(jié)論. 分析：試值 → 猜想結(jié)論 → 用數(shù)學(xué)歸納法證明 → 要點(diǎn)：…. 小結(jié)：試值→猜想→證明 ② 練習(xí)：已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，Sn為前n項(xiàng)和，且，歸納出an的公式并證明你的結(jié)論. 解題要點(diǎn)：試值n=1,2,3,4， → 猜想an → 數(shù)學(xué)歸納法證明 ③ 出示例2：證明不等式. 要點(diǎn)： ④ 出示例3：證明貝努利不等式. 2. 練習(xí)：試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有an+cn＞2bn. 解答要點(diǎn)：當(dāng)a、b、c為等比數(shù)列時(shí)，設(shè)a=, c=bq (q＞0且q≠1). ∴ an+cn=…. 當(dāng)a、b、c為等差數(shù)列時(shí)，有2b=a+c，則需證＞()n (n≥2且n∈N*). …. 當(dāng)n=k+1時(shí)，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+akc+cka) =(ak+ck)(a+c)＞()k()=()k+1 . 3. 小結(jié)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式；技巧：湊配、放縮. 三、鞏固練習(xí)： 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： . 2. 已知. 3. 作業(yè)：教材P54 3、5、8題. 來源：