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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.2 函數(shù)與方程教案 新課標(biāo) 【知識歸納】 1．函數(shù)零點(diǎn)的定義： 方程有實根函數(shù)圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。 2．函數(shù)變號零點(diǎn)與不變號零點(diǎn)（二重零點(diǎn)）性質(zhì)： （1）定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線，并且有那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個也就是方程的實數(shù)根。 （2）變號了一定有零點(diǎn)（能證明f(x)單調(diào)則有且只有一個零點(diǎn)）；不變號不一定無零點(diǎn)（如二重零點(diǎn)）：在相鄰兩個零點(diǎn)之間所有的函數(shù)值保持同號。 3．怎樣求零點(diǎn)：即為求解方程的根？ 解一：利用計算器或計算機(jī)作的對應(yīng)值表、若在區(qū)間上連續(xù)，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個實數(shù)根、若能證明在單調(diào)性，則在有且只有一個零點(diǎn)、再在其它區(qū)間內(nèi)同理去尋找。 解二：試探著找到兩個x對應(yīng)值為一正一負(fù)（至少有一個）；再證單調(diào)增函數(shù)即可得有且只有一個。 解三：構(gòu)造兩個易畫函數(shù)，畫圖，看圖象交點(diǎn)個數(shù)，很實用。 4．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟： 在給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟是： （1）確定區(qū)間，驗證，給定精確度； （2）求區(qū)間的中點(diǎn)； （3）計算： ①若=0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)，計算終止； ②若，則令b=c（此時零點(diǎn)）； ③若則令a=c（此時零點(diǎn)。(用列表更清楚) （4）．判斷是否達(dá)到精確度：即若，則得到零點(diǎn)近似值；否則重復(fù)（2）~（4）。 說明：用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(diǎn)適合，對函數(shù)的不變號零點(diǎn)不使用；用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值必須用上節(jié)的三種方法之一先求出零點(diǎn)所在的區(qū)間。 【典型例題】 一、確定零點(diǎn)的個數(shù) 例1．（1）二次函數(shù)中，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（ ） A．1個 B．2個 C．0個 D．無法確定 分析：分析條件，是二次項系數(shù)，確定拋物線的開口方向，，所以，由此得解。 解：因為，所以，即與異號，即或 所以函數(shù)必有兩個零點(diǎn)，故選B。 （2）函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為_______。 解：可由試根法求得的一根為，從而可得，由函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為3個。 例2． 函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ） A．（1，2） B．（2，3） C．和（3，4） D． 分析：從已知的區(qū)間，求和，判斷是否有。 解：因為，故在（1，2）內(nèi)沒有零點(diǎn)，非A。 又，所以，所以在（2，3）內(nèi)有一個零點(diǎn)，選B。 例2．下列函數(shù)中，在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)的是 ①②③ ④⑤ 解析：①直接求出x=1，符合 ②首先判斷一元二次函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，通過求所對應(yīng)方程判別式的大?。骸?0,無零點(diǎn) ③△>0,且,零點(diǎn) ④即判斷與的交點(diǎn)情況，需要畫圖，并判斷交點(diǎn)所在區(qū)間 ⑤同理，判斷與的交點(diǎn)情況 答案①③⑤ 例4． 試證明函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)。 證明：且， 而函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。 又，在上是一個單調(diào)遞增函數(shù)。如果函數(shù)有不僅一個的零點(diǎn)，可設(shè)為它的兩個不等的零點(diǎn)，則有，這與在上是一個單調(diào)遞增函數(shù)矛盾，函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)。 二、求函數(shù)零點(diǎn)的近似值 例5．求方程在區(qū)間內(nèi)的實數(shù)解。（ 精確到0.01） 解：考察函數(shù)由于，函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)有解。取[0，2]的中點(diǎn)1， 方程在[1，2]內(nèi)有解，又所以在區(qū)間存在零點(diǎn)，方程在[1，1.5]內(nèi)有解，如此下去，取區(qū)間作為計算器的初始區(qū)間。用二分法逐次計算列表如下： 區(qū)間中點(diǎn)坐標(biāo) 中點(diǎn)函數(shù)值 取區(qū)間 0.5 1.25 0.25 1.375 0.125 1.3125 0.0625 1.34375 0.03125 1.328125 0.015625 1.3203125 0.0078125 ，至此可以看出，函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間長度小于0.01的區(qū)間內(nèi)，因為該區(qū)間的所有值精確到0.01的都是1.32，所以1.32是函數(shù)精確到0.01的一個近似零點(diǎn)。 例6．已知二次函數(shù)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象與直線的兩個交點(diǎn)間距離為8， （1）求函數(shù)的表達(dá)式。 （2）證明：當(dāng)時，關(guān)于的方程有三個實數(shù)解。 解：（1） （2）由得，即：，在同一坐標(biāo)系作出和的大致圖象，其中的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，的圖象是以為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線。因此，與的圖象在第三象限有一個交點(diǎn)。即有一個負(fù)數(shù)解。 又，當(dāng)時， 當(dāng)時，在第一象限的圖象上存在一點(diǎn)在圖象的上方。 與的圖象在第一象限有兩個交點(diǎn)，即有兩個正數(shù)解。因此，方程有三個實數(shù)解。 方法二：由得，因式分解為：，即：或，又不是的根，故可化為：，只須證明和不是的根，且具有兩個不等的實根。 【作業(yè)】 1．已知關(guān)于的方程－2= 0有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。 答案：0≤≤4－ 2．已知二次函數(shù) （1）若，且，試證明必有兩個零點(diǎn)。 （2）若對于且，，方程有兩個不等的實根，證明必有一實根屬于。 證明：（1） 又，即， 又，方程有兩個不等實根，所以函數(shù)有兩個實根。 （2）令， 則， ， 在內(nèi)必有一實根，即在內(nèi)必有一實根。 3．已知關(guān)于x的二次函數(shù)． (1)求證：對于任意，方程必有實數(shù)根； (2)若，求證：方程在區(qū)間上各有一個實數(shù)根． (1)由知必有實數(shù)根. 或由得必有實數(shù)根． (2)當(dāng)時，因為，， ， 所以方程在區(qū)間上各有一個實數(shù)根． 4．已知，t∈[，8]，對于f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。 解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3] 原題轉(zhuǎn)化為：>0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要） 當(dāng)x＝2時，不等式不成立。 ∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3] 問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[，3]上恒對于0，則：； 解得：x>2或x<－1 評析：首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。