《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程單元質(zhì)量評(píng)估【含解析】新人教A版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程單元質(zhì)量評(píng)估【含解析】新人教A版選修1-1（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 單元質(zhì)量評(píng)估(二) (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.設(shè)P是橢圓x2169+y2144=1上一點(diǎn),F1,F2是橢圓的焦點(diǎn),若|PF1|等于4,則|PF2|等 于　(　　) A.22 B.21 C.20 D.13 【解析】選A.由橢圓的定義知,|PF1|+|PF2|=26,因?yàn)閨PF1|=4,所以|PF2|=22. 2.(2015廣東高考)已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1的離心率e=54,且其右焦點(diǎn)F2(5,0),則雙曲線(xiàn)C的方程為　

2、(　　) A.x24-y23=1 B.x216-y29=1 C.x29-y216=1 D.x23-y24=1 【解析】選B.因?yàn)樗箅p曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F25,0且離心率為e=ca=54,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求雙曲線(xiàn)方程為x216-y29=1. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】與橢圓x29+y24=1有相同焦點(diǎn),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________. 【解析】由x29+y24=1知焦點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0). 依題意,設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0). 所以a2+b2=5,① 又點(diǎn)(2,-3)在雙曲線(xiàn)

3、x2a2-y2b2=1上, 所以4a2-3b2=1.② 聯(lián)立①②得a2=2,b2=3, 因此所求雙曲線(xiàn)的方程為x22-y23=1. 答案:x22-y23=1 3.已知離心率為e的雙曲線(xiàn)和離心率為22的橢圓有相同的焦點(diǎn)F1,F2,P是兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn),若∠F1PF2=π3,則e等于　(　　) A.52 B.52 C.62 D.3 【解題指南】在△F1F2P中利用余弦定理列方程,然后利用定義和已知條件消元. 【解析】選C.設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2,焦距為2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨設(shè)m>n,由m+n=2a1,m-n=2a2得m

4、=a1+a2,n=a1-a2. 又∠F1PF2=π3, 所以4c2=m2+n2-mn=a12+3a22, 所以a12c2+3a22c2=4,即1222+3e2=4,解得e=62. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2017佛山高二檢測(cè))已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),則該橢圓的離心率為　(　　) A.13　　　B.12　　　C.33　　　D.22 【解析】選D.依題意,橢圓的焦距和短軸長(zhǎng)相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=22.故選D. 4.設(shè)F1,F2是雙曲線(xiàn)x2-y224=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn),且3|PF1|=4|PF2|,則△PF1F2的面積等

5、于　(　　) A.42 B.83 C.24 D.48 【解析】選C.由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|,由雙曲線(xiàn)的定義知|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|F1F2|=10, 所以△PF1F2為直角三角形, S△PF1F2=12|PF1||PF2|=24. 【拓展延伸】圓錐曲線(xiàn)中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題解法 (1)△PF1F2由兩焦點(diǎn)和曲線(xiàn)上一點(diǎn)形成,我們把這種三角形叫焦點(diǎn)三角形.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的主要類(lèi)型有:周長(zhǎng)、面積、角度等,通常會(huì)用到圓錐曲線(xiàn)的定義、正弦定理、余弦定理、面

6、積公式等. (2)焦點(diǎn)三角形的面積主要有兩種求法:S△PF1F2=12r1r2sin∠F1PF2和S△PF1F2=122c|yP|. (3)涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、曲線(xiàn)上點(diǎn)(頂點(diǎn)以外)等問(wèn)題,抓住幾個(gè)特征三角形,舉一反三.這是一個(gè)考查重點(diǎn),容易出現(xiàn)離心率的值(或范圍)的運(yùn)算. 5.橢圓x216+y24=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)x+2y-2=0的最大距離是　(　　) A.3 B.11 C.22 D.10 【解析】選D.設(shè)直線(xiàn)方程為x+2y+b=0, x+2y+b=0,x216+y24=1得8y2+4by+b2-16=0, Δ=16b2-48(b2-16)=0得b=42. d=|42+

7、2|5=10. 6.過(guò)雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)與C的一條漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A,O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線(xiàn)C的方程為　(　　) A.x24-y212=1 B.x27-y29=1 C.x28-y28=1 D.x212-y24=1 【解析】選A.設(shè)右焦點(diǎn)為F,由題意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16, 故a=2,b2=12,所以方程為x24-y212=1. 7.(2017全國(guó)乙卷)已知F為拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直

