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2019-2020年高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)理 （xx吉林三模） 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共24小題，共150分，考試時間120分鐘。 注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼 在條形碼區(qū)域內(nèi)。 2．選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米的黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。 3．請按照題號順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無 效；在草稿紙、試題卷上答題無效。 4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色自己的簽字筆描黑。 5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、 刮紙刀。 U B A 一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知全集，集合，， 則右圖中陰影部分表示的集合為 （A） （B） （C） （D） 2．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于 （A）第一象限　　　　 （B）第二象限　　　 （C）第三象限　　　 （D）第四象限 3．已知,且，則等于 （A） （B） （C） （D） 4．下列有關(guān)命題的說法正確的是 （A）命題“,使得”的否定是：“,均有” （B）“”是“”成立的必要不充分條件 （C）線性回歸方程對應(yīng)的直線一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點 ,,…，中的一個點 （D）若“”為真命題，則“”也為真命題 開始 n = 1，S = 0 n >10? 輸出S 結(jié)束 S = S + n n = n + 2 是 否 5．右邊程序框圖的程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是 （A）24 （B）25 （C）34 （D）35 6．已知幾何體的三視圖如圖所示，可得這個幾何體的體積是 （A）4 （B）6 （C）12 （D）18 7．實數(shù)m是函數(shù)的零點，則 （A） （B） （C） （D） 8．4名同學(xué)到某景點旅游，該景點有4條路線可供游覽，其中恰有1條路線沒有被這4個同學(xué)中的任何1人游覽的情況有 （A）81種 （B）36種 （C）72種 （D）144種 9．已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積是 （A） （B） （C） （D） 10．已知數(shù)列，若點在經(jīng)過點的定直線l上，則數(shù)列的前15項和 （A）12 （B）32 （C）60 （D）120 11．函數(shù)的部分圖象，如圖所示，若，則 O x y A B C 等于 （A） （B） （C） （D） 12．如圖，以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD，且. 若雙曲線以A、B為焦點，且過C、D兩點，則當(dāng)梯形的周長最大時，雙曲線的離心率為 A B C D （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答. 第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分. 13．若實數(shù)滿足不等式組, 則目標(biāo)函數(shù)的最大值是 . 14．已知，則二項式展開式中的系數(shù)為 . 15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則 . 16．已知函數(shù)，若，且，使得 ，則實數(shù)a的取值范圍是 . 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17.（本小題滿分12分） 已知各項均不相同的等差數(shù)列的前四項和， 且成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前n項和，求的值. 18. （本小題滿分12分） 某高校在xx年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學(xué)生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上（含85分）的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格. 頻率/組距 分?jǐn)?shù) 75 80 85 90 95 100 O 0.01 0.02 0.06 0.07 0.03 0.04 0.05 （Ⅰ）求出第4組的頻率，并補全頻率分 布直方圖； （Ⅱ）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和 “良好” 的學(xué)生中選出5人，再從這 5人中選2人，那么至少有一人是 “優(yōu)秀”的概率是多少？ （Ⅲ）若該校決定在第4，5 組中隨機抽取2名學(xué)生接受考官A的面試，第5組中有名學(xué)生被考官A面試，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 19.（本小題滿分12分） 在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，，，，. A B C D E F （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求二面角的大?。?u.] 20.（本小題滿分12分） 已知、，圓：，一動圓在軸右側(cè)與軸相 切，同時與圓相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線，曲線是以，為焦點的橢圓． （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）設(shè)曲線與曲線相交于第一象限點，且，求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的條件下，直線與橢圓相交于，兩點，若的中 點在曲線上，求直線的斜率的取值范圍． 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，． （Ⅰ）若曲線與在公共點處有相同的切線，求實數(shù)、的值； （Ⅱ）當(dāng)時，若曲線與在公共點處有相同的切線，求證：點唯一；（Ⅲ）若，，且曲線與總存在公切線，求正實數(shù)的最小值． 