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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 等比數(shù)列（3）教案 蘇教版必修5 【三維目標(biāo)】： 一、知識與技能 1掌握“錯(cuò)位相減”的方法推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式； 2.掌握等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的實(shí)際問題； 二、過程與方法 1.通過公式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會(huì)公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)． 2.從“錯(cuò)位相減法”這種算法中，體會(huì)“消除差別”，培養(yǎng)化簡的能力 3.經(jīng)歷等比數(shù)列前項(xiàng)和的推導(dǎo)與靈活應(yīng)用，總結(jié)數(shù)列的求和方法，并能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型、解決求和問題。 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美． 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】： 重點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用． 難點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)． 突破難點(diǎn)手段：“抓兩點(diǎn)，破難點(diǎn)”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、積極探索，及時(shí)地給以鼓勵(lì)，使他們知難而進(jìn)；二抓知識選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo). 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1. 學(xué)法：由等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)推導(dǎo)出前項(xiàng)和公式，從而利用公式解決實(shí)際問題 2. 教學(xué)方法：采用啟發(fā)和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式. 3. 教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 首先回憶一下前兩節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容： 1．等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：（） 2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: ， 3．成等比數(shù)列=q（,q≠0）“≠0”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件 4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列． 5．等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng). 6．性質(zhì)：若，則 7．判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法 8．等比數(shù)列的增減性 二、研探新知 1．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)： 方法一：錯(cuò)位相減法 一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是， 由 得∴, 當(dāng)時(shí)， 或 當(dāng)時(shí)， 這種求和方法稱為“錯(cuò)位相減法”， “錯(cuò)位相減法”是研究數(shù)列求和的一個(gè)重要方 注意：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)； （2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆； （3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況． 方法二：運(yùn)用等比定理 有等比數(shù)列的定義， 根據(jù)等比的性質(zhì)，有 即 （結(jié)論同上） 圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式． 方法三：運(yùn)用方程思想(提取公比) ＝ ＝＝ （結(jié)論同上） “方程”在代數(shù)課程里占有重要的地位，方程思想是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，利用方程思想，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使問題得到解決 一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是 方法四：由等次冪差公式直接推得（詳略） 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1 求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和. 解：由，， ，從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為-=1008 例2 一條信息，若一人得知后用一小時(shí)將信息傳給兩個(gè)人，這兩個(gè)人又用一小時(shí)各傳給未知此信息的另外兩人，如此繼續(xù)下去，一天時(shí)間可傳遍多少人？ 解：根據(jù)題意可知，獲知此信息的人數(shù)成首項(xiàng)的等比數(shù)列，則：一天內(nèi)獲知此信息的人數(shù)為： 例3 （教材例1）求等比數(shù)列中，（1）已知；，，求；（2）已知；，，，求． 解：（1）；（2）． 例4在之間插入10個(gè)數(shù)，使它們同這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求這10個(gè)數(shù)的和 例5（教材例2）求等比數(shù)列中，，，求； 解：若，則，與已知，矛盾，∴，從而①， ②． ②：①得： ，∴，由此可得，∴． 例6（教材例3）求數(shù)列的前項(xiàng)和． 解： ． 說明：數(shù)列的每一項(xiàng)都是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)的和，求解時(shí)要采用分組求和． 例7等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)中，數(shù)值最大的一項(xiàng)是54，若該數(shù)列的前項(xiàng)之和為，且，求：（1）通項(xiàng)公式；（2）前100項(xiàng)之和 例8設(shè)數(shù)列，若以為系數(shù)的二次方程：且）都有根、且滿足，（1）求證：為等比數(shù)列；（2）求；（3）求的前項(xiàng)和。 四、鞏固深化，反饋矯正 五、歸納整理，整體認(rèn)識 1. 等比數(shù)列求和公式：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 或 ； 2．這節(jié)課我們從已有的知識出發(fā)，用多種方法（迭加法、運(yùn)用等比性質(zhì)、錯(cuò)位相減法、方程法）推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，并在應(yīng)用中加深了對公式的認(rèn)識． 六、承上啟下，留下懸念 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：