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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案2蘇教版必修4 【三維目標(biāo)】： 一、知識(shí)與技能 1. 會(huì)用角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值 2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義； 3.能利用三角函數(shù)線(xiàn)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題（利用三角函數(shù)線(xiàn)比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍）。 二、過(guò)程與方法 1.借助幾何畫(huà)板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，提高學(xué)生觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)、類(lèi)比、猜想和實(shí)驗(yàn)探索的能力； 2.在論壇上開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生借助所學(xué)知識(shí)自己去發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力. 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān) 1. 激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境. 2.通過(guò)三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，拓展思維空間 【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)與關(guān)鍵】： 重點(diǎn)：三角函數(shù)線(xiàn)的作法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用（利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來(lái)）. 難點(diǎn)：正確地用三角函數(shù)線(xiàn)表示任意角的三角函數(shù)值 關(guān)鍵：掌握有向線(xiàn)段及其數(shù)量的概念是克服難點(diǎn)的關(guān)鍵 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1．教法選擇：“設(shè)置問(wèn)題，探索辨析，歸納應(yīng)用，延伸拓展”——科研式教學(xué). 2．學(xué)法指導(dǎo)：類(lèi)比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識(shí)遷移；觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程；猜想、求證，達(dá)到知識(shí)的延展. 3．教學(xué)手段：本節(jié)課教學(xué)地點(diǎn)選在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，學(xué)生利用幾何畫(huà)板軟件探討數(shù)學(xué)問(wèn)題，做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；借助網(wǎng)絡(luò)論壇交流各自的觀(guān)點(diǎn),展示自己的才能. 4. 教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀. 【授課類(lèi)型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1. 前面我們學(xué)習(xí)了角的弧度制，角弧度數(shù)的絕對(duì)值，其中是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)弧的長(zhǎng)，r是圓的半徑。特別地, 當(dāng)r =1時(shí)，,此時(shí)的圓稱(chēng)為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長(zhǎng)度表示所對(duì)圓心角弧度數(shù)的絕對(duì)值，那么能否用幾何圖形來(lái)表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問(wèn)題. 二、研探新知 1．基本概念 （1）單位圓：圓心在圓點(diǎn)，半徑等于單位長(zhǎng)的圓叫做單位圓。 （2）有向線(xiàn)段：帶有方向的線(xiàn)段. 坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線(xiàn)，那么與之平行的線(xiàn)段亦可規(guī)定方向。 方向：按書(shū)寫(xiě)順序，前者為起點(diǎn)，后者為終點(diǎn)，由起點(diǎn)指向終點(diǎn). 如：有向線(xiàn)段，為起點(diǎn)，為終點(diǎn)，由點(diǎn)指向點(diǎn). O M （動(dòng)態(tài)演示） 數(shù)值：（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線(xiàn)段） 絕對(duì)值等于線(xiàn)段的長(zhǎng)度，若方向與坐標(biāo)軸同向，取正值；與坐標(biāo)軸反向，取負(fù)值.如： = 1, = -1, = 當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線(xiàn)。 2．三角函數(shù)線(xiàn)的定義： 設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P，過(guò)作軸的垂線(xiàn)，垂足為；過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線(xiàn)，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)交與點(diǎn). （Ⅳ） （Ⅲ） （Ⅱ） （Ⅰ） 由四個(gè)圖看出： 當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線(xiàn)段，于是有 ，，． 我們就分別稱(chēng)有向線(xiàn)段為正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)。正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)線(xiàn). 