《高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題10 數(shù)學思想 第38練 數(shù)形結(jié)合思想 文-人教版高三數(shù)學試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題10 數(shù)學思想 第38練 數(shù)形結(jié)合思想 文-人教版高三數(shù)學試題（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第38練　數(shù)形結(jié)合思想 [思想方法解讀]　數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：①借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；②借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)． 數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決

2、．數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化．在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍． 數(shù)學中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合．如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標系或單位圓來定義的． 體驗高考 1．(2015·北京)如圖，

3、函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 答案　C 解析　令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)的圖象如圖. 由　得 ∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1

4、值1，無最小值 C．有最小值－1，無最大值 D．有最大值－1，無最小值 答案　C 解析　由題意得，利用平移變化的知識畫出函數(shù)|f(x)|，g(x)的圖象如圖， 而h(x)＝， 故h(x)有最小值－1，無最大值． 3．(2015·重慶)若函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，則實數(shù)a＝________. 答案　4或－6 解析　由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|， 當a>－1時， f(x)＝ 作出f(x)的大致圖象如圖所示， 由函數(shù)f(x)的圖象可知f(a)＝5， 即a＋1＝5，∴a＝4. 同理，當a≤－1時，－a－1＝5，∴a＝－6. 高考必

5、會題型 題型一　數(shù)形結(jié)合在方程根的個數(shù)中的應(yīng)用 例1　方程sin πx＝的解的個數(shù)是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　C 解析　在同一平面直角坐標系中畫出y1＝sin πx和y2＝的圖象，如下圖： 觀察圖象可知y1＝sin πx和y2＝的圖象在第一象限有3個交點，根據(jù)對稱性可知，在第三象限也有3個交點，在加上原點，共7個交點，所以方程sin πx＝有7個解． 點評　利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點 (1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性，否則會得到錯解． (2

6、)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合． 變式訓練1　若函數(shù)f(x)＝有且只有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－4,0) B．(－∞，0] C．(－4,0] D．(－∞，0) 答案　B 解析　當x>0時，f(x)＝lnx與x軸有一個交點， 即f(x)有一個零點． 依題意，顯然當x≤0時，f(x)＝－kx2也有一個零點，即方程－kx2＝0只能有一個解． 令h(x)＝，g(x)＝kx2， 則兩函數(shù)圖象在x≤0時只能有一個交點． 若k>0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時有兩個交點

7、，即點A與原點O(如圖所示)． 顯然k>0不符合題意． 若k<0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點， 即原點O(如圖所示)． 若k＝0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點，即原點O. 綜上，所求實數(shù)k的取值范圍是(－∞，0]．故選B. 題型二　利用數(shù)形結(jié)合解決不等式函數(shù)問題 例2　已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________． 答案　(0,1) 解析　當x≥2時，f(x)＝， 此時f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減， 且0

8、(x－1)3，此時f(x)過點(1,0)， (0，－1)， 且在(－∞，2)上單調(diào)遞增． 當x→2時，f(x)→1. 如圖所示作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，由圖可得f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增且f(x)<1， f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減且0

9、獲得簡捷的解答． 變式訓練2　若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案　D 解析　因為2x>0，所以由2x(x－a)<1得x－a<＝2－x，在直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)＝x－a，g(x)＝2－x在x>0時的圖象，如圖． 當x>0時，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，則有f(0)<1，即－a<1，即a>－1，所以選D. 題型三　利用數(shù)形結(jié)合求最值 例3　已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝

10、0，則|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　C 解析　如圖， 設(shè)O＝a，O＝b，O＝c，則C＝a－c，C＝b－c. 由題意知C⊥C， ∴O、A、C、B四點共圓． ∴當OC為圓的直徑時，|c|最大，此時，|O|＝. 點評　利用數(shù)形結(jié)合求最值的方法步驟 第一步：分析數(shù)理特征，確定目標問題的幾何意義．一般從圖形結(jié)構(gòu)、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義． 第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問題． 第三步：解決幾何問題． 第四步：回歸代數(shù)問題． 第五步：回顧反思． 應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：(1)比值——可考

11、慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點間的距離． 變式訓練3　已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 答案　B 解析　根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示， 則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m. 因為∠APB＝90°，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m. 要求m的最大值， 即求圓C上的點P到原點O的最大距離． 因為|OC|＝＝5

12、， 所以|OP|max＝|OC|＋r＝6， 即m的最大值為6. 高考題型精練 1．若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A．[－，] B．(－，) C．[－，] D．(－，) 答案　C 解析　設(shè)直線方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0， 直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點， 圓心到直線的距離小于等于半徑， 即d＝≤1， 得4k2≤k2＋1，k2≤.所以－≤k≤. 2．已知f(x)＝|x·ex|，又g(x)＝f2(x)＋t·f(x)(t∈R)，若滿足g(x)＝－1的x有四個，則t的

13、取值范圍為(　　) A．(，＋∞) B．(－∞，－) C．(－，－2) D．(2，) 答案　B 解析　依題意g(x)＝f2(x)＋t·f(x)＝－1， 即t＝＝－[f(x)＋]≤－2， 可排除A，C，D.也可以畫出函數(shù)－[f(x)＋]圖象如下圖所示，要有四個交點，則選B. 3．已知函數(shù)f(x)滿足下列關(guān)系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lgx解的個數(shù)是(　　) A．5 B．7 C．9 D．10 答案　C 解析　由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為[0,1]的函數(shù)．又f(x)＝lgx，則x∈(0,1

14、0]，畫出兩函數(shù)圖象， 則交點個數(shù)即為解的個數(shù)．由圖象可知共9個交點． 4．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且當x∈[－2,0]時，f(x)＝()x－1，若在區(qū)間(－2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是(　　) A．(，2) B．(，2) C．[，2) D．(，2] 答案　B 解析　作出f(x)在區(qū)間(－2,6]上的圖象， 可知loga(2＋2)<3，loga(6＋2)>3?

15、 A．[－1,1) B．k＝± C．[－1,1] D．k＝或k∈[－1,1) 答案　D 解析　令y1＝x＋k，y2＝， 則x2＋y＝1(y≥0)．作出圖象如圖， 在y1＝x＋k中，k是直線的縱截距，由圖知：方程有一個解?直線與上述半圓只有一個公共點?k＝或－1≤k<1. 6．已知函數(shù)f(x)＝|4x－x2|－a，當函數(shù)有4個零點時，則a的取值范圍是__________． 答案　(0,4) 解析　∵函數(shù)f(x)＝|4x－x2|－a有4個零點， ∴方程|4x－x2|＝a有4個不同的解． 令g(x)＝|4x－x2| ＝ 作出g(x)的圖象，如圖，由圖象可以看出，當h(x)

16、＝a與g(x)有4個交點時，02(由于a4. 8．已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________． 答案　(0,1)∪(1,4) 解析　根據(jù)絕對值的意義， y＝＝ 在直角坐標系中作出該函數(shù)的圖象， 如圖中實線所

17、示． 根據(jù)圖象可知，當0