《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第32練　圓錐曲線中的探索性問題 [題型分析·高考展望]　本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定值、最值范圍問題或探索性問題，試題難度較大． 體驗(yàn)高考 1．(2016·課標(biāo)全國(guó)乙)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由． 解　(1)由已知得M(0，t)，P， 又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故N，ON的方程為y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t

2、2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H. 所以N為OH的中點(diǎn)，即＝2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn)，理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t)． 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點(diǎn)． 2．(2016·四川)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y＝－x＋3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T. (1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)； (2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線

3、l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值． 解　(1)由已知，得a＝b， 則橢圓E的方程為＋＝1. 由方程組得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.① 方程①的判別式為Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3， 此時(shí)方程①的解為x＝2， 所以橢圓E的方程為＋＝1.點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1)． (2)由已知可設(shè)直線l′的方程為y＝x＋m(m≠0)， 由方程組可得 所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，|PT|2＝m2. 設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由方程組可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.② 方程②的判別式為Δ＝16(

4、9－2m2)， 由Δ>0，解得－b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ，＝μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ＋μ的值是否為定值？若是，求出λ＋μ的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)依題意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2， ∴a＝2，

5、c＝1，∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)∵直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在， 又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為 y＝k(x－1)，求得l與y軸交于M(0，－k)， 設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， 又由＝λ，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)， ∴λ＝，同理μ＝， ∴λ＋μ＝＋＝ ＝＝－. ∴當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，λ＋μ的值為定值－. 點(diǎn)評(píng)　(1)定點(diǎn)問題的求解策略 把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過

6、定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)． (2)定值問題的求解策略 在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就是“定值”問題，解決這類問題常通過取特殊值，先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無(wú)關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無(wú)關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值． 變式訓(xùn)練1　已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)M(5，－2)的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為－1時(shí)，點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn)． (1)求拋物線的方程； (2)拋物線上是否

7、存在一個(gè)定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)當(dāng)直線l的斜率為－1時(shí)， 直線l的方程為x＋y－3＝0，即x＝3－y， 代入y2＝2px(p>0)得y2＋2py－6p＝0， ＝－p＝－2，p＝2， 所以拋物線的方程為y2＝4x. (2)設(shè)直線l的方程為x＝m(y＋2)＋5， 代入y2＝4x得y2－4my－8m－20＝0， 設(shè)點(diǎn)A(，y1)，B(，y2)， 則y1＋y2＝4m，y1y2＝－8m－20， 假設(shè)存在點(diǎn)P(，y0)總是在以弦AB為直徑的圓上， 則·＝(－)(－) ＋(y1－y0)(y2－y0)＝0， 當(dāng)

8、y1＝y(tǒng)0或y2＝y(tǒng)0時(shí)， 等式顯然成立； 當(dāng)y1≠y0或y2≠y0時(shí)， 則有(y1＋y0)(y2＋y0)＝－16， 即4my0＋y－8m－20＝－16， (4m＋y0＋2)(y0－2)＝0， 解得y0＝2，x0＝1， 所以存在點(diǎn)P(1,2)滿足題意． 題型二　定直線問題 例2　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2＝2py(p>0)相交于A，B兩點(diǎn)． (1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值； (2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　

9、方法一　(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，－p)， 可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線AB的方程為y＝kx＋p， 與x2＝2py聯(lián)立得 消去y得x2－2pkx－2p2＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2. 于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2| ＝p|x1－x2|＝p ＝p＝2p2， ∴當(dāng)k＝0時(shí)，(S△ABN)min＝2p2. (2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a， AC的中點(diǎn)為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H， 則O′H⊥PQ，O′點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)． ∵|O′P|＝|AC

10、|＝＝， |O′H|＝＝|2a－y1－p|， ∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2 ＝(y＋p2)－(2a－y1－p)2 ＝(a－)y1＋a(p－a)， ∴|PQ|2＝(2|PH|)2 ＝4[(a－)y1＋a(p－a)]． 令a－＝0，得a＝， 此時(shí)|PQ|＝p為定值，故滿足條件的直線l存在， 其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線． 方法二　(1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得 |AB|＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝2p·， 又由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝. 從而S△ABN＝·d·|AB| ＝·2p·· ＝2p2. ∴當(dāng)k＝0時(shí)，(S△ABN)min＝

11、2p2. (2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a， 則以AC為直徑的圓的方程為 (x－0)(x－x1)＋(y－p)(y－y1)＝0， 將直線方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0， 則Δ＝x－4(a－p)(a－y1) ＝4[(a－)y1＋a(p－a)]． 設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為 P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 則有|PQ|＝|x3－x4| ＝ ＝2 . 令a－＝0，得a＝， 此時(shí)|PQ|＝p為定值， 故滿足條件的直線l存在， 其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線． 點(diǎn)評(píng)　(1)定直線由斜率、截距、定點(diǎn)等因素確定．

12、(2)定直線一般為特殊直線x＝x0，y＝y(tǒng)0等． 變式訓(xùn)練2　橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，已知橢圓C過點(diǎn)(0,1)，且離心率e＝. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l的方程為x＝4，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn)，求·的值； (3)過點(diǎn)Q(1,0)任意作直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，與l交于R點(diǎn)，＝x，＝y(tǒng)，求證：4x＋4y＋5＝0. (1)解　由題意可得b＝1，＝， ∴a＝3，橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)解　設(shè)P(x0，y0)，則直線

