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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.1 映射與函數(shù)的概念教案 新課標(biāo) 一、映射 （１） 映射的概念：設(shè)Ａ，Ｂ是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合Ａ中的任何一個元素，在集合Ｂ中都有惟一的元素與它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)關(guān)系叫做從集合Ａ到集合Ｂ的映射，記作． （２） 象和原象：給定一個集合Ａ到Ｂ的映射，且，，如果元素和元素對應(yīng)，那么，我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象． 二、函數(shù) （１） 傳統(tǒng)定義：如果在某變化過程中有兩個變量，，并且對于在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則，都有惟一確定的值和它對應(yīng)，那么就是的函數(shù)，記為． （２） 近代定義：函數(shù)是由一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的映射． （３） 函數(shù)的三要素：函數(shù)是由定義域、值域以及從定義域到值域的對應(yīng)法則三部分組成的特殊的映射． （４） 函數(shù)的表示法：解析法、列表法、圖象法． 理解好函數(shù)概念還必須注意以下幾點： ① 函數(shù)是一種特殊的映射，集合Ａ、Ｂ都是非空的數(shù)的集合． ② 確定函數(shù)的映射是從定義域Ａ到值域Ｃ上的映射，允許Ａ中的不同元素在Ｃ中有相同的象，但不允許Ｃ中的元素在Ａ中沒有原象． ③ 兩個函數(shù)只有當(dāng)定義域、值域、對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才相同． ④ 函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)法則統(tǒng)稱為函數(shù)的三要素，其中對應(yīng)法則是核心，是使對應(yīng)得以實現(xiàn)的方法和途徑，是聯(lián)系與的紐帶．定義域是自變量的取值范圍，是函數(shù)的一個重要組成部分．同一個函數(shù)的對應(yīng)法則，由于定義域不相同，函數(shù)的圖像與性質(zhì)一般也不相同． ⑤ 函數(shù)的圖像可以是一條或幾條平滑的曲線也可以是一些離散的點，一些線段等． ⑥ 的含義與的含義不同．表示自變量時所得的函數(shù)值，它是一個常量；是的函數(shù)，通常它是一個變量． 定義法 用數(shù)學(xué)概念的基本定義解決相關(guān)問題的方法，稱之為定義法．利用定義解題的關(guān)鍵是把握住定義的本質(zhì)特征． [例1]　已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1,5]，在同一直角坐標(biāo)系下，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點個數(shù)為(　　) A．0個　 　B．1個　 　C．2個　 　D．0個或1個 解析：∵f(x)的定義域為[－1,5]，而1∈[－1,5] ∴點(1，f(1))在函數(shù)y＝f(x)的圖象上 而點(1，f(1))又在直線x＝1上 ∴直線x＝1與函數(shù)y＝f(x)的圖象必有一個交點(1，f(1)) 根據(jù)函數(shù)的定義知，函數(shù)是一個特殊的映射，即對于定義域[－1,5]中的任何一個元素，在其值域中有唯一確定的元素f(1)與之對應(yīng)，故直線x＝1與y＝f(x)的圖象有且只有一個交點．選B. 三、典型例題 題型一.映射與函數(shù)的概念 [例1]　判斷下列各組中兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)． 解析：(1)函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則均相同，所以是同一函數(shù)． (2)y＝ ＝x＋1，但x≠1，故兩函數(shù)定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)． (3)函數(shù)f(x)＝ 的定義域為{x|x≥0}． 而g(x)＝ 的定義域為{x|x≤－1或x≥0}， 它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)． (4)去掉絕對值號可知f(x)與g(x)是同一函數(shù)． 總結(jié)評述：當(dāng)一個函數(shù)的對應(yīng)法則和定義域確定后，其值域隨之得到確定，故函數(shù)的三要素(定義域、值域、對應(yīng)法則)可簡化為兩要素(定義域、對應(yīng)法則)，所以兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)法則相同時為同一函數(shù)． 練習(xí)：下列各組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的是 （D） 例2、下列對應(yīng)是否為從A到B的映射？能否構(gòu)成函數(shù)？ 不，不 是，是 。是，不 （4），B=R f:x ，不，不 總結(jié)評述：欲判斷對應(yīng)f：A→B是否是從A到B的映射，必須做兩點工作：①明確集合A、B中的元素．②根據(jù)對應(yīng)法則判斷A中的每個元素是否在B中能找到惟一確定的對應(yīng)元素． 例3（ 06年浙江卷）函數(shù)f:{1,2,3}→ {1,2,3}，滿足f(f(x))=f(x),這樣的函數(shù)個數(shù)（ D ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 10 練習(xí)：都有 x+f(x)+xf(x)是奇數(shù)，這樣的映射f共有（）個 A、22 B、15 C、50 D、27 解:分步為-1,0,1找象,當(dāng)x為偶數(shù)時,f(x)必為奇數(shù),當(dāng)x為奇數(shù)時,f(x)可奇可偶,所以當(dāng)x=0時,f(x)只取3,5中一個,當(dāng)x=-1或,1,f(x)可取2,3,4,5,6中任意一個,由乘法原理知,這個的映射的個數(shù)共有552=50 題型二.求定義域 例4（1）求下列函數(shù)的定義域：的定義域． （2）已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域． （3）已知函數(shù)f(2x）的定義域是［-1，1］，求f(log2x)的定義域. 解：由函數(shù)解析式有意義，得 故函數(shù)的定義域是． (2）由 ． ∵ 函數(shù)的定義域不可能為空集，∴ 必有，即 此時，，函數(shù)的定義域為（）； (2)∵y=f(2x)的定義域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2x≤2. ∴函數(shù)y=f(log2x)中≤log2x≤2.即log2≤log2x≤log24,∴≤x≤4. 故函數(shù)f(log2x)的定義域為［，4］ 練習(xí)： 題型三.實際問題中函數(shù)定義域的確定 四、作業(yè)： 1.求函數(shù)f(x)=的定義域. 解 由 ∴-1＜x＜0. ∴函數(shù)f(x)= 的定義域為（-1,0）. 2．已知向量滿足，且， （１）求向量 （２）若映射， ① 求映射下的原象； ② 若將作點的坐標(biāo)，問是否存在直線，使得直線上任一點在映射的作用下，仍在直線上，若存在，求出的方程，若不存在，請說明理由． 解：（１）設(shè)則　∴　∴ （２）①∵，　∴　　∴原象是； ② 假設(shè)存在，設(shè)其方程為 ∴．∵點在直線上，∴　 即與表示同一直線 ∴，∴直線存在，其方程為