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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列（3）教案 蘇教版必修5 【三維目標(biāo)】： 一、知識(shí)與技能 1. 掌握等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式以及推導(dǎo)該公式的數(shù)學(xué)思想方法，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題； 2.探索活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析的能力，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納能力。 二、過(guò)程與方法 1.通過(guò)對(duì)歷史有名的高斯求和的介紹，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過(guò)程中，通過(guò)類(lèi)比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對(duì)等差數(shù)列相應(yīng)問(wèn)題的研究。 2.通過(guò)公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾乃季S規(guī)律，初步形成認(rèn)識(shí)問(wèn)題，解決問(wèn)題的一般思路和方法；通過(guò)公式推導(dǎo)的過(guò)程教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的思維水平. 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 1.通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。 2.培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的問(wèn)題的能力。 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】： 重點(diǎn)：等差數(shù)列項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用 難點(diǎn)：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得，靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題，體會(huì)等差數(shù)列的前項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1.學(xué)法：講練結(jié)合 2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀. 【授課類(lèi)型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 “小故事”：著名的數(shù)學(xué)家高斯（德國(guó) 1777-1855）十歲時(shí)計(jì)算1+2+3+…+100的故事：高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時(shí),有一次老師出了一道題目,老師說(shuō): “現(xiàn)在給大家出道題目:“1+2+…100=?” 過(guò)了兩分鐘,正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂(lè)乎時(shí)，高斯站起來(lái)回答說(shuō)：“1+2+3+…+100=5050。教師問(wèn)：“你是如何算出答案的？高斯回答說(shuō)：因?yàn)?+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以10150=5050” 故事結(jié)束：歸納為 1．這是求等差數(shù)列1，2，3，…，100前100項(xiàng)和 2．高斯的解法是：前100項(xiàng)和，即 二、研探新知 1.等差數(shù)列的求和公式 （1）求和公式（一）：（倒序相加法） 思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和。我們用兩種方法表示： 證明： ① ② ①+②： ∵ ∴ 由此得： 由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式 注意：用上述公式要求必須具備三個(gè)條件： （2）求和公式（二）：按等差數(shù)列定義 當(dāng)然，對(duì)于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如： = === 這兩個(gè)公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到 注意：此公式要求必須具備三個(gè)條件： （有時(shí)比較有用） 公式二又可化成式子：，當(dāng)，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式，有關(guān)前項(xiàng)和得最值問(wèn)題可由此公式解決 總之：兩個(gè)公式都表明要求必須已知中三個(gè) 說(shuō)明：（1）等差數(shù)列的前和等于首末兩項(xiàng)和的一半的倍； （2）在等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式中有，，，，五個(gè)量，已知其中三個(gè)可以求出另外兩個(gè)。 引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個(gè)公式反映了等差數(shù)列的任意的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)內(nèi)在性質(zhì)。第二個(gè)公式反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較。這兩個(gè)公式的共同點(diǎn)都是知道和，不同點(diǎn)是第一個(gè)公式還需知道，而第二個(gè)公式是要知道，解題時(shí)還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1（教材例1）在等差數(shù)列中， （1）已知，，，求；（2）已知，，求。 例2（教材例2）（1）在等差數(shù)列中，已知，，求及； （2）在等差數(shù)列中，，，，求及 解：（1）由題意，得 由（2）得： 代入（1）得，∴（舍去），∴ （2）由題意，得 解得： 例3（教材例3）在等差數(shù)列中，已知第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為310，第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910，求第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和。 解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意，得 即： 解得： ∴ ，∴ 從上例中我們發(fā)現(xiàn)：也成等差數(shù)列，你能得出更一般的結(jié)論嗎？ 結(jié)論：仍成等差數(shù)列，公差為（為確定的正整數(shù)）。 例4求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。 解：由，得，故集合中的元素共有14個(gè)，將它們從小到大列出，得，，，，．這數(shù)列是等差數(shù)列，共有項(xiàng)，記為，其中，， 所以，，答：集合共有14個(gè)元素 ，它們的和等于． 例5 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（1）求公差的取值范圍；（2）指出中哪一個(gè)值最大？并說(shuō)明理由。 解：（1），，則，所以，； （2）∵，，∵，∴ ，∴且，所以，最大。 說(shuō)明：（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值； （2）最值的求法：①若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）； ②若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或 四、鞏固深化，反饋矯正 教材練習(xí)第1，2，3，4題 五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí) 1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和的兩個(gè)公式及推導(dǎo)方法 ； （1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1（倒序相加法）： （2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2： （3），當(dāng)，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式 2.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法: （1） 利用: 當(dāng)，前項(xiàng)和有最大值可由，且，求得的值 當(dāng)，前項(xiàng)和有最小值可由，且，求得的值 （2） 利用： 由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)的值 3. 在等差數(shù)列前項(xiàng)和公式中有，，，，五個(gè)量，只要知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素.(體現(xiàn)了方程思想) 4．等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列中前項(xiàng)為，則仍成等差數(shù)列，公差為（為確定的正整數(shù)）。 六、承上啟下，留下懸念 1.預(yù)習(xí)等差數(shù)列的應(yīng)用 2.補(bǔ)充：今有人與錢(qián)，初一人與三錢(qián)，次一人與四錢(qián)，次一人與五錢(qián)，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢(qián)，與訖，還斂聚與均分之，人得一百錢(qián)，問(wèn)人幾何？ 解：將每次發(fā)的錢(qián)從小到大排列為等差數(shù)列，記為，設(shè)公差為，前項(xiàng)和記為，則，，，∴，答：共有人個(gè)。 七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：