8、的直線(xiàn)l1, l2,直線(xiàn)l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為　(　　) A.16 B.14 C.12 D.10 【解析】選A.設(shè)直線(xiàn)l1方程為y=k1(x-1), 聯(lián)立方程y2=4x,y=k1(x-1),得k12x2-2k12x-4x+k12=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4), 所以x1+x2=--2k12-4k12=2k12+4k12, 同理直線(xiàn)l2與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)滿(mǎn)足x3+x4=2k22+4k22, 由拋物線(xiàn)定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p =2k1

9、2+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8≥216k12k22+8=16, 當(dāng)且僅當(dāng)k1=-k2=1(或-1)時(shí),取得等號(hào). 8.已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是　(　　) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 【解析】選C.如圖所示,要使過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線(xiàn)的斜率小于等于漸近線(xiàn)的斜率ba,所以ba≥3,離心率e2=c2a2=a2+b2a2≥4,所以e≥2.

10、 9.如果橢圓x236+y29=1的弦被點(diǎn)(4,2)平分,則這條弦所在的直線(xiàn)方程是　(　　) A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 【解析】選D.設(shè)這條弦的兩端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),斜率為k,則x1236+y129=1,x2236+y229=1, 兩式相減再變形得x1+x236+ky1+y29=0, 又弦中點(diǎn)為(4,2),故k=-12, 故這條弦所在的直線(xiàn)方程y-2=-12(x-4),整理得x+2y-8=0. 10.若拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線(xiàn)是l,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,M(3,3)且與l相切的圓共 有　(

11、　　) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.4個(gè) 【解析】選B.由題意得F(2,0), l:x=-2, 線(xiàn)段MF的垂直平分線(xiàn)方程為y-32=-3-23-0(x-52),即x+3y-7=0,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(a,b), 則圓心在x+3y-7=0上, 故a+3b-7=0,a=7-3b, 由題意得|a-(-2)|=(a-2)2+b2, 即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0. 又b>0,故此方程只有一個(gè)根,于是滿(mǎn)足題意的圓只有一個(gè). 【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2017蘭州模擬)已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線(xiàn)x2a

12、-y2=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)AM平行,則實(shí)數(shù)a=　(　　) A.19　　 　B.14　　　 C.13　　　 D.12 【解析】選A.根據(jù)題意,拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)到其焦點(diǎn)的距離為5,則1+p2=5,解得p=8;即拋物線(xiàn)的方程為y2=16x,把M(1,m)代入,可得m=4,即M的坐標(biāo)為(1,4),雙曲線(xiàn)x2a-y2=1的左頂點(diǎn)為A,則a>0,且A的坐標(biāo)為-a,0,漸近線(xiàn)方程為y=1ax,因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)AM平行,所以kAM=41+a=1a,解得a=19. 11.(2017珠海高二檢測(cè))已知F1,F2分別為雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=

13、1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線(xiàn)右支上的任意一點(diǎn),若|PF1|2|PF2|的最小值為8a,則雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是　(　　) A.(1,+∞) B.(1,2] C.(1,3] D.(1,3] 【解析】選D.|PF1|2|PF2|=(2a+|PF2|)2|PF2|=4a2|PF2|+|PF2|+4a≥4a+4a=8a,當(dāng)且僅當(dāng)4a2|PF2|=|PF2|,即|PF2|=2a時(shí)取等號(hào).這時(shí)|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得6a≥2c,即e=ca≤3,得e∈(1,3]. 12.若a≠0且ab≠0,則曲線(xiàn)ax-y+b=0和bx2+ay2

14、=ab的形狀可能是下圖中 的　(　　) 【解析】選C.將bx2+ay2=ab化為x2a+y2b=1,若此方程表示雙曲線(xiàn),則ab<0;當(dāng)a>0時(shí),b<0,表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn);當(dāng)a<0時(shí),b>0,表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn).易判斷選項(xiàng)C符合;當(dāng)a>0,b>0時(shí),方程表示橢圓,此時(shí)B,D都不符合. 二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線(xiàn)上) 13.(2017南昌高二檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中,O是原點(diǎn),OA→=(1,0),P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),若|OP→-OA→|=|OP→OA→|,則P點(diǎn)的軌跡方程是________. 【解析】設(shè)P(x,y),則OP→=