請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所選的第一題記分.做 答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑. 22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖所示，PA為⊙O的切線，A為切點，PBC是過點O 的割線，，,的平分線與BC和⊙分別交于點D和E． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求的值． 23.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知在直角坐標(biāo)系中，直線l過點P，且傾斜角為，以原點O為極點， x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，半徑為4的圓C的圓心的極坐標(biāo)為. （Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系. 24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 設(shè)函數(shù). （Ⅰ）若的最小值為3，求a的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求使得不等式成立的x的取值集合. 命題、校對：凌志永 常 越 曹鳳仁 楊萬江 王玉梅 孫長青 吉林市普通中學(xué)xx高中畢業(yè)班下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一．選擇題：每小題5分 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D B B A D C C B D 二．填空題：每小題5分 13. 2 ; 14.10 ; 15. ; 16. . 三．解答題： 17.解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，由已知得 . …………3分 聯(lián)立解得或（舍去）. …………5分 故. …………6分 （Ⅱ） …………8分 …………10分 …………12分 18.解：（Ⅰ）其它組的頻率為 （0.01+0.07+0.06+0.02）5=0.8， 所以第四組的頻率為0.2， 頻率分布圖如圖： ……3分 （Ⅱ）依題意優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3:2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu) 秀3人，良好2人，記從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀為事件 =1-=. …………6分 （Ⅲ）由頻率分布直方圖可知，第四組的人數(shù)為8人，第五組的人數(shù)為4人 的所有可能取值為0,1,2 ，， …………9分 的分布列為: 0 1 2 P …………10分 0 1 2 ………………12分 19.解：（Ⅰ）∵平面平面,且平面平面 平面 2分, ……3分 又, …………………4分 且,∴平面. …………………6分 C F E B A D x y z （Ⅱ）（解法一）建立如圖空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)，則則 由題意得，,, ……8分 設(shè)平面的法向量為， 由,得，9分 設(shè)平面的法向量為， 由，得，10分 所以∴二面角的大小為. ………………12分 （解法二）取的中點，連接，因為，則，∴平面 (要證明)，過向引垂線交于，連接， 則， 則為二面角的平面角. ……9分 由題意，不妨設(shè)， 連接，則，又 因此在中，,, 所以在△CHR中， …11分 因此二面角的大小為 …………12分 20. 解：（Ⅰ）設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為 因為動圓在軸右側(cè)與軸相切，同時與圓相外切，所以， ……………1分 ，化簡整理得，曲線的方程為； …3分 （Ⅱ）依題意，，, 可得， …………………4分 ,又由橢圓定義得. …………………5分 ，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為； …………………6分 （Ⅲ）設(shè)直線與橢圓交點，的中點的坐標(biāo)為， 將的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得 兩式相減得 ， …………………7分 ，直線的斜率， …………………8分 由（Ⅱ）知，∴ 由題設(shè)，， …………………10分 即. …………………12分 21.解：（Ⅰ），．∵曲線與在公共點處有相同的切線∴　，　 解得，． …………………3分 （Ⅱ）設(shè)，則由題設(shè)有 … ①又在點有共同的切線 ∴代入①得 …………5分 設(shè)，則， ∴在上單調(diào)遞增，所以 ＝0最多只有個實根， 從而，結(jié)合（Ⅰ）可知，滿足題設(shè)的點只能是 …………………7分 （Ⅲ）當(dāng)，時，，， 曲線在點處的切線方程為，即． 由，得 ． ∵ 曲線與總存在公切線，∴ 關(guān)于的方程， 即 總有解． …………………9分 若，則，而，顯然不成立，所以 ． ………10分 從而，方程可化為 ． 令，則． ∴ 當(dāng)時，；當(dāng)時，，即 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴在的最小值為， 所以，要使方程有解，只須，即． …………………12分 22．解：（Ⅰ）∵為⊙的切線，∴， 又，∴∽．∴． …………………4分 （Ⅱ）∵為⊙的切線，是過點的割線，∴． ………5分 又∵,，∴，． 由（Ⅰ）知，，∵是⊙的直徑， ∴．∴,∴ ………7分 連結(jié)，則， 又，∴∽, ∴ ∴． …………………10分 23．解：（Ⅰ）直線的參數(shù)方程是，（為參數(shù)） …………………2分 圓心C直角坐標(biāo)為……3分 圓C的直角坐標(biāo)方程為 …4分 由 …5分 得圓C的極坐標(biāo)方程是. ………6分 （Ⅱ）圓心的直角坐標(biāo)是，直線的普通方程是， ………8分 圓心到直線的距離， …………………9分 所以直線和圓C相離. …………………10分 24．解：（Ⅰ）因為， ………………3分 所以，即 …………………5分 由＞1知； …………………6分 （Ⅱ）當(dāng)時，不等式化為 解得： …………………7分 當(dāng)時，不等式化為 恒成立 所以： …………………8分 當(dāng)時，不等式化為 解得： …………………9分 綜上不等式 的解集為 ． …………………10分