請(qǐng)大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線(xiàn)的作法,并用幾何畫(huà)板演示(一學(xué)生描述,同時(shí)用電腦演示)： 第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點(diǎn)； 第二步：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為，得正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)； 第三步：過(guò)點(diǎn)(1,0)作單位圓的切線(xiàn)，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)設(shè)為，得角的正切線(xiàn). 特別注意：三角函數(shù)線(xiàn)是有向線(xiàn)段，在用字母表示這些線(xiàn)段時(shí)，要注意它們的方向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書(shū)寫(xiě)順序不能顛倒.余弦線(xiàn)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，正弦線(xiàn)和正切線(xiàn)以此線(xiàn)段與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn)，其中點(diǎn)為定點(diǎn)（1，0）. 【說(shuō)明】： ①三條有向線(xiàn)段的位置：正弦線(xiàn)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線(xiàn)段；余弦線(xiàn)在軸上；正切線(xiàn)在過(guò)單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線(xiàn)上，三條有向線(xiàn)段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。 ②三條有向線(xiàn)段的方向：正弦線(xiàn)由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線(xiàn)由原點(diǎn)指向垂足；正切線(xiàn)由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)。 ③三條有向線(xiàn)段的正負(fù)：三條有向線(xiàn)段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負(fù)值。 ④三條有向線(xiàn)段的書(shū)寫(xiě)：有向線(xiàn)段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1.利用幾何畫(huà)板畫(huà)出下列各角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)： （1）； （2）； （3）； （4）． 學(xué)生先做,然后投影展示一學(xué)生的作品,并強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)線(xiàn)的位置和方向. 例2.利用三角函數(shù)線(xiàn)比較下列各組數(shù)的大?。? （1）與 （2）tan與tan （3）cot與cot A B o T2 T1 S2 S1 P2 P1 M2 M1 S1 解： 如圖可知： tan tan，cot cot 例3 利用幾何畫(huà)板畫(huà)出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角的集合： （1） ; （2）≤- . x y o P1 P2 分析：先作出滿(mǎn)足，的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.（幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示） 答案：（1）{}. （2）{} 【延伸】：通過(guò)（1）、（2）兩圖形的復(fù)合又可以得出不等式組的解集： {}. 觀(guān)察角的終邊在各位置的情形,結(jié)合三角函數(shù)線(xiàn)和已學(xué)知識(shí)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,得出哪些結(jié)論？請(qǐng)說(shuō)明你的觀(guān)點(diǎn)和理由，并發(fā)表于教育論壇。 學(xué)生得出的結(jié)論有以下幾種： (1) sin2 + cos2 = 1； (2)│sin│ + │cos │≥1； (3) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1, tan∈R； (4) 若兩角終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，則兩角的正切值相等,正弦、余弦值互為相反數(shù); (5) 當(dāng)角的終邊在第一象限逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小; (6) 當(dāng)角的終邊在直線(xiàn)的右下方時(shí), sin＜cos；當(dāng)角的終邊在直線(xiàn)的左上方時(shí), sin＞cos。 【觸類(lèi)旁通】：利用三角函數(shù)線(xiàn)寫(xiě)符合下列條件的角的集合：（1） （2） 四、鞏固深化，反饋矯正 1.利用三角函數(shù)線(xiàn)作出符合下列條件的角的終邊，并寫(xiě)出這些角的集合： （1） （2） （3） 2.利用三角函數(shù)線(xiàn)作出符合下列條件的角的終邊，并寫(xiě)出這些角的集合： （1） （2） 五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí) 1．三角函數(shù)線(xiàn)的定義；會(huì)畫(huà)任意角的三角函數(shù)線(xiàn) 2．利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。 3.三角函數(shù)線(xiàn)的應(yīng)用 六、承上啟下，留下懸念 1．作出下列各角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）－45 2．利用單位圓寫(xiě)出符合下列條件的角的范圍。 （1）； （2）； （3）tana （3）； （4）且； （5）且． 答案：（1）；（2）； （3）； （4）； （5）． 3．類(lèi)比正切線(xiàn)的作法，你能作出余切線(xiàn)嗎？ 4．結(jié)合三角函數(shù)線(xiàn)我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些很有價(jià)值的結(jié)論,你還能得出哪些結(jié)論？請(qǐng)大家繼續(xù)在論壇上交流. 5.查閱數(shù)學(xué)家歐拉的生平事跡,了解他在數(shù)學(xué)方面的突出貢獻(xiàn),談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)感受,并發(fā)表于論壇交流. 七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 八、課后記： gkxx