《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù) 第一課時(shí) 三角函數(shù)的定義學(xué)案【含解析】新人教A版必修4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù) 第一課時(shí) 三角函數(shù)的定義學(xué)案【含解析】新人教A版必修4（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.2.1　任意角的三角函數(shù) 第一課時(shí)　三角函數(shù)的定義 任意角的三角函數(shù)的定義 [提出問題] 使銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在終邊上任取一點(diǎn)P，PM⊥x軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r. 問題1：角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？ 提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝. 問題2：對(duì)于確定的角α，sin α，cos α，tan α是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？ 提示：否． 問題3：若|OP|＝1，則P點(diǎn)的軌跡是什么？這樣表示sin α，cos α，tan α有何優(yōu)點(diǎn)？ 提示：P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑

2、的單位圓，即P點(diǎn)是單位圓與角α終邊的交點(diǎn)，在單位圓中定義sin α，cos α，tan α更簡(jiǎn)便． [導(dǎo)入新知] 1．任意角三角函數(shù)的定義 (1)單位圓：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓稱為單位圓． (2)單位圓中任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sin α，即sin α＝y(tǒng)；x叫做α的余弦，記作cos α，即cos α＝x；叫做α的正切，記作tan α，即tan α＝(x≠0). 2．三角函數(shù) 正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角

3、函數(shù)． [化解疑難] 對(duì)三角函數(shù)定義的理解 (1)三角函數(shù)是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從角的集合(弧度制)到一個(gè)比值的集合的對(duì)應(yīng)． (2)三角函數(shù)是用比值來定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍． (3)三角函數(shù)是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角α的終邊位置決定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān). 三角函數(shù)值的符號(hào) [提出問題] 問題1：若角α是第二象限角，則它的正弦、余弦和正切值的符號(hào)分別怎樣？ 提示：若角α為第二象限角，則x＜0，y＞0, sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0. 問題2：當(dāng)角α

4、是第四象限角時(shí)，它的正弦、余弦和正切值的符號(hào)分別怎樣？ 提示：sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0. 問題3：取角α分別為30，390，－330，它們的三角函數(shù)值是什么關(guān)系？為什么？ 提示：相等．因?yàn)樗鼈兊慕K邊重合． 問題4：取α＝90，－90時(shí)，它們的正切值存在嗎？ 提示：不存在． [導(dǎo)入新知] 1．三角函數(shù)的定義域 三角函數(shù) 定義域 sin α R cos α R tan α 2．三角函數(shù)值的符號(hào) [化解疑難] 巧記三角函數(shù)值的符號(hào) 三角函數(shù)值的符號(hào)變化規(guī)律可概括為“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象限各三角函數(shù)值均為正，

5、第二象限只有正弦值為正，第三象限只有正切值為正，第四象限只有余弦值為正. 誘導(dǎo)公式一 [提出問題] 問題：若角α與β的終邊相同，根據(jù)三角函數(shù)的定義，你認(rèn)為sin α與sin β，cos α與cos β，tan α與tan β之間有什么關(guān)系？ 提示：sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. [導(dǎo)入新知] 終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值 (1)終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等． (2)公式：sin(α＋k2π)＝sin_α， cos(α＋k2π)＝cos_α， tan(α＋k2π)＝tan_α，其中k∈Z. [化解疑難] 誘導(dǎo)公式一的結(jié)

6、構(gòu)特點(diǎn) (1)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是函數(shù)名相同，左邊角為α＋k2π，右邊角為α. (2)由公式一可知，三角函數(shù)值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)． (3)此公式也可以記為：sin(α＋k360)＝sin α，cos(α＋k360)＝cos α，tan(α＋k360)＝tan α，其中k∈Z. 三角函數(shù)的定義及應(yīng)用 　　[例1]　(1)若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5，－12)，則sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的終邊落在直線x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值

7、． [解]　(1)－　?。? (2)直線x＋y＝0，即y＝－x，經(jīng)過第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)(－1，)，則r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－； 在第四象限取直線上的點(diǎn)(1，－)，則r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. [類題通法] 利用三角函數(shù)的定義求值的策略 (1)已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種： ①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值． ②注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況來處理，取射線上任一點(diǎn)坐標(biāo)(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的正弦值sin

8、α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝. (2)當(dāng)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)的形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論． [活學(xué)活用] 已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4a，－3a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 答案：2sin α＋cos α＝ 三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用 [例2]　(1)若sin αtan α<0，且<0，則角α是(　　) A．第一象限角　　　　　 　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)判斷下列各式的符號(hào)： ①sin 105cos 230；②cos 3tan. [解]　(1)C (2)①∵105，230

9、分別為第二、第三象限角， ∴sin 105>0，cos 230<0.于是sin 105cos 230<0. ②∵<3<π，∴3是第二象限角， ∴cos 3<0. 又∵－是第三象限角， ∴tan>0，∴cos 3tan<0. [類題通法] 三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律 (1)當(dāng)角θ為第一象限角時(shí)，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)當(dāng)角θ為第二象限角時(shí)，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)當(dāng)角θ為第三象限角時(shí)，sin θ<0，

10、cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)當(dāng)角θ為第四象限角時(shí)，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立． [活學(xué)活用] 已知點(diǎn)P(tan α，cos α)在第三象限，則角α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用 [例3]　計(jì)算下列各式的值： (1)sin(－1 395)cos 1 110＋cos(－1 020)sin 750； (2)sin＋costan 4π. [解]　(1)原

11、式＝sin(－4360＋45)cos(3360＋30)＋cos(－3360＋60)sin(2360＋30) ＝sin 45cos 30＋cos 60sin 30 ＝＋＝＋＝. (2)原式＝sin＋costan(4π＋0)＝sin＋cos0＝. [類題通法] 誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用策略 應(yīng)用誘導(dǎo)公式一時(shí)，先將角轉(zhuǎn)化為0～2π范圍內(nèi)的角，再求值．對(duì)于特殊角的三角函數(shù)值一定要熟記． [活學(xué)活用] 求下列各式的值： (1)sin＋tan； (2)sin 810＋cos 360－tan 1 125. 答案：(1)＋1　(2)1 　　　　 1．應(yīng)用三角函數(shù)定義求值　　 [典

12、例]　(12分)已知角α的終邊過點(diǎn)P(－3m，m)(m≠0)，求α的正弦、余弦、正切值． [解題流程] [規(guī)范解答] 由題意可得： 由|OP|＝＝|m|.(2分) (1)當(dāng)m>0時(shí)，|OP|＝|m|＝m，(4分) 則sin α＝＝，cos α＝＝－， tan α＝＝－.(7分) (2)當(dāng)m<0時(shí)，|OP|＝|m|＝－m，(9分) 則sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.(12分) [名師批注] 由于題目條件中只告訴m≠0，不知道m(xù)的符號(hào)，因此|OP|＝\r(10)|m|.此處極易忽視此點(diǎn)，誤認(rèn)為|OP|＝\r(10)m，從而導(dǎo)致解題不完整而失分

13、. 根據(jù)正切函數(shù)的定義tan α＝，本題中tan α的取值與m的符號(hào)無關(guān)，即無論m>0還是m<0，tan α都是＝－. [活學(xué)活用] 已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－，y)(y≠0)，且sin α＝y(tǒng)，求cos α，tan α的值． 解：當(dāng)y＝時(shí)，cos α＝－，tan α＝－； 當(dāng)y＝－時(shí)，cos α＝－，tan α＝. [隨堂即時(shí)演練] 1．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cos α＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 答案：D 2．若三角形的兩內(nèi)角α，β滿足sin αcos β<0，則此三角形必為(　　) A．銳

14、角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上三種情況都可能 答案：B 3．計(jì)算：sin＝________. 答案： 4．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sin θ＝－，則y＝________. 答案：－8 5．化簡(jiǎn)下列各式： (1)acos 180＋bsin 90＋ctan 0； (2)p2cos 360＋q2sin 450－2pqcos 0； (3)a2sin－b2cos π＋absin 2π－abcos . 答案：(1)－a＋b　(2)(p－q)2　(3)a2＋b2 [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1

15、．已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則sin α的值為(　　) A．－　　　　　　 B．－ C. D. 答案：B 2．給出下列函數(shù)值：①sin(－1 000)；②cos；③tan 2，其中符號(hào)為負(fù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 3．已知60角的終邊上有一點(diǎn)P(4，a)，則a的值為(　　) A. B． C．4 D．4 答案：C 4．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是(　　) A．tan A與cos B B．cos B與sin C C．sin C與tan A D．tan與sin C

16、答案：D 5．已知tan x>0，且sin x＋cos x>0，那么角x是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：A 二、填空題 6．α是第二象限角，P(x, )是其終邊上一點(diǎn)，且cos α＝x，則x的值為________． 答案：－ 7．計(jì)算：tan 405－sin 450＋cos 750＝________. 答案： 8．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上，則＋＝________. 答案：0 三、解答題 9．如果角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)M(1，)，試寫出角α的集合A，并求集合A中最大的負(fù)角和絕對(duì)值最小的角． 解：在0～360范

17、圍內(nèi)，tan α＝且終邊在第一象限內(nèi)，可求得α＝60.A＝{α|α＝60＋k360，k∈Z}．所以k＝－1時(shí)，α＝－300為最大的負(fù)角；k＝0時(shí)，α＝60為絕對(duì)值最小的角． 10．已知直線y＝x與圓x2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的上方，O是坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求以射線OA為終邊的角α的正弦值和余弦值； (2)求以射線OB為終邊的角β的正切值． 解：由得或 ∵點(diǎn)A在x軸上方， ∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，－，－. (1)sin α＝，cos α＝. (2)tan β＝＝1. 11．已知＝－，且lg(cos α)有意義． (1)試判斷角α所在的象限； (2)若角α的終邊上一點(diǎn)是M，且|OM|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值及sin α的值． 解：(1)由＝－，可知sin α<0， 由lg(cos α)有意義可知cos α>0， 所以角α是第四象限角． (2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1， 解得m＝. 又α是第四象限角，故m<0，從而m＝－. 由正弦函數(shù)的定義可知sin α＝＝＝＝－. - 10 -