13、PA、PB的方程分別為 y＝(x＋3)，y＝(x－3)， 將x＝4分別代入可求得D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 D(4，)，E(4，)． 由(1)知，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴·＝(4＋2，)·(4－2，) ＝8＋， 又∵點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓C上， ∴＋y＝1?＝－， ∴·＝. (3)證明　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，t)， 由＝x得(x1－4，y1－t)＝x(1－x1，－y1)， ∴(x≠－1)， 代入橢圓方程得(4＋x)2＋9t2＝9(1＋x)2， ① 同理由＝y(tǒng)得(4＋y)2＋9t2＝9(1＋y)2， ② ①－②消

14、去t，得x＋y＝－， ∴4x＋4y＋5＝0. 題型三　存在性問題 例3　(1)已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________． 答案　[1，＋∞) 解析　以AB為直徑的圓的方程為x2＋(y－a)2＝a， 由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0. 即(y－a)[y－(a－1)]＝0， 由已知解得a≥1. (2)如圖，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2 (r>0)，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M，N. ①求橢圓C的方程； ②求·的最小值，并求此時(shí)

15、圓T的方程； ③設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 試問：是否存在使S△POS·S△POR最大的點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　①由題意知解之，得a＝2，c＝， 由c2＝a2－b2，得b＝1， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. ②點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱， 設(shè)M(x1，y1)，N(x1，－y1)， 不妨設(shè)y1>0，由于點(diǎn)M在橢圓C上，∴y＝1－. 由已知T(－2,0)， 則＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)， ∴·＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1) ＝(x1＋2)2－y＝(x

16、1＋2)2－ ＝2－. 由于－2

17、為橢圓上的一點(diǎn)， ∴要使S△POS·S△POR最大，只要y最大，而y的最大值為1，故滿足條件的P點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為P(0,1)和P(0，－1)． 點(diǎn)評(píng)　存在性問題求解的思路及策略 (1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在． (2)策略：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論； ②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件． 變式訓(xùn)練3　(2015·四川)如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且·＝－1. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否

18、存在常數(shù)λ，使得·＋λ·為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)由已知，得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)， 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且·＝－1， 于是解得a＝2，b＝， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為 y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 聯(lián)立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， 其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 從而，·＋λ· ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋

19、k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝ ＝－－λ－2. 所以當(dāng)λ＝1時(shí)，－－λ－2＝－3， 此時(shí)·＋λ·＝－3為定值． 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD， 此時(shí)，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3. 故存在常數(shù)λ＝1，使得·＋λ·為定值－3. 高考題型精練 1.(2015·陜西)如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2. (1)解　由題設(shè)知＝，b＝1， 結(jié)合a2＝b2＋c2，解得a＝，

20、 所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)證明　由題設(shè)知，直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0， 由已知Δ＞0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 從而直線AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋＝＋ ＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2. 2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn)P(1，)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2

21、)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍； (3)過橢圓C1：＋＝1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作圓O：x2＋y2＝的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N(M，N不在坐標(biāo)軸上)，若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：＋為定值． (1)解　由題意得c＝1，所以a2＝b2＋1， 又因?yàn)辄c(diǎn)P(1，)在橢圓C上， 所以＋＝1，可解得a2＝4，b2＝3， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)解　設(shè)直線l方程為y＝kx＋2， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0， 因?yàn)棣ぃ?2k2－3>0，所以k2>

22、， 又x1＋x2＝，x1x2＝，因?yàn)椤螦OB為銳角，所以·>0，即x1x2＋y1y2>0， 所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0， 所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0， 所以(1＋k2)·＋2k·＋4>0， 即>0，所以k2<，所以

23、 ② 把P點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①、②得 所以直線MN的方程為x1x＋y1y＝， 令y＝0，得m＝，令x＝0，得n＝， 所以x1＝，y1＝，又點(diǎn)P在橢圓C1上， 所以()2＋3()2＝4，即＋＝為定值． 3．(2016·山東)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2. (1)求橢圓C的方程； (2)過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m＞0)的直線交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn)．過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B. ①設(shè)直線PM，QM的斜率分別為k，k′，證明為定值； ②求直線AB的斜率的最小值． (1)解　設(shè)橢圓的半

24、焦距為c.由題意知2a＝4,2c＝2.所以a＝2，b＝＝. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)①證明　設(shè)P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)． 由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m)． 所以直線PM的斜率k＝＝. 直線QM的斜率k′＝＝－. 此時(shí)＝－3.所以為定值－3. ②解　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由①知直線PA的方程為y＝kx＋m. 直線QB的方程為y＝－3kx＋m. 聯(lián)立 整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0， 由x0x1＝，可得x1＝， 所以y1＝kx1＋m＝＋m. 同理x2＝，y2＝＋m. 所以x2－x1

25、＝－ ＝， y2－y1＝＋m－－m ＝， 所以kAB＝＝＝， 由m＞0，x0＞0，可知k＞0， 所以6k＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k＝時(shí)取“＝”． 因?yàn)镻(x0,2m)在橢圓＋＝1上， 所以x0＝，故此時(shí)＝， 即m＝，符合題意． 所以直線AB的斜率的最小值為. 4．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距． (1)求橢圓C的方程； (2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是否存在直線l，使得△BFM與△BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)由已知得c＝1，a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)＝2等價(jià)于＝2， 當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，＝1， 不符合題意，舍去； 當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)， 由消去x并整理得， (3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則y1＋y2＝－， ① y1y2＝－， ② 由＝2得y1＝－2y2， ③ 由①②③解得k＝±，因此存在直線l：y＝±(x－1)使得△BFM與△BFN的面積比值為2.