15、(x,y), 又因?yàn)閨OP→-OA→|=|OP→OA→|, 所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1. 答案:y2=2x-1 14.(2017蘭州高二檢測(cè))直線(xiàn)y=x+3與曲線(xiàn)y29-x|x|4=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 【解析】當(dāng)x≥0時(shí),y29-x|x|4=1化為y29-x24=1; 當(dāng)x<0時(shí),y29-x|x|4=1化為y29+x24=1, 所以曲線(xiàn)y29-x|x|4=1是由半個(gè)雙曲線(xiàn)和半個(gè)橢圓組成的圖形,結(jié)合圖象可知(如圖),直線(xiàn)y=x+3與曲線(xiàn)x29-x|x|4=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3. 答案:3 15.(2017江西高二檢測(cè))已知F1,F2

16、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿(mǎn)足MF1→MF2→=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓的離心率的取值范圍是________. 【解析】因?yàn)镸F1→MF2→=0,所以MF1⊥MF2.假設(shè)橢圓在坐標(biāo)軸正方向上的短軸端點(diǎn)B,則∠F1BF2即橢圓上點(diǎn)與橢圓焦點(diǎn)夾角的最大值,由M在橢圓內(nèi)部,所以 ∠F1BF2<90,即b>c,所以b2=a2-c2>c2,所以e2<12,即0b>0)的兩焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)均在橢圓內(nèi)部,則橢圓的離心率e的取值范圍為_(kāi)_______. 【解析】由已知得兩焦點(diǎn)為(c,0),其關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(0

17、,c)均在橢圓內(nèi)部,則c2b2<1,得c2a2-c2<1,e21-e2<1,解得00),過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)與C相交于A,B兩點(diǎn),若AF→=3FB→,則k=________. 【解析】設(shè)直線(xiàn)l為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn),過(guò)A,B分別作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過(guò)B作BE垂直于AA1于點(diǎn)E,則|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由AF→=3FB→, 所以cos∠BAE=|AE||AB|=12, 所以∠BAE=60,所以tan∠BAE=3.即k=3. 答案:3 三、解答題(

18、本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17.(10分)(2017鄭州高二檢測(cè))已知點(diǎn)M在橢圓x236+y29=1上,MP′垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線(xiàn),垂足為P′,并且M為線(xiàn)段PP′的中點(diǎn),求P點(diǎn)的軌跡方程. 【解析】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0). 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓x236+y29=1上,所以x0236+y029=1. 因?yàn)镸是線(xiàn)段PP′的中點(diǎn), 所以x0=x,y0=y2,把x0=x,y0=y2, 代入x0236+y029=1,得x236+y236=1,即x2+y2=36. 所以P點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=36. 18.

19、(12分)已知橢圓C的焦點(diǎn)F1(-22,0)和F2(22,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)6,設(shè)直線(xiàn)y=x+2交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo). 【解析】由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 其中c=22,a=3,從而b=1, 所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是:x29+y2=1. 聯(lián)立方程組x29+y2=1,y=x+2,消去y得,10x2+36x+27=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x1+x2=-185,x0=x1+x22=-95,所以y0=x0+2=15, 所以線(xiàn)段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為-95,15. 19.(12分)已知點(diǎn)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2

20、=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是橢圓C的上頂點(diǎn),B是直線(xiàn)AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn),∠F1AF2=60. (1)求橢圓C的離心率. (2)已知△AF1B的面積為403,求a,b的值. 【解析】(1)由題意知△AF1F2為正三角形,a=2c,e=ca=12. (2)直線(xiàn)AB的方程為y=-3(x-c), x2a2+y2b2=1,y=-3(x-c), ?(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0.?、? 由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2. 代入①中得5x2-8cx=0,x=0或x=8c5, 得A(0,3c),B8c5,-335c,得|AB|=1

21、6c5. 由△AF1B的面積為403,得12|AB||AF1|sin60 =403, 1216c5a32=403,解得c=5,a=10,b=53. 20.(12分)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與這條拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求△AOB的重心G的軌跡方程. (2)當(dāng)直線(xiàn)l的傾斜角為45時(shí),試求拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)P的坐標(biāo),使AP⊥BP. 【解析】(1)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0). 當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí),設(shè)l:y=k(x-1),代入y2=4x得k2x2-2(k2+2)x+k2=0. 因?yàn)閘與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn),所以k≠0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y

