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2019-2020年高二數學上 7.6《歸納-猜想-論證》教案 滬教版 一、教學內容分析 歸納法是由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法．歸納法分為不完全歸納法與完全歸納法．對于無窮盡的事例，用不完全歸納法去發(fā)現規(guī)律，得出結論，并設法予以證明，這就是“歸納—猜想—論證”的思維方法．教材在介紹歸納法的基礎上，通過例題，引導學生體驗和學習這種科學研究的思維方法．論證時采用的數學歸納法是證明與自然數有關命題的一種重要方法，是演繹推理．本節(jié)內容將歸納推理和演繹推理緊密結合起來，使學生對歸納與演繹這一重要的數學思想有一個整體認識． 二、教學目標設計 1．了解數學推理的常用方法：歸納法與演繹法，進一步理解數學歸納法的適用情況和證明步驟． 2．通過實例，理解利用歸納的方法，發(fā)現規(guī)律、提出猜想，然后用數學歸納法證明的思想方法，獲得對于“歸納—猜想—論證”過程的體驗，初步形成在觀察的基礎上進行歸納猜想和發(fā)現的能力． 3．體驗概念形成過程，引起對“歸納—猜想—論證”思維方法的興趣，提升數學素養(yǎng)． 三、教學重點與難點 重點：“歸納—猜想—論證”思維方法的滲透和學習． 難點：對數學歸納法的進一步理解和應用． 四、教學流程設計 例1，體驗方法 復習回顧 實例引入 例2，認識方法 運用與深化(例題解析、鞏固練習、課后習題) 五、教學過程設計 1．引入 問題1．用數學歸納法證明： 選題目的：回顧并熟練掌握用數學歸納法證明數學命題的過程與 基本步驟，為新課的引入做好鋪墊． 2．歸納猜想 我們已經學習了用數學歸納法來證明一些等式，但是這些等式又 是如何得到的呢？ [說明] 引起學生思考，探求結論獲得的可能方法：一是直接計算獲得結論，二是歸納猜想． 問題2．數列的通項公式，計算的值，你 可以得到什么結論？ 問題3．費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數學家，他是解 析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數論也有許多貢獻． 費馬認為，當n∈N時，一定都是質數，這是他對n=0，1， 2，3，4作了驗證后得到的． 18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了=4 294 967 297=6 700 417641，從而否定了費馬的推測． 問題4．設，則當n∈N時，是否都為質數？ ，， ，， ，，， ，，，，，． 但是是合數． 找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來！ 3．歸納猜想論證 在數學問題的探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考慮一些特例， 進行歸納，形成猜想，這是歸納與猜想．但猜測的結論一定正確嗎？不一定！通過歸納猜測的結論可能錯誤也可能正確，然后一定要去證明這些猜想的正確與否．證明一個命題為假命題只需要舉出一個反例．證明一個命題為真命題需要邏輯推理． 例1．依次計算數列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四項值，由此猜測的有限項表達式，并加以證明． 選題目的：（1）引導學生體驗從特殊到一般的思考過程，形成歸納猜想的意識． （2）這里去掉了原題中“并用數學歸納法證明”的證明方法的要求，以期證明方法的開放性，引起學生更開闊的思考．如： （3）要證明對一切正整數都成立，一個一個驗證是不可能的．一些與正整數有關的命題可以用數學歸納法加以證明． 例2．已知數列，，，…，，…，設為該數列前n項和，計算的值．根據計算結果猜測關于n的表達式，并用數學歸納法證明． 選題目的：經歷和體驗“歸納—猜想—論證”的完整過程，理解掌握這一重要的思維方法． 4．練習 P36—1，2，3 5．小結 本節(jié)課主要學習用“歸納—猜想—論證”的方法分析和解決問題． 歸納—猜想—論證是我們分析和解決問題的常用方法，它經歷三個過程：嘗試，觀察特例；體驗，歸納猜測一般規(guī)律；理性，證明猜想．這也告訴我們在分析和解決問題時要“大膽假設，小心求證”．大膽假設，也就是大膽猜測，這是探索發(fā)現真理的重要手段，是創(chuàng)造的源泉；但對猜想要小心求證，這是思維嚴謹的體現． 在證明過程中，我們進一步學習了如何用數學歸納法進行演繹推理證明． 6．作業(yè) P15—2，3 P16—4 六、教學建議與說明 1．以問題為中心．通過對問題1的分析與解決，追根溯源，提出疑惑．通過對問題2，3，4的感受體驗，思維沖擊，大膽質疑．通過分析解決例題1，形成方法． 2．以思維方法為主線．應切實讓學生感受“歸納—猜想—論證”這一重要數學思維方法的發(fā)展過程和理性認識，將歸納推理和演繹推理緊密結合起來，使學生對歸納與演繹這一重要的數學思想有一個整體認識．