22、2),根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得 x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1. 因?yàn)閥1=kx1-k,y2=kx2-k,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=4k, y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4. 設(shè)△AOB的重心G(x,y), 則x=0+x1+x23=23+43k2,y=0+y1+y23=43k, 消去k并整理得y2=43x-89. 當(dāng)l垂直于x軸時(shí),A,B的坐標(biāo)分別是(1,2)和(1,-2), △AOB的重心G23,0也適合y2=43x-89, 因此所求軌跡方程為y2=43x-89. (2)當(dāng)直線(xiàn)l的傾斜角為45時(shí),k=1, 所以x1+x2=6,y1+y2

23、=4. 設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)P(-1,y0). 因?yàn)锳P⊥BP,所以y1-y0x1+1y2-y0x2+1=-1, 即y1y2-y0(y1+y2)+y02x1x2+(x1+x2)+1=-1,-4-4y0+y021+6+1=-1, 解得y0=2,故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,2). 21.(12分)(2016全國(guó)卷Ⅱ)已知A是橢圓E:x24+y23=1的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線(xiàn)交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA. (1)當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積. (2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),證明:30,

24、由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知,直線(xiàn)AM的傾斜角為π4, 又A(-2,0),因此直線(xiàn)AM的方程為y=x+2, 將x=y-2代入x24+y23=1,得7y2-12y=0. 解得y=0或y=127,所以y1=127. 因此△AMN的面積為212127127=14449. (2)設(shè)直線(xiàn)AM的方程為y=k(x+2)(k>0), 代入x24+y23=1, 得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0, 由x1(-2)=16k2-123+4k2,得x1=-8k2-63+4k2, 故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2, 由題意設(shè)直線(xiàn)AN的方程為y=-1k(x+2),

25、 故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4, 由2|AM|=|AN|,得23+4k2=k3k2+4, 即4k3-6k2+3k-8=0, 設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點(diǎn), f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0, 所以f(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 又f(3)=153-26<0,f(2)=6>0, 因此f(t)在(0,+∞)上有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在(3,2)內(nèi),故3b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),M為橢圓的上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且△MOF是

26、等腰直角三角形. (1)求橢圓的方程. (2)過(guò)點(diǎn)M分別作直線(xiàn)MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)兩直線(xiàn)的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=8,證明:直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)-12,-2. 【解題指南】(1)根據(jù)幾何性質(zhì)求出a,b,然后代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)以參數(shù)k,m表示直線(xiàn)方程,代入橢圓方程,設(shè)出A,B的坐標(biāo),利用根與系數(shù)的關(guān)系和k1+k2=8求出m,k的關(guān)系式,建立直線(xiàn)AB的方程,證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn). 【解析】(1)由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,所以a2=8,故橢圓方程為x28+y24=1. (2)①若直線(xiàn)AB的斜率存在,設(shè)AB方程為y=kx+m,依題意m≠2. 設(shè)A(x

27、1,y1),B(x2,y2), 由x28+y24=1,y=kx+m得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0. 則x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2. 由已知k1+k2=8,可得y1-2x1+y2-2x2=8, 所以kx1+m-2x1+kx2+m-2x2=8, 即2k+(m-2)x1+x2x1x2=8. 所以k-mkm+2=4,整理得m=12k-2. 故直線(xiàn)AB的方程為y=kx+12k-2, 即y=kx+12-2. 所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)-12,-2. ②若直線(xiàn)AB的斜率不存在,設(shè)AB方程為x=x0,設(shè)A(x0,y0),B(x0,-y0), 由

28、已知y0-2x0+-y0-2x0=8,得x0=-12.此時(shí)AB方程為x=-12,顯然過(guò)點(diǎn)-12,-2. 綜上,直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)-12,-2. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)若直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【解析】(1)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),且a+c=3,a-c=1, 所以a=2,c=1,所以b2=3,所以x24+y23=1.

29、 (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,x24+y23=1, 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0, Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0. 又x1+x2=-8mk3+4k2,x1x2=4(m2-3)3+4k2, 所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=3(m2-4k2)3+4k2. 因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0), 所以kADkBD=-1, 即y1x1-2y2x2-2=-1, 所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, 3(m2-4k2)3+4k2+4(m2-3)3+4k2+16mk3+4k2+4=0, 7m2+16mk+4k2=0, 解得m1=-2k,m2=-2k7,且滿(mǎn)足3+4k2-m2>0. 當(dāng)m=-2k時(shí),l:y=k(x-2),直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾; 當(dāng)m=-2k7時(shí),l:y=kx-27,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)27,0. 綜上可知,直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為27